高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面解析幾何初步單元測(cè)試 一等獎(jiǎng)

2．3空間直角坐標(biāo)系2．空間直角坐標(biāo)系及其應(yīng)用或許你沒(méi)有看過(guò)浩瀚無(wú)邊的大海，但是你一定看過(guò)美國(guó)作家海明威的著名小說(shuō)《老人與?！?，其生動(dòng)地描寫(xiě)了一位老人，在洶涌澎湃的海面上，孤身一人，與鯊魚(yú)搏斗，最后戰(zhàn)勝鯊魚(yú)的過(guò)程，盡管老人只能拖回一副魚(yú)骨頭，但是他告訴我們“一個(gè)人可以被毀滅，但不能被打敗”．這是強(qiáng)者的精神宣言．然而，你是否思考過(guò)：當(dāng)船航行在茫茫無(wú)際的大海上時(shí)，四周只見(jiàn)水，不見(jiàn)物，那么，怎樣知道船所在的位置呢？怎樣知道船離目的地還有多遠(yuǎn)呢？1．如圖，OABCD′A′B′C′是單位正方體．以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線OA，OC，OD′的方向?yàn)檎较?，以線段OA，OC，OD′的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸．這時(shí)我們說(shuō)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)；x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．如圖，設(shè)點(diǎn)M為空間的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸、y軸和z軸于點(diǎn)P，Q和R.設(shè)點(diǎn)P，Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標(biāo)分別是x，y和z，那么點(diǎn)M就對(duì)應(yīng)唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)．有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)M的坐標(biāo)，記作M(x，y，z)．其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)，原點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，0，0)．3．若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))．,一、空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系：從空間某一個(gè)定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸Ox、Oy、Oz，這樣的坐標(biāo)系叫做空間直角坐標(biāo)系Oxyz.點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸和z軸叫做坐標(biāo)軸．通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面．(2)右手直角坐標(biāo)系：在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．(3)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：對(duì)于空間任一點(diǎn)M，作出點(diǎn)M在三條坐標(biāo)軸Ox軸、Oy軸、Oz軸上的射影，其相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x、y、z，則把有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)．(4)xOy平面(通過(guò)x軸和y軸的平面)是坐標(biāo)形如(x，y，0)的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，其中x，y為任意的實(shí)數(shù)；xOz平面(通過(guò)x軸和z軸的平面)是坐標(biāo)形如(x，0，z)的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，其中x，z為任意的實(shí)數(shù)；yOz平面(通過(guò)y軸和z軸的平面)是坐標(biāo)形如(0，y，z)的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，其中y，z為任意的實(shí)數(shù)．(5)x軸是坐標(biāo)形如(x，0，0)的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，其中x為任意實(shí)數(shù)；y軸是坐標(biāo)形如(0，y，0)的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，其中y為任意實(shí)數(shù)；z軸是坐標(biāo)形如(0，0，z)的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，其中z為任意實(shí)數(shù)．二、空間直角坐標(biāo)系中與平面直角坐標(biāo)中重要結(jié)論對(duì)照表[設(shè)P為(x，y，z)或(x，y)]空間直角坐標(biāo)系中平面直角坐標(biāo)系中P在坐標(biāo)軸上在x軸上(x，0，0)(x，0)在y軸上(0，y，0)(0，y)在z軸上(0，0，z)P的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)(－x，－y，－z)(－x，－y)關(guān)于x軸(x，－y，－z)(x，－y)關(guān)于y軸(－x，y，－z)(－x，y)關(guān)于z軸(－x，－y，z)eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)知識(shí)點(diǎn)一空間中點(diǎn)的位置的確定1．點(diǎn)A(0，－2，3)在空間直角坐標(biāo)系的位置是在________平面上．解析：∵xA＝0，∴A在yOz平面上．答案：yOz2．有下列敘述：①在空間直角坐標(biāo)系中，在Ox軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是(0，b，c)；②在空間直角坐標(biāo)系中，在yOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定可寫(xiě)成(0，b，c)；③在空間直角坐標(biāo)系中，在Oz軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)可記作(0，0，c)；④在空間直角坐標(biāo)系中，在xOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，0，c)．其中正確敘述的序號(hào)是________．解析：根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸及坐標(biāo)面上點(diǎn)的特點(diǎn)知②③④正確．答案：②③④3．如右圖所示，空間直角坐標(biāo)系中OABCD′A′B′C′是棱長(zhǎng)為2的正方體．其中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BB′，C′D′，AA′的中點(diǎn)，則坐標(biāo)為(0，1，2)的點(diǎn)是________．解析：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，∴點(diǎn)在平面yOz上，豎坐標(biāo)為2.∴點(diǎn)在正方體的上底面上．又縱坐標(biāo)為1，故點(diǎn)為D′C′的中點(diǎn)G.答案：G點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定4．已知ABCD為平行四邊形，且A(4，1，3)、B(2，－5，1)、C(3，7，－5)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：連接AC、BD交于點(diǎn)P，則P為AC與BD的中點(diǎn)，由點(diǎn)A、C坐標(biāo)求得中點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4，－1))，再由B(2，－5，1)求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5，13，－3)．答案：(5，13，－3)5．點(diǎn)M(－1，2，1)在x軸上的射影為M′，則M′關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是________．解析：M(－1，2，1)在x軸上的射影M′的坐標(biāo)為(－1，0，0)，則M′關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(1，0，0)．答案：(1，0，0)6．若x軸上一點(diǎn)A到z軸上一點(diǎn)B的距離為4，并且AB的中點(diǎn)到平面xOy的距離為1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：設(shè)A(a，0，0)、B(0，0，c)，則AB中點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，\f(c,2)))，∴eq\f(|c|,2)＝1.∴|c|＝2.又a2＋c2＝16.∴a2＝12，a＝±2eq\r(3).答案：(±2eq\r(3)，0，0)知識(shí)點(diǎn)三空間中點(diǎn)的對(duì)稱7．點(diǎn)(1，1，1)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為_(kāi)_______．解析：由對(duì)稱知點(diǎn)(x，y，z)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，－y，z)．答案：(－1，－1，1)8．點(diǎn)P(3，4，5)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：點(diǎn)(a，b，c)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為(－a，b，c)．答案：(－3，4，5)9．點(diǎn)M(2，－3，1)關(guān)于點(diǎn)P(1，1，1)的對(duì)稱點(diǎn)是________．解析：點(diǎn)M(a，b，c)關(guān)于點(diǎn)P(1，1，1)的對(duì)稱點(diǎn)是(2－a，2－b，2－c)．答案：(0，5，1)eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級(jí))綜合點(diǎn)一求空間中點(diǎn)的坐標(biāo)10．如右圖，三棱錐OABC為一個(gè)正方體截下的一角，OA＝a，OB＝b，OC＝c，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則△ABC的重心G的坐標(biāo)是________．解析：∵A(a，0，0)、B(0，0，b)、C(0，c，0)，∴Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(c,3)，\f(b,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(c,3)，\f(b,3)))11．已知矩形ABCD中，AB＝eq\r(15)，AD＝eq\r(10)，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得平面BCD⊥平面ABD.以D為原點(diǎn)，射線DB為y軸的正半軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，此時(shí)點(diǎn)A恰好在xDy坐標(biāo)平面內(nèi)．試求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．解析：如下圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，由面BCD⊥面ABD，得CF⊥面ABD，AE⊥面BCD.又在Rt△BCD中，BD＝eq\r(（\r(15)）2＋（\r(10)）2)＝5，∴DF＝eq\f(CD2,BD)＝3，CF＝eq\f(CD·BC,BD)＝eq\r(6).同理可得AE＝eq\r(6)，DE＝2，故A(eq\r(6)，2，0)、C(0，3，eq\r(6))．綜合點(diǎn)二空間中的對(duì)稱問(wèn)題12．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(x，y，z)，給出下面命題：①點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，－y，－z)；②點(diǎn)P關(guān)于平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，－y，－z)；③點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，－y，z)；④點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(－x，－y，－z)．其中正確命題的序號(hào)是________．解析：點(diǎn)P關(guān)于x軸、平面yOz、y軸、原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x，－y，－z)、(－x，y，z)、(－x，y，－z)、(－x，－y，－z)，故只有命題①④正確．答案：①④13．如圖，已知一長(zhǎng)