高中數(shù)學(xué)北師大版第二章函數(shù)【全國(guó)一等獎(jiǎng)】

5簡(jiǎn)單的冪函數(shù)(一)時(shí)間：45分鐘滿分：80分班級(jí)________姓名________分?jǐn)?shù)________一、選擇題：(每小題5分，共5×6＝30分)1．下列函數(shù)中，不是冪函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x)B．y＝x2C．y＝2xD．y＝eq\f(1,x2)答案：C解析：選項(xiàng)C的自變量沒有在底數(shù)的位置．故選C.2．下列命題中正確的是()A．當(dāng)α＝0時(shí)，函數(shù)y＝xα的圖像是一條直線B．冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(0,0)，(1,1)兩點(diǎn)C．若冪函數(shù)y＝xα的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則y＝xα在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大D．冪函數(shù)的圖像不可能在第四象限答案：D解析：當(dāng)α＝0時(shí)，函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}，其圖像為兩條射線，故A不正確；當(dāng)α＜0時(shí)，函數(shù)y＝xα的圖像不過(0,0)點(diǎn)，故B不正確；冪函數(shù)y＝x－1的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但其在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故C不正確；當(dāng)x＞0，α∈R時(shí)，y＝xα＞0，則冪函數(shù)的圖像都不在第四象限，故D正確．3．已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝()\r(2)\f(1,2)\f(1,4)\f(\r(2),2)答案：D解析：由題意可設(shè)f(x)＝xα.又函數(shù)圖象過點(diǎn)(4,2)，∴4α＝2，∴α＝eq\f(1,2)，得f(x)＝x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2).故選D.4．圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn的部分圖象，已知n取±3，±eq\f(1,3)四個(gè)值，則對(duì)應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n的值依次為()A．－3，－eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，3B．3，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3)，－3C．－eq\f(1,3)，－3,3，eq\f(1,3)D．3，eq\f(1,3)，－3，－eq\f(1,3)答案：B解析：當(dāng)n>0時(shí)，冪函數(shù)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)n<0時(shí)，冪函數(shù)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，并且在x＝1的右側(cè)，圖象自下而上所對(duì)函數(shù)的冪指數(shù)n依次增大，故選B.5．函數(shù)y＝(m2－m－1)x是冪函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)為減函數(shù)，則()A．m＝－1，或m＝2B．m＝－1C．m＝2D．－1＜m＜3答案：C解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－1＝1，,m2－2m－3＜0.))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2＝0,－1＜m＜3.))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，或m＝－1，,－1＜m＜3.))?m＝2.6．當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝xa的圖像恒在直線y＝x的下方，則a的取值范圍是()A．0＜a＜1B．a(chǎn)＜0C．a(chǎn)＜1，且a≠0D．a(chǎn)<1答案：D解析：如圖(1)所示，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，對(duì)于x∈(1，＋∞)，y＝xa的圖像恒在直線y＝x的下方；如圖(2)所示，當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)于x∈(1，＋∞)，y＝xa的圖像也符合條件．如圖(3)，當(dāng)a＝0時(shí)，對(duì)x∈(1，＋∞)，符合條件．二、填空題：(每小題5分，共5×3＝15分)7．?dāng)?shù)，，按從小到大排列為________．答案：＜＜解析：因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x在(0，＋∞)上是增函數(shù)且＜，所以＜且都大于1，而＜1∴＜＜.8．當(dāng)α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))時(shí)，冪函數(shù)y＝xα的圖象不可能經(jīng)過第________象限．答案：二、四解析：冪函數(shù)y＝x－1，y＝x，y＝x3的圖象經(jīng)過第一、三象限．9．函數(shù)y＝(mx2＋4x＋2)＋(x2－mx＋1)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是________．答案：m＞2解析：要使y＝(mx2＋4x＋2)＋(x2－mx＋1)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則需mx2＋4x＋2＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,Δ＜0.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,42－4m×2＜0.))解得m＞2或m＝0.故m的取值范圍是m＞2或m＝0.三、解答題：(共35分，11＋12＋12)10．將下列各組數(shù)從小到大排列起來，并說明理由．(1)，(－，(－eq\f(1,3))；(2)，，(－；(3)，，.解：(1)∵(－＝＞0，(－eq\f(1,3))＜0，又y＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∴(－eq\f(1,3))＜(－＜.(2)∵＞1,0＜＜1，(－＜0，∴(－＜＜.(3)＝(eq\f(25,4))，＝4，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，又∵y＝x在(0，＋∞)單調(diào)遞增∴＜＜11．求下列函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．(1)y＝(2x－1)；(2)y＝(x＋2)－1.解：(1)2x－1≥0，x≥eq\f(1,2).∴定義域?yàn)閇eq\f(1,2)，＋∞)，值域?yàn)閇0，＋∞)．在[eq\f(1,2)，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)x＋2≠0，x≠－2，∴定義域?yàn)?－∞，－2)∪(－2，＋∞)，值域?yàn)?－1，＋∞)．在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減．12．點(diǎn)(eq\r(2)，2)在冪函數(shù)f(x)的圖像上，點(diǎn)(－2，eq\f(1,4))在冪函數(shù)g(x)的圖像上．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)問當(dāng)x取何值時(shí)有：①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x)．解：(1)設(shè)f(x)＝xa，因?yàn)辄c(diǎn)(eq\r(2)，2)在冪函數(shù)f(x)的圖像上，將(eq\r(2)，2)代入f(x)＝xa中，得2＝(eq\r(2))a，解得a＝2，即f(x)＝x2.設(shè)g(x)＝xb，因?yàn)辄c(diǎn)(－2，eq\f(1,4))在冪函數(shù)g(x)的圖像上，將(－2，eq\f(1,4))代入g(x)＝xb中，得eq\f(1,4)