高中數(shù)學(xué)人教B版4第一章坐標(biāo)系 第1章柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系

柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系1.5.1柱坐標(biāo)系1.5.2球坐標(biāo)系1.了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系的意義，能用柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系刻畫(huà)簡(jiǎn)單問(wèn)題中的點(diǎn)的位置.(重點(diǎn))2.知道柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)的互化關(guān)系與公式.(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]1.柱坐標(biāo)系(1)柱坐標(biāo)設(shè)空間中一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，M點(diǎn)在xOy坐標(biāo)面上的投影點(diǎn)為M0，M0點(diǎn)在xOy平面上的極坐標(biāo)為(ρ，θ)，如圖1-5-1所示，則三個(gè)有序數(shù)ρ，θ，z構(gòu)成的數(shù)組(ρ，θ，z)稱(chēng)為空間中點(diǎn)M的柱坐標(biāo).在柱坐標(biāo)中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z為任意實(shí)數(shù).圖1-5-1(2)空間直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的變換公式空間點(diǎn)M(x，y，z)與柱坐標(biāo)(ρ，θ，z)之間的變換公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,z＝z)).2.球坐標(biāo)系(1)球坐標(biāo)設(shè)空間中一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，點(diǎn)M在xOy坐標(biāo)面上的投影點(diǎn)為M0，連接OM和OM0.圖1-5-2如圖1-5-2所示，設(shè)z軸的正向與向量eq\o(OM,\s\up7(→))的夾角為φ，x軸的正向與eq\o(OM0,\s\up7(→))的夾角為θ，M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為r，則由三個(gè)數(shù)r，θ，φ構(gòu)成的有序數(shù)組(r，θ，φ)稱(chēng)為空間中點(diǎn)M的球坐標(biāo).若設(shè)投影點(diǎn)M0在xOy平面上的極坐標(biāo)為(ρ，θ)，則極坐標(biāo)θ就是上述的第二個(gè)球坐標(biāo)θ.在球坐標(biāo)中限定r≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π.(2)空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的變換公式空間點(diǎn)M(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，θ，φ)之間的變換公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ,y＝rsinφsinθ,z＝rcosφ)).[思考·探究]1.要刻畫(huà)空間一點(diǎn)的位置，就距離和角的個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)有什么限制？【提示】空間點(diǎn)的坐標(biāo)都是三個(gè)數(shù)值，其中至少有一個(gè)是距離.2.在柱坐標(biāo)系中，方程ρ＝1表示空間中的什么曲面？在球坐標(biāo)系中，方程r＝1分別表示空間中的什么曲面？【提示】柱坐標(biāo)系中，ρ＝1表示以z軸為中心，以1為半徑的圓柱面；球坐標(biāo)系中，方程r＝1表示球心在原點(diǎn)的單位球面.[自主·測(cè)評(píng)]1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為(2，eq\f(π,4)，3)，P在xOy平面上的射影為Q，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(2,0,3) B.(2，eq\f(π,4)，0)C.(eq\r(2)，eq\f(π,4)，3) D.(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0)【解析】由點(diǎn)的空間柱坐標(biāo)的意義可知，選B.【答案】B2.已知點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為(1,0,1)，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為()A.(1,1,0) B.(1,0,1)C.(0,1,1) D.(1,1,1)【解析】x＝ρ·cosθ＝1cosθ＝1，y＝ρsinθ＝0，z＝1.【答案】B3.設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－1，－eq\r(3)，3)，則它的柱坐標(biāo)是()A.(2，eq\f(π,3)，3) B.(2，eq\f(2π,3)，3)C.(2，eq\f(4π,3)，3) D.(2，eq\f(5π,3)，3)【解析】∵ρ＝eq\r(－12＋－\r(3)2)＝2，tanθ＝eq\f(－\r(3),－1)＝eq\r(3)，∴θ＝eq\f(π,3)或eq\f(4,3)π.又∵M(jìn)的直角坐標(biāo)中x＝－1，y＝－eq\r(3)，∴排除θ＝eq\f(π,3)，∴θ＝eq\f(4,3)π.∴M的柱坐標(biāo)為(2，eq\f(4π,3)，3).【答案】C4.設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－1，－1,0)，則它的球坐標(biāo)為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62790006】A.(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0) B.(eq\r(2)，eq\f(5π,4)，eq\f(π,2))C.(2，eq\f(5π,4)，0) D.(2,0，eq\f(π,4))【解析】由坐標(biāo)變換公式，得r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(2)，cosφ＝eq\f(z,r)＝0，∴φ＝eq\f(π,2).∵tanθ＝eq\f(y,x)＝1，∴θ＝eq\f(5,4)π.【答案】B[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：類(lèi)型一點(diǎn)的柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,1,1)，求它的柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo).【精彩點(diǎn)撥】已知直角坐標(biāo)系中的直角坐標(biāo)化為柱坐標(biāo)，利用公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z.))求出ρ，θ即可.【嘗試解答】設(shè)M的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝ρcosθ，,1＝ρsinθ，,z＝1，))解之得，ρ＝eq\r(2)，θ＝eq\f(π,4).因此，點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(eq\r(2)，eq\f(π,4)，1).由直角坐標(biāo)系中的直角坐標(biāo)求柱坐標(biāo)，可以先設(shè)出點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為ρ，θ，z代入變換公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z.))求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝eq\f(y,x)，求θ，在求θ的時(shí)候特別注意角θ所在的象限，從而確定θ的取值.[再練一題]1.根據(jù)下列點(diǎn)的柱坐標(biāo)，分別求直角坐標(biāo)：(1)(2，eq\f(5π,6)，3)；(2)(eq\r(2)，eq\f(π,4)，5).【解】設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y，z).(1)∵(ρ，θ，z)＝(2，eq\f(5π,6)，3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ＝2cos\f(5π,6)＝－\r(3)，,y＝ρsinθ＝2sin\f(5π,6)＝1，,z＝3，))因此所求點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－eq\r(3)，1,3).(2)∵(ρ，θ，z)＝(eq\r(2)，eq\f(π,4)，5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ＝\r(2)cos\f(π,4)＝1，,y＝ρsinθ＝\r(2)sin\f(π,4)＝1，,z＝5.))故所求點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1,5).類(lèi)型二將點(diǎn)的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(2，eq\f(3,4)π，eq\f(3,4)π)，求它的直角坐標(biāo).【精彩點(diǎn)撥】eq\x(球坐標(biāo))eq\o(→,\s\up14(x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，),\s\do14(z＝rcosφ))eq\x(直角坐標(biāo))【嘗試解答】設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y，z).∵(r，θ，φ)＝(2，eq\f(3,4)π，eq\f(3,4)π)，∴x＝2sineq\f(3,4)πcoseq\f(3,4)π＝2×eq\f(\r(2),2)×(－eq\f(\r(2),2))＝－1，y＝2sineq\f(3,4)πsineq\f(3,4)π＝2×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝1，z＝2coseq\f(3,4)π＝2×(－eq\f(\r(2),2))＝－eq\r(2).因此點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－1,1，－eq\r(2)).1.根據(jù)球坐標(biāo)系的意義以及與空間直角坐標(biāo)系的聯(lián)系，首先要明確點(diǎn)的球坐標(biāo)(r，θ，φ)中角φ，θ的邊與數(shù)軸Oz，Ox的關(guān)系，注意各自的限定范圍，即0≤θ<2π，0≤φ≤π.2.化點(diǎn)的球坐標(biāo)(r，θ，φ)為直角坐標(biāo)(x，y，z)，需要運(yùn)用公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，,y＝rsinφsinθ，,z＝rcosφ.))轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的求值與運(yùn)算.[再練一題]2.若“例2”中點(diǎn)M的球坐標(biāo)改為M(3，eq\f(5π,3)，eq\f(5π,6))，試求點(diǎn)M的直角坐標(biāo).【解】設(shè)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z).∵(r，θ，φ)＝(3，eq\f(5π,3)，eq\f(5π,6))，x＝rsinφcosθ＝3sineq\f(5π,6)coseq\f(5π,3)＝eq\f(3,4)，y＝rsinφsinθ＝3sineq\f(5π,6)sineq\f(5π,3)＝－eq\f(3\r(3),4)，z＝rcosφ＝3coseq\f(5π,6)＝－eq\f(3\r(3),2).∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(eq\f(3,4)，－eq\f(3\r(3),4)，－eq\f(3\r(3),2)).類(lèi)型三空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為球坐標(biāo)已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，棱AA1的長(zhǎng)為eq\r(2)，如圖1-5-3所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，Ax為極軸，求點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)和球坐標(biāo).圖1-5-3【精彩點(diǎn)撥】先確定C1的直角坐標(biāo)，再根據(jù)空間直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的聯(lián)系，計(jì)算球坐標(biāo).【嘗試解答】點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)為(1,1，eq\r(2)).設(shè)C1的球坐標(biāo)為(r，θ，φ)，其中r≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π，由x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝r·cosφ，∴r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(12＋\r(2)2＋12)＝2.由z＝rcosφ，∴cosφ＝eq\f(\r(2),2)，φ＝eq\f(π,4).又tanθ＝eq\f(y,x)＝1，∴θ＝eq\f(π,4)，從而點(diǎn)C1的球坐標(biāo)為(2，eq\f(π,4)，eq\f(π,4)).1.由直角坐標(biāo)化為球坐標(biāo)時(shí)，我們可以選設(shè)點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(r，θ，φ)，再利用變換公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，,y＝rsinφsinθ，,z＝rcosφ.))求出r，θ，φ.2.利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝eq\f(y,x)，cosφ＝eq\f(z,r).特別注意由直角坐標(biāo)求球坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)首先看明白點(diǎn)所在的象限，準(zhǔn)確取值，才能無(wú)誤.[再練一題]3.若本例中條件不變，求點(diǎn)C的柱坐標(biāo)和球坐標(biāo).【解】易知C的直角坐標(biāo)為(1,1,0).設(shè)點(diǎn)C的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，0)，球坐標(biāo)為(r，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π.(1)由于ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).又tanθ＝eq\f(y,x)＝1，∴θ＝eq\f(π,4).因此點(diǎn)C的柱坐標(biāo)為(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0).(2)由r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(12＋12＋0)＝eq\r(2).∴cosφ＝eq\f(z,r)＝0，∴φ＝eq\f(π,2).故點(diǎn)C的球坐標(biāo)為(eq\r(2)，eq\f(π,2)，eq\f(π,4)).[真題鏈接賞析](教材P21練習(xí)T2)設(shè)點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(2，eq\f(π,6)，7)，求它的直角坐標(biāo).在柱坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(2，eq\f(2,3)π，eq\r(5))，則|OM|＝________.【命題意圖】本題主要考查柱坐標(biāo)系的意義，以及點(diǎn)的位置刻畫(huà).【解析】設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z).由(ρ，θ，z)＝(2，eq\f(2,3)π，eq\r(5))知x＝ρcosθ＝2coseq\f(2,3)π＝－1，y＝2sineq\f(2,3)π＝eq\r(3).因此|OM|＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(－12＋\r(3)2＋\r(5)2)＝3.【答案】3我還有這些不足：(