高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量平面向量的數(shù)量積 教學(xué)設(shè)計(jì)

《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》教學(xué)設(shè)計(jì)三門(mén)峽市第一高級(jí)中學(xué)張偉強(qiáng)一、內(nèi)容和內(nèi)容分析1．內(nèi)容平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義2．內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容教材共安排兩課時(shí)，其中第一課時(shí)主要研究數(shù)量積的概念、幾何意義、性質(zhì)和運(yùn)算律；第二課時(shí)主要研究數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，本節(jié)課是第一課時(shí)。本節(jié)課首先通過(guò)一段“大力士”拉汽車(chē)的精彩視頻抽象出物理中“功”的事例，之后拋開(kāi)物理背景，將,這兩個(gè)物理中的矢量，推廣到數(shù)學(xué)中一般的非零向量，，從而得到數(shù)學(xué)中平面向量數(shù)量積的概念，體現(xiàn)了有特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力；然后從“形”的角度引入“投影”探究數(shù)量積的幾何意義，使學(xué)生加深對(duì)數(shù)量積概念的理解，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；“數(shù)量積”和“投影”均為數(shù)量，對(duì)其正、負(fù)、零的討論過(guò)程，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想；然后又通過(guò)類(lèi)比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律研究了數(shù)量積的運(yùn)算律，體現(xiàn)“類(lèi)比”的數(shù)學(xué)思想。本節(jié)課是在學(xué)生系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了向量的概念和向量的加法、減法、數(shù)乘等線(xiàn)性運(yùn)算的基礎(chǔ)上，探索向量的又一種新的運(yùn)算，它既是前面所學(xué)知識(shí)和方法的延續(xù)，又是后繼學(xué)習(xí)解三角形、解析幾何以及空間向量等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此本節(jié)內(nèi)容起到了承上啟下的作用。平面向量數(shù)量積是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)概念，它是從物理中功的概念抽象而來(lái)的，是溝通代數(shù)、幾何、三角的橋梁，是數(shù)形結(jié)合方法的典范。這些都使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。二、目標(biāo)與目標(biāo)解析1．目標(biāo)（1）了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算和判斷；（3）體會(huì)類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。2．目標(biāo)分析《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本節(jié)課的要求有以下三條：（1）通過(guò)物理中“功”等事例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。（2）體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。（3）能用運(yùn)數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。從以上的背景分析可以看出，數(shù)量積的概念既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，首先無(wú)論是在概念的引入還是應(yīng)用過(guò)程中，物理中“功”的實(shí)例都發(fā)揮了重要作用。其次，作為數(shù)量積概念延伸的性質(zhì)和運(yùn)算律，不僅能夠使學(xué)生更加全面深刻地理解概念，同時(shí)也是進(jìn)行相關(guān)計(jì)算和判斷的理論依據(jù)。最后，無(wú)論是數(shù)量積的性質(zhì)還是運(yùn)算律，都希望學(xué)生在類(lèi)比的基礎(chǔ)上，通過(guò)主動(dòng)探究來(lái)發(fā)現(xiàn)，因而對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力和類(lèi)比思想都無(wú)疑是很好的載體。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生在這之前的物理課已經(jīng)認(rèn)識(shí)了矢量和功，數(shù)學(xué)課系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了向量定義、向量的線(xiàn)性運(yùn)算，具備了一定能力去進(jìn)行深入的研究。功的計(jì)算為平面向量數(shù)量積引入提供很好的背景，但對(duì)兩個(gè)有形有數(shù)的向量經(jīng)過(guò)數(shù)量積運(yùn)算后，形卻消失了成為一個(gè)數(shù)，學(xué)生對(duì)這一點(diǎn)是較難接受的。由于受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的影響，也會(huì)造成學(xué)生對(duì)數(shù)量積、性質(zhì)和運(yùn)算律的理解上的偏差。從學(xué)生認(rèn)知水平來(lái)看，學(xué)生的探究能力和用數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流的能力還有待提高，本節(jié)課還要初步體會(huì)研究向量運(yùn)算的一般方法；即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再?gòu)母拍畛霭l(fā)，在與實(shí)數(shù)運(yùn)算類(lèi)比的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)和運(yùn)算律及運(yùn)用，這種知識(shí)的整合提升對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)恰又是比較困難的。因而本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)是：平面向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。四、教學(xué)支持條件分析根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的要求，為了直觀、形象地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，利用視頻、動(dòng)態(tài)演示，展示平面向量數(shù)量積的物理背景，探究性質(zhì)、幾何意義以及運(yùn)算律。五、教學(xué)過(guò)程分析（一）知識(shí)鏈接1．已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種向量運(yùn)算？向量運(yùn)算數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算結(jié)果2．兩個(gè)非零向量與的夾角如何定義？其取值范圍是多少？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)知識(shí)鏈接的問(wèn)題讓學(xué)生復(fù)習(xí)回顧向量運(yùn)算，兩個(gè)非零向量與的夾角，為平面向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。（二）創(chuàng)設(shè)情境多媒體播放中國(guó)大力士公開(kāi)賽，中國(guó)選手的參賽視頻，之后動(dòng)態(tài)演示他的比賽過(guò)程，從中抽象出數(shù)量積的物理背景。問(wèn)題1、大力士拉車(chē)，沿著繩子方向上的力為F，車(chē)移動(dòng)的位移是S，力和位移的夾角為θ，大力士所做的功為多少？學(xué)生根據(jù)所學(xué)物理知識(shí)容易得到：?jiǎn)栴}2、決定功大小的量有哪幾個(gè)？問(wèn)題3、力、位移及其夾角分別是矢量還是標(biāo)量？功是向量還是數(shù)量？教師：明確物理中的矢量就是數(shù)學(xué)中的向量，物理中的標(biāo)量就是數(shù)學(xué)中的數(shù)量?！驹O(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生已有的認(rèn)知水平出發(fā)，通過(guò)熟悉的生活實(shí)例，創(chuàng)設(shè)數(shù)量積的物理背景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)，也為抽象數(shù)量積的概念做好鋪墊。（三）探究定義師：物理中的和是兩個(gè)向量，用兩個(gè)一般的非零向量和來(lái)替換和，其夾角不變，則。在數(shù)學(xué)中稱(chēng)為非零向量和的數(shù)量積，記作：，從而得到平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量和，我們把叫做和的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即，其中夾角是與的夾角。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.學(xué)生活動(dòng)：齊聲讀定義，并體會(huì)定義的要點(diǎn)。定義要點(diǎn)：（1）與是非零向量；（2）“”是數(shù)量積的運(yùn)算符號(hào)，不能省略也不能用“”代替；（3）數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量。問(wèn)題4：由數(shù)量積的定義可知，決定數(shù)量積大小的量有哪些？問(wèn)題5：數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量，數(shù)量積的正、負(fù)、零有誰(shuí)決定？【設(shè)計(jì)意圖】在與功類(lèi)比的基礎(chǔ)上從特殊到一般引入平面向量數(shù)量積，有利于學(xué)生的知識(shí)遷移和概念準(zhǔn)確理解，認(rèn)識(shí)到向量夾角是決定數(shù)量積結(jié)果的重要因素，體驗(yàn)對(duì)向量夾角的分類(lèi)討論。（四）鞏固定義師：同學(xué)們對(duì)平面向量數(shù)量積的定義已經(jīng)有了初步的了解，通過(guò)以下題目檢測(cè)大家的理解情況?？诖穑?、已知，，與的夾角，。2、已知正三角形的邊長(zhǎng)為，求：（1）；（2）；（3）；3、依據(jù)數(shù)量積的定義完成以下問(wèn)題（與是非零向量）。（1）；（2）若與同向，則；若與反向，則；特別地，；（3）；（4）。學(xué)生活動(dòng)：第1、2題學(xué)生獨(dú)立完成，第3題小組內(nèi)部討論完成，過(guò)程中教師指導(dǎo)、點(diǎn)撥。由第3題得到平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1），用于判定兩向量垂直；（2），用于計(jì)算向量的模；（3），用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀?！驹O(shè)計(jì)意圖】及時(shí)鞏固所學(xué)概念，熟練數(shù)量積的求解要點(diǎn)，特別是兩向量的夾角是多少？加深對(duì)定義的理解。師：數(shù)量積的學(xué)習(xí)完整了，高中階段的向量運(yùn)算，請(qǐng)同學(xué)們將下表補(bǔ)充完整。向量運(yùn)算數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算結(jié)果加法向量減法向量數(shù)乘向量【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生對(duì)高中階段所學(xué)向量運(yùn)算，有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)，同時(shí)，體現(xiàn)出數(shù)量積運(yùn)算的獨(dú)特性。（五）探究意義問(wèn)題6：向量運(yùn)算中的加法、減法、數(shù)乘都有幾何意義，數(shù)量積運(yùn)算有沒(méi)有幾何意義？師生共同探究：教師動(dòng)畫(huà)展示投影的形成過(guò)程，形成概念。叫做在方向上的投影。同理：叫做在方向上的投影。問(wèn)題7：投影是向量還是數(shù)量？其正、負(fù)、零由誰(shuí)決定？問(wèn)題8、你能從投影的角度解釋平面向量數(shù)量積的定義嗎？學(xué)生嘗試解釋?zhuān)玫剑浩矫嫦蛄繑?shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積。【設(shè)計(jì)意圖】教師展示向量投影的形成過(guò)程，讓學(xué)生形象、直觀的感受向量投影及其含義，讓學(xué)生從“形”的角度重新認(rèn)識(shí)平面向量數(shù)量積，從中體會(huì)數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。使學(xué)生對(duì)平面向量數(shù)量積這一全新概念的理解更加深刻。（六）運(yùn)算律問(wèn)題9、數(shù)量積作為一種運(yùn)算，有怎樣的運(yùn)算律呢？類(lèi)比實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算律，寫(xiě)出數(shù)量積的運(yùn)算律，并判斷對(duì)錯(cuò)？學(xué)生活動(dòng)：根據(jù)實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算律，以小組為單位，共同探究類(lèi)比出向量數(shù)量積的運(yùn)算律，并嘗試?yán)枚x判斷結(jié)果的正確性。教師參與小組討論并及時(shí)點(diǎn)撥、指導(dǎo)、糾錯(cuò)。運(yùn)算律實(shí)數(shù)乘法平面向量數(shù)量積交換律結(jié)合律分配律最終，小組展示探究結(jié)果，得到平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律為：運(yùn)算律平面向量數(shù)量積交換律結(jié)合律分配律之后，教師演示從平面向量數(shù)量積的幾何意義角度，證明分配律的正確性?！驹O(shè)計(jì)意圖】在這個(gè)環(huán)節(jié)中，仍然是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生在類(lèi)比的基礎(chǔ)上進(jìn)行猜想歸納，然后教師明晰結(jié)論，最后再完成證明，這樣做不僅培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生類(lèi)比創(chuàng)新意識(shí)，將知識(shí)的獲得和能力的培養(yǎng)有機(jī)的結(jié)合在一起。（七）典例分析例1、證明：（1）；（2）。證明：（1）（2）例2、已知，，與的夾角，求。解：例3、已知，，且與不共線(xiàn)。為何值時(shí)，向量與互相垂直？解：與互相垂直的條件是，即。因?yàn)椋?，所以。解之得：。也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，與互相垂直。【設(shè)計(jì)意圖】例1、例2是數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律的綜合應(yīng)用，教學(xué)時(shí)，重點(diǎn)從對(duì)運(yùn)算原理的分析和運(yùn)算過(guò)程的規(guī)范書(shū)寫(xiě)兩個(gè)方面加強(qiáng)示范。（八）鞏固練習(xí)1、判斷下列說(shuō)法是否正確。（1）；（）（2）若，則，至少有一個(gè)為零向量；（）（3）若，則與的夾角為銳角；（）（4）若，則。（）2、在等腰中，，，則。3、已知，，與的夾角，求。【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)鞏固練習(xí)，使學(xué)生對(duì)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、幾何意義以及運(yùn)算律的理解更加深刻，形成系統(tǒng)的知識(shí)體系；同時(shí)培養(yǎng)了運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。（九）課堂小結(jié)今天你學(xué)到了什么？學(xué)生自主完成歸納小結(jié)，教師加以補(bǔ)充完善，同時(shí)形成本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，并完成思想方法的小結(jié)歸納。1．平面向量數(shù)量積的定義：2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）垂直；（2）長(zhǎng)度；（3）夾角。3．平面向量數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積。4．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（類(lèi)比）：（1）交換律：；（2）結(jié)合律：；（3）分配律：。【設(shè)計(jì)意圖