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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.閱讀下側(cè)程序框圖,為使輸出的數(shù)據(jù)為31,則①處應(yīng)填的數(shù)字為A.4 B.5 C.6 D.72.若雙曲線:繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)后可得某一函數(shù)的圖象,則的離心率等于()A. B. C.2或 D.2或3.函數(shù)(,,)的部分圖象如圖所示,則的值分別為()A.2,0 B.2, C.2, D.2,4.已知,是函數(shù)圖像上不同的兩點,若曲線在點,處的切線重合,則實數(shù)的最小值是()A. B. C. D.15.設(shè),是非零向量,若對于任意的,都有成立,則A. B. C. D.6.設(shè),且,則()A. B. C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點,其橫坐標(biāo)分別為,則()A. B. C. D.9.函數(shù)的圖象可能是()A. B. C. D.10.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.若實數(shù)、滿足,則的最小值是()A. B. C. D.12.在中,內(nèi)角所對的邊分別為,若依次成等差數(shù)列,則()A.依次成等差數(shù)列 B.依次成等差數(shù)列C.依次成等差數(shù)列 D.依次成等差數(shù)列二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,且,則________.14.定義在上的偶函數(shù)滿足,且,當(dāng)時,.已知方程在區(qū)間上所有的實數(shù)根之和為.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,則__________,__________.15.在《九章算術(shù)》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如圖,若四棱錐為陽馬,側(cè)棱底面,且,,設(shè)該陽馬的外接球半徑為,內(nèi)切球半徑為,則__________.16.(5分)已知為實數(shù),向量,,且,則____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的各項都為正數(shù),,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),其中表示不超過x的最大整數(shù),如,,求數(shù)列的前2020項和.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,,為的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù),(1)證明:在區(qū)間單調(diào)遞減;(2)證明:對任意的有.21.(12分)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程;(2)已知點,直線與曲線交于、兩點,求.22.(10分)已知矩陣,求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】考點:程序框圖.分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是利用循環(huán)求S的值,我們用表格列出程序運行過程中各變量的值的變化情況,不難給出答案.解:程序在運行過程中各變量的值如下表示:Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i<5時退出,故選B.2、C【解析】
由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知,此雙曲線的兩條漸近線的夾角為,所以或,由離心率公式即可算出結(jié)果.【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知,此雙曲線的兩條漸近線的夾角為,又雙曲線的焦點既可在軸,又可在軸上,所以或,或.故選:C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),函數(shù)的概念,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.3、D【解析】
由題意結(jié)合函數(shù)的圖象,求出周期,根據(jù)周期公式求出,求出,根據(jù)函數(shù)的圖象過點,求出,即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知:,函數(shù)的圖象過點,,則故選【點睛】本題主要考查的是的圖像的運用,在解答此類題目時一定要挖掘圖像中的條件,計算三角函數(shù)的周期、最值,代入已知點坐標(biāo)求出結(jié)果4、B【解析】
先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出在兩點處的切線方程,再利用兩直線斜率相等且縱截距相等,列出關(guān)系樹,從而得出,令函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時,,則;當(dāng)時,則.設(shè)為函數(shù)圖像上的兩點,當(dāng)或時,,不符合題意,故.則在處的切線方程為;在處的切線方程為.由兩切線重合可知,整理得.不妨設(shè)則,由可得則當(dāng)時,的最大值為.則在上單調(diào)遞減,則.故選:B.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了推理論證能力,考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點是求出和的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯點是計算.5、D【解析】
畫出,,根據(jù)向量的加減法,分別畫出的幾種情況,由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意,得向量是所有向量中模長最小的向量,如圖,當(dāng),即時,最小,滿足,對于任意的,所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法,以及點到直線的距離最短問題,解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
將等式變形后,利用二次根式的性質(zhì)判斷出,即可求出的范圍.【詳解】即故選:C【點睛】此題考查解三角函數(shù)方程,恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解,屬于簡單題目.7、A【解析】
利用已知條件畫出幾何體的直觀圖,然后求解幾何體的體積.【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示,則該幾何體的體積為:.故選:.【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.8、A【解析】
畫出函數(shù)的圖像,函數(shù)對稱軸方程為,由圖可得與關(guān)于對稱,即得解.【詳解】函數(shù)的圖像如圖,對稱軸方程為,,又,由圖可得與關(guān)于對稱,故選:A【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.9、A【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號,結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為,,該函數(shù)為偶函數(shù),排除B、D選項;當(dāng)時,,排除C選項.故選:A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象,一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號,結(jié)合排除法得出結(jié)果,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.10、C【解析】
由題可知,曲線與有公共點,即方程有解,可得有解,令,則,對分類討論,得出時,取得極大值,也即為最大值,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解:由題可知,曲線與有公共點,即方程有解,即有解,令,則,則當(dāng)時,;當(dāng)時,,故時,取得極大值,也即為最大值,當(dāng)趨近于時,趨近于,所以滿足條件.故選:C.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,考查抽象概括、運算求解等數(shù)學(xué)能力,屬于難題.11、D【解析】
根據(jù)約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,得,可得點,由得,平移直線,當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點時,該直線在軸上的截距最小,此時取最小值,即.故選:D.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是基礎(chǔ)題.12、C【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,從而可得結(jié)果.【詳解】依次成等差數(shù)列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差數(shù)列,故選C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理,屬于難題.解三角形時,有時可用正弦定理,有時也可用余弦定理,應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷.如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時,則要考慮兩個定理都有可能用到.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實數(shù)的等式,即可求得實數(shù)的值.【詳解】,且,則,解得.故答案為:.【點睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù),涉及垂直向量的坐標(biāo)表示,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、24【解析】
根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)且,所以的周期為,的實數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點的橫坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象,根據(jù)函數(shù)的對稱性可得所有實數(shù)根的和為,從而可得參數(shù)的值,最后求出函數(shù)的解析式,代入求值即可.【詳解】解:因為為偶函數(shù)且,所以的周期為.因為時,,所以可作出在區(qū)間上的圖象,而方程的實數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點的橫坐標(biāo),結(jié)合函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的簡圖,可知兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間上有六個交點.由圖象的對稱性可知,此六個交點的橫坐標(biāo)之和為,所以,故.因為,所以.故.故答案為:;【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的應(yīng)用,函數(shù)方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,屬于難題.15、【解析】
該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑,由此能求出,內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓,從而內(nèi)切球半徑為,由此能求出.【詳解】四棱錐為陽馬,側(cè)棱底面,且,,設(shè)該陽馬的外接球半徑為,該陽馬補形所得到的長方體的對角線為外接球的直徑,,,側(cè)棱底面,且底面為正方形,內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓,內(nèi)切球半徑為,故.故答案為.【點睛】本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關(guān)問題,補形法的運用,以及數(shù)學(xué)文化,考查了空間想象能力,是中檔題.解決球與其他幾何體的切、接問題,關(guān)鍵是能夠確定球心位置,以及選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有很多,主要有兩種:(1)補形法(構(gòu)造法),通過補形為長方體(正方體),球心位置即為體對角線的中點;(2)外心垂線法,先找出幾何體中不共線三點構(gòu)成的三角形的外心,再找出過外心且與不共線三點確定的平面垂直的垂線,則球心一定在垂線上.16、5【解析】
由,,且,得,解得,則,則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)4953【解析】
(Ⅰ)遞推公式變形為,由數(shù)列是正項數(shù)列,得到,根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項公式;(Ⅱ),根據(jù)新定義和對數(shù)的運算分類討論數(shù)列的通項公式,并求前2020項和.【詳解】(Ⅰ)∵,∴,∴又∵數(shù)列的各項都為正數(shù),∴,即.∴數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴.(Ⅱ)∵,∴,.∴數(shù)列的前2020項的和為.【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式和數(shù)列的前項和,意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想,計算能力,屬于中檔題型.18、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)時,根據(jù)絕對值不等式的定義去掉絕對值,求不等式的解集即可;(Ⅱ)不等式的解集為,等價于,求出在的最小值即可.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時,時,不等式化為,解得,即時,不等式化為,不等式恒成立,即時,不等式化為,解得,即綜上所述,不等式的解集為(Ⅱ)不等式的解集為對任意恒成立當(dāng)時,取得最小值為實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法與應(yīng)用問題,也考查了函數(shù)絕對值三角不等式的應(yīng)用問題,屬于常規(guī)題型.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)取的中點,連接,根據(jù)中位線的方法證明四邊形是平行四邊形.再證明與從而證明平面,從而得到平面即可.(2)以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,再求得平面的法向量與平面的法向量進(jìn)而求得二面角的余弦值即可.【詳解】(1)證明:如圖,取的中點,連接.又為的中點,則是的中位線.所以且.又且,所以且.所以四邊形是平行四邊形.所以.因為,為的中點,所以.因為,所以.因為平面,所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.(2)易知兩兩互相垂直,所以分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:因為,所以點.則.設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得平面的一個法向量為;顯然平面的一個法向量為;設(shè)二面角的大小為,則.故二面角的余弦值是.【點睛】本題主要考查了線面垂直的證明以及建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角的問題,需要用到線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)換以及法向量的求法等.屬于中檔題.20、(1)答案見解析.(2)答案見解析【解析】
(1)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.(2)首先證,令,求導(dǎo)可得單調(diào)遞增,由即可證出;再令,再利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增,由即可證出.【詳解】(1)顯然時,,故在單調(diào)遞減.(2)首先證,令,則單調(diào)遞增,且,所以再令,所以單調(diào)遞增,即,∴【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,解題的關(guān)鍵掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),屬于難題.21、(1).(2)【解析】
(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式,以及消去參數(shù),即可求解;(2)設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為,,將直線的參數(shù)方程代入曲線方程,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,即可求解.【詳解】(1)對于曲線的極坐標(biāo)方程為,可得,又由,可得,即,所以曲線的普通方程為.由直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù)可得,即直線的方程為,即.(2)設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為,,將直線的參數(shù)方程(為參數(shù))代入曲線中,可得.化簡得:,則.所以.【點睛】本題主要考查了參數(shù)
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