高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計(jì)數(shù)原理二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)（席志濤）

《二項(xiàng)式定理》教學(xué)設(shè)計(jì)（貴州省實(shí)驗(yàn)中學(xué)席志濤）一．教學(xué)內(nèi)容及其解析二項(xiàng)式定理是帶領(lǐng)我們進(jìn)入微積分領(lǐng)域大門的一把金鑰匙，只是在初中沒有顯示的機(jī)會(huì)。本節(jié)知識(shí)類型屬于概念型認(rèn)識(shí)，將本節(jié)內(nèi)容放在計(jì)數(shù)原理之后來學(xué)習(xí)，一方面是因?yàn)槎?xiàng)式定理證明要用到計(jì)數(shù)原理，另一方面也是學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其分布列的準(zhǔn)備。二項(xiàng)式定理安排在高中數(shù)學(xué)排列組合內(nèi)容后的一部分內(nèi)容，其形成過程是計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)也是自成體系的知識(shí)塊，它是二項(xiàng)展開式與多項(xiàng)式乘法有密切的聯(lián)系，本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，必然從更廣的視角和更高的層次來審視初中學(xué)習(xí)的關(guān)于多項(xiàng)式變形的知識(shí)。運(yùn)用二項(xiàng)式定理可以解決一些比較典型的數(shù)學(xué)問題，例如近似計(jì)算、整除問題、不等式的證明等。二．教學(xué)目標(biāo)及其解析（一）目標(biāo)1、能用計(jì)數(shù)原理分析的展開式；捕捉二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)的系數(shù)的組合規(guī)律。2.會(huì)用類比、合情推理的方法研究，，二項(xiàng)式展開式問題。3.學(xué)生會(huì)主動(dòng)觀察項(xiàng)以及系數(shù)的變化規(guī)律、類比，、猜想、歸納二項(xiàng)式的能力。（二）目標(biāo)解析1、將二項(xiàng)式展開式與計(jì)數(shù)原理聯(lián)系在一起并不容易，所以通過小桶去球的情景鋪設(shè)兩者的對(duì)接的橋梁，實(shí)現(xiàn)對(duì)的展開式”的深入探究，最終摸索出的展開式的規(guī)律，并能用自己的語(yǔ)言說出的展開式的項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)次數(shù)及展開式中各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，體驗(yàn)從特殊到一般的邏輯思考方法。2、培養(yǎng)學(xué)生類比歸納的合情推理在本節(jié)課指的是學(xué)生能從取球的例題從遷移到的展開式，從而歸納的展開式。三．學(xué)情分析1.根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，學(xué)生已有的基礎(chǔ)是計(jì)數(shù)原理、排列組合相關(guān)知識(shí)，但教學(xué)中遇到的第一個(gè)困難就是學(xué)生不能主動(dòng)運(yùn)用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開式。要解決這一問題，在教學(xué)中設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生熟悉的取球的例子；然后引導(dǎo)學(xué)生用解決上述問題的方法寫出的展開式，突出計(jì)數(shù)原理在解決二項(xiàng)式展開式可以起到的作用。2.學(xué)生已有基礎(chǔ)多項(xiàng)式相承運(yùn)算法則，但教學(xué)中可能遇到的又一困難就是學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)系數(shù)用組合數(shù)表示的規(guī)律。課堂教學(xué)中，關(guān)鍵是考察學(xué)生是否理解“完成一件事”是什么？如何完成這件事情？，要完成這件事可以分成兩步完成：第一步取足夠的，第二步取相應(yīng)個(gè)數(shù)的；同時(shí)也要注意到教材中“由于選定后，的選法也隨之確定”這句話對(duì)理解取計(jì)數(shù)的重要性，當(dāng)然也應(yīng)該留給學(xué)生足夠的時(shí)間去分析思考；老師根據(jù)具體情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。四、教學(xué)策略分析：1、通過數(shù)學(xué)模型的引入，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)預(yù)備知識(shí)，完成學(xué)與較的現(xiàn)實(shí)出發(fā)。2、學(xué)生習(xí)慣使用多項(xiàng)式乘積展開，特別提出展開，促使學(xué)生向新方法轉(zhuǎn)向。3、圍繞重點(diǎn)設(shè)計(jì)問題串，“展開式中同類項(xiàng)的形式是怎樣的？每一類型的項(xiàng)的個(gè)數(shù)如何計(jì)算？引導(dǎo)學(xué)生深入思考問題的本質(zhì)。四．教學(xué)重點(diǎn)：探究并歸納用計(jì)數(shù)原理分析的展開式的形成過程，并依此方法得到二項(xiàng)式定理．五．教學(xué)難點(diǎn)：1、展開式中會(huì)有哪幾種類型的項(xiàng)？2、展開式中各項(xiàng)的系數(shù)如何確定？本節(jié)課的教學(xué)流程：取球例題分析的展開式分析的展開式分析展開式解決二項(xiàng)式展開式問題六、教學(xué)技術(shù)開發(fā)與利用：智能網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)本節(jié)課借助本校智能網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，參與學(xué)生自主探究、課堂練習(xí)過程，一方面，可以快速捕捉學(xué)生學(xué)習(xí)中的問題.，及時(shí)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的情況；另一方面，可以高效的展示學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，更好的為學(xué)生樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。七．教學(xué)環(huán)節(jié)：（一）創(chuàng)設(shè)情境引入新課：?jiǎn)栴}：有兩個(gè)小桶裝有大小相同，質(zhì)地相同的a、b兩小球。在每個(gè)桶中各取一個(gè)小球，共有幾種不同的取法？枚舉法：共有aa、ab、ba、bb等4種不同的取法。分步計(jì)數(shù)原理：第一步，第一次取球有2種方法；第二步，第二次取球有2種方法，所以一共22=4種不同的取法。分類計(jì)數(shù)原理：第一類，都取a，有1種；第二類，取不同，2種；第三類，都取b，有2種，所以一共有N=1+2+1=4種不同的取法。教師多媒體演示：取球過程。師：上述過程實(shí)際上就是解決展開式的問題【設(shè)計(jì)意圖】取球是同學(xué)們極為熟悉的組合代表性例子，也是基本的概型，解決該問題學(xué)生已經(jīng)得心應(yīng)手，并已深刻理解，問題的解決便于學(xué)生采用類比的合情推理解決新問題，為下面教學(xué)做準(zhǔn)備。（二）新課講授（定理是怎么來的？）問題1：我們知道，當(dāng)我們遇到的數(shù)學(xué)問題需要的展開式解決，那我們又該怎么辦呢？我們能否剛才的取球模型中找出規(guī)律，解決這個(gè)問題呢？【設(shè)計(jì)意圖】直接提出的展開式是因?yàn)閷W(xué)生用以前所學(xué)多項(xiàng)式乘法知識(shí)進(jìn)行展開時(shí)，計(jì)算麻煩，這樣就可以為新的研究方法塑造重要地位。該設(shè)計(jì)旨在利用新舊方法之間產(chǎn)生的沖突激發(fā)學(xué)生的求知欲，同時(shí)向?qū)W生點(diǎn)明二項(xiàng)式定理所要研究的問題。問題2、我們是否可以從剛才的取球的數(shù)學(xué)模型找出解決問題的方法呢？我們重新認(rèn)識(shí)如何？獲得認(rèn)識(shí)：【設(shè)計(jì)意圖】問題2是本節(jié)課的關(guān)鍵所在，從計(jì)數(shù)原理，組合知識(shí)探尋的展開式，是全新的研究方法，必須讓學(xué)生“入戲”，從這個(gè)角度理解二項(xiàng)式展開式。課堂探究1：從特殊入手，推導(dǎo)的展開式。①展開式中的項(xiàng)：歸納：②每一項(xiàng)的系數(shù)：歸納：③寫出展開式：+++探究2：仿照上述過程，推導(dǎo)的展開式。+++++++教師啟發(fā)學(xué)生觀察上述等式，尋找其項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)次數(shù)及展開式中各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)?！驹O(shè)計(jì)意圖】利用三個(gè)特殊的展開式尋找規(guī)律，讓學(xué)生從中體會(huì)到解決問題的一般策略：從特殊到一般，即不完全歸納法。探究3：由上述四個(gè)展開式，猜想的展開式。此處的證明采用“說理”的方法。讓學(xué)生用計(jì)數(shù)原理，分析的展開過程，證明猜想。問題2：二項(xiàng)式定理的內(nèi)容是什么？一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，有：此公式所表示的定理，我們稱為二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式。請(qǐng)學(xué)生總結(jié)：①二項(xiàng)展開式有多少項(xiàng)？為什么？②展開式的每一項(xiàng)由哪幾個(gè)部分構(gòu)成？字母的指數(shù)如何變化？③能否寫出展開式的通項(xiàng)？它是展開式中的第幾項(xiàng)？（三）二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用：1、課堂練習(xí)：求的展開式。2、例：求的展開式。思考1：展開式的第2項(xiàng)的系數(shù)是多少？思考2：展開式的第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是多少？思考3：你能否直接求出展開式的第4項(xiàng)？