高中數(shù)學(xué)北師大版2第一章推理與證明第1章3

第一章§3一、選擇題1．用反證法證明命題“若a＞b，則eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是()\r(3,a)＝eq\r(3,b) \r(3,a)＜eq\r(3,b)\r(3,a)＝eq\r(3,b)，且eq\r(3,a)＜eq\r(3,b) \r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)＜eq\r(3,b)解析：“eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)”的否定是“eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)”，即“eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)＜eq\r(3,b)”．答案：D2．如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)()A．一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù) B．兩個(gè)都是正數(shù)C．至少有一個(gè)是正數(shù) D．兩個(gè)都是負(fù)數(shù)解析：若都不是正數(shù)，則兩數(shù)之和一定不會(huì)是正數(shù)．答案：C3．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都大于2 B．至少有一個(gè)大于2C．至少有一個(gè)不小于2 D．至少有一個(gè)不大于2解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥2＋2＋2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)取“＝”．故選C.答案：C4．已知f(x)是R上的增函數(shù)，a，b∈R，下列四個(gè)命題：①若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0；③若a＋b＜0，則f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，則a＋b＜0，其中真命題個(gè)數(shù)為()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：易知①③正確．②用反證法：假設(shè)a＋b＜0，則a＜－b，b＜－a，∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)與條件矛盾，故a＋b≥0，從而②為真命題，④類似于②用反證法．答案：D二、填空題5．若a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，ab＞0，則用反證法求證a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，應(yīng)假設(shè)為___________．答案：a、b、c不全是正數(shù)6．命題“a，b是實(shí)數(shù)，若|a－1|＋|b－1|＝0，則a＝b＝1”用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)為_________答案：a≠1或b≠1三、解答題7．設(shè)f(x)＝x2＋ax＋b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2).證明：假設(shè)|f(1)|＜eq\f(1,2)，|f(2)|＜eq\f(1,2)，|f(3)|＜eq\f(1,2)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜1＋a＋b＜\f(1,2)，,－\f(1,2)＜4＋2a＋b＜\f(1,2)，,－\f(1,2)＜9＋3a＋b＜\f(1,2).))于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＋b＜－\f(1,2)，①,－\f(9,2)＜2a＋b＜－\f(7,2)，②,－\f(19,2)＜3a＋b＜－\f(17,2).③))由①、②得－4＜a＜－2，④由②、③得－6＜a＜－4.⑤④、⑤顯然相互矛盾，所以假設(shè)不成立，所以原命題正確．8．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求證：a＞0.證明：假設(shè)a≤0，即a＜0或a＝0.(1)若a＝0，則abc＝0，這與abc＞0矛盾；(2)若a＜0，則由abc＞0，知bc＜0，又因?yàn)閎c＞－(ac＋ab)，所以－(ac＋ab)＜0，∴ac＋ab＞0，即a(c＋b)＞0，而a＜0，所以b＋c＜0，所以a＋b＋c＜0，這與a＋b＋c＞0相矛盾，綜上所述，假設(shè)不成立，從而a＞0.9．如圖，已知平面α∩β＝a，bβ，a∩b＝A，且cα，c∥a，求證：b、c為異面直線．證明：假設(shè)b、c不是異面直線，即b、c為共面直線，則b、c為相交直線或平行直線．(1)若b∩c＝P，已知bβ，cα，又α∩β＝a，則P∈(bβ)，且P∈(cα)，從而，交點(diǎn)P一定在平面α、β的交線上(公理二)，