高中數(shù)學蘇教版第二章平面解析幾何初步單元測試 一等獎

2．3空間直角坐標系2．空間直角坐標系及其應(yīng)用或許你沒有看過浩瀚無邊的大海，但是你一定看過美國作家海明威的著名小說《老人與?！罚渖鷦拥孛鑼懥艘晃焕先?，在洶涌澎湃的海面上，孤身一人，與鯊魚搏斗，最后戰(zhàn)勝鯊魚的過程，盡管老人只能拖回一副魚骨頭，但是他告訴我們“一個人可以被毀滅，但不能被打敗”．這是強者的精神宣言．然而，你是否思考過：當船航行在茫茫無際的大海上時，四周只見水，不見物，那么，怎樣知道船所在的位置呢？怎樣知道船離目的地還有多遠呢？1．如圖，OABCD′A′B′C′是單位正方體．以O(shè)為原點，分別以射線OA，OC，OD′的方向為正方向，以線段OA，OC，OD′的長為單位長，建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸．這時我們說建立了一個空間直角坐標系Oxyz，其中點O叫做坐標原點；x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．如圖，設(shè)點M為空間的一個定點，過點M分別作垂直于x軸、y軸和z軸的平面，依次交x軸、y軸和z軸于點P，Q和R.設(shè)點P，Q和R在x軸、y軸和z軸上的坐標分別是x，y和z，那么點M就對應(yīng)唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)．有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點M的坐標，記作M(x，y，z)．其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標，原點O的坐標為(0，0，0)．3．若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則A、B兩點的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))．,一、空間直角坐標系(1)空間直角坐標系：從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸Ox、Oy、Oz，這樣的坐標系叫做空間直角坐標系Oxyz.點O叫做坐標原點，x軸、y軸和z軸叫做坐標軸．通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面．(2)右手直角坐標系：在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．(3)空間直角坐標系中的坐標：對于空間任一點M，作出點M在三條坐標軸Ox軸、Oy軸、Oz軸上的射影，其相應(yīng)數(shù)軸上的坐標依次為x、y、z，則把有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x，y，z)，其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標．(4)xOy平面(通過x軸和y軸的平面)是坐標形如(x，y，0)的點構(gòu)成的點集，其中x，y為任意的實數(shù)；xOz平面(通過x軸和z軸的平面)是坐標形如(x，0，z)的點構(gòu)成的點集，其中x，z為任意的實數(shù)；yOz平面(通過y軸和z軸的平面)是坐標形如(0，y，z)的點構(gòu)成的點集，其中y，z為任意的實數(shù)．(5)x軸是坐標形如(x，0，0)的點構(gòu)成的點集，其中x為任意實數(shù)；y軸是坐標形如(0，y，0)的點構(gòu)成的點集，其中y為任意實數(shù)；z軸是坐標形如(0，0，z)的點構(gòu)成的點集，其中z為任意實數(shù)．二、空間直角坐標系中與平面直角坐標中重要結(jié)論對照表[設(shè)P為(x，y，z)或(x，y)]空間直角坐標系中平面直角坐標系中P在坐標軸上在x軸上(x，0，0)(x，0)在y軸上(0，y，0)(0，y)在z軸上(0，0，z)P的對稱點關(guān)于原點(－x，－y，－z)(－x，－y)關(guān)于x軸(x，－y，－z)(x，－y)關(guān)于y軸(－x，y，－z)(－x，y)關(guān)于z軸(－x，－y，z)eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)知識點一空間中點的位置的確定1．點A(0，－2，3)在空間直角坐標系的位置是在________平面上．解析：∵xA＝0，∴A在yOz平面上．答案：yOz2．有下列敘述：①在空間直角坐標系中，在Ox軸上的點的坐標一定是(0，b，c)；②在空間直角坐標系中，在yOz平面上的點的坐標一定可寫成(0，b，c)；③在空間直角坐標系中，在Oz軸上的點的坐標可記作(0，0，c)；④在空間直角坐標系中，在xOz平面上的點的坐標是(a，0，c)．其中正確敘述的序號是________．解析：根據(jù)空間直角坐標系中坐標軸及坐標面上點的特點知②③④正確．答案：②③④3．如右圖所示，空間直角坐標系中OABCD′A′B′C′是棱長為2的正方體．其中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BB′，C′D′，AA′的中點，則坐標為(0，1，2)的點是________．解析：點的橫坐標為0，∴點在平面yOz上，豎坐標為2.∴點在正方體的上底面上．又縱坐標為1，故點為D′C′的中點G.答案：G點知識點二空間中點的坐標的確定4．已知ABCD為平行四邊形，且A(4，1，3)、B(2，－5，1)、C(3，7，－5)，則點D的坐標為________．解析：連接AC、BD交于點P，則P為AC與BD的中點，由點A、C坐標求得中點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4，－1))，再由B(2，－5，1)求得點D的坐標為(5，13，－3)．答案：(5，13，－3)5．點M(－1，2，1)在x軸上的射影為M′，則M′關(guān)于原點的對稱點是________．解析：M(－1，2，1)在x軸上的射影M′的坐標為(－1，0，0)，則M′關(guān)于原點的對稱點為(1，0，0)．答案：(1，0，0)6．若x軸上一點A到z軸上一點B的距離為4，并且AB的中點到平面xOy的距離為1，則點A的坐標為________．解析：設(shè)A(a，0，0)、B(0，0，c)，則AB中點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，\f(c,2)))，∴eq\f(|c|,2)＝1.∴|c|＝2.又a2＋c2＝16.∴a2＝12，a＝±2eq\r(3).答案：(±2eq\r(3)，0，0)知識點三空間中點的對稱7．點(1，1，1)關(guān)于z軸的對稱點為________．解析：由對稱知點(x，y，z)關(guān)于z軸的對稱點為(－x，－y，z)．答案：(－1，－1，1)8．點P(3，4，5)關(guān)于yOz平面的對稱點的坐標為________．解析：點(a，b，c)關(guān)于yOz平面的對稱點為(－a，b，c)．答案：(－3，4，5)9．點M(2，－3，1)關(guān)于點P(1，1，1)的對稱點是________．解析：點M(a，b，c)關(guān)于點P(1，1，1)的對稱點是(2－a，2－b，2－c)．答案：(0，5，1)eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級)綜合點一求空間中點的坐標10．如右圖，三棱錐OABC為一個正方體截下的一角，OA＝a，OB＝b，OC＝c，建立如圖所示的坐標系，則△ABC的重心G的坐標是________．解析：∵A(a，0，0)、B(0，0，b)、C(0，c，0)，∴Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(c,3)，\f(b,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(c,3)，\f(b,3)))11．已知矩形ABCD中，AB＝eq\r(15)，AD＝eq\r(10)，將矩形ABCD沿對角線BD折起，使得平面BCD⊥平面ABD.以D為原點，射線DB為y軸的正半軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，此時點A恰好在xDy坐標平面內(nèi)．試求A，C兩點的坐標．解析：如下圖，過點C作CF⊥BD于點F，過點A作AE⊥BD于點E，由面BCD⊥面ABD，得CF⊥面ABD，AE⊥面BCD.又在Rt△BCD中，BD＝eq\r(（\r(15)）2＋（\r(10)）2)＝5，∴DF＝eq\f(CD2,BD)＝3，CF＝eq\f(CD·BC,BD)＝eq\r(6).同理可得AE＝eq\r(6)，DE＝2，故A(eq\r(6)，2，0)、C(0，3，eq\r(6))．綜合點二空間中的對稱問題12．在空間直角坐標系中，已知點P(x，y，z)，給出下面命題：①點P關(guān)于x軸的對稱點的坐標是(x，－y，－z)；②點P關(guān)于平面yOz的對稱點的坐標是(x，－y，－z)；③點P關(guān)于y軸的對稱點的坐標是(x，－y，z)；④點P關(guān)于原點的對稱點的坐標是(－x，－y，－z)．其中正確命題的序號是________．解析：點P關(guān)于x軸、平面yOz、y軸、原點的對稱點的坐標分別是(x，－y，－z)、(－x，y，z)、(－x，y，－z)、(－x，－y，－z)，故只有命題①④正確．答案：①④13．如圖，已知一長