【公開課教案】同角三角函數(shù)的基本關系教學設計（第3課時）必修第一冊

課題：5.2.2同角三角函數(shù)的基本關系教學設計（第3課時）（一）教學內(nèi)容同角三角函數(shù)的基本關系及其應用．（二）教學目標1．通過三角函數(shù)的定義能推導同角三角函數(shù)的基本關系式，發(fā)展學生數(shù)學抽象，邏輯推理素養(yǎng) 2.通過同角三角函數(shù)的基本關系式，能根據(jù)一個角的三角函數(shù)值，求其它三角函數(shù)值，發(fā)展學生分類討論的思想3.通過靈活運用同角三角函數(shù)的基本關系式的不同變形，能進行化簡、求值與恒等式證明，發(fā)展學生計算素養(yǎng)。（三）教學重點與難點1.重點理解并掌握同角三角函數(shù)基本關系式的推導及應用；2.難點同角三角函數(shù)的基本關系式的變式應用。教學過程（一）同角三角函數(shù)的基本關系導入語：此前我們學習了三角函數(shù)的定義，并從定義出發(fā)發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)值的符號規(guī)律，我們還從終邊相同的角的三角函數(shù)的關系入手發(fā)現(xiàn)了公式一．公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．因為三個三角函數(shù)的值都是由角的終邊與單位圓的交點坐標所唯一確定的，所以它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系．那么，終邊相同的角的三個三角函數(shù)之間有什么關系呢？問題1：如圖，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P，那么，正弦線MP和余弦線OM的長度有什么內(nèi)在聯(lián)系？由此能得到什么結(jié)論？師生活動：學生觀察圖形，利用已學正余弦線知識和平面幾何知識得出結(jié)論。設計意圖：從已有的知識出發(fā)，類比探索知識的延展，得到合理的猜想，為發(fā)現(xiàn)新知奠定基礎，體會由特殊到一般的數(shù)學思想。問題2：上述關系反映了角α的正弦和余弦之間的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)等式的特點，將它稱為平方關系.那么當角α的終邊在坐標軸上時，上述關系成立嗎？師生活動：學生觀察特殊位置，得到一致的結(jié)論。設計意圖：通過討論，感知并理解公式的使用條件，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習慣。問題3：設角α的終邊與單位圓交于點P(x,y)，根據(jù)三角函數(shù)定義，有由此可得sinα，cosα，tanα滿足什么關系？師生活動：學生通過剛才的結(jié)論，寫出關系式，設計意圖：再一次強化定義，又讓學生自己得出關系式，也有利于關系式的記憶。符合學生的認知過程。運用定義進行嚴格證明，是解決數(shù)學問題的常用方法。問題4：上述關系稱為商數(shù)關系，那么商數(shù)關系成立的條件是什么？師生活動：學生回答，對于分式，不要保證分母不為0。設計意圖：通過討論，感知并理解公式的使用條件，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習慣。思考5：平方關系和商數(shù)關系是反映同一個角的三角函數(shù)之間的兩個基本關系，它們都是恒等式，如何用文字語言描述這兩個關系？師生活動：學生回答，同一個角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切．設計意圖：讓學生由符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，既深化對公式的認識，又利于關系式的記憶。符合學生的認知過程。（二）同角三角函數(shù)的基本關系的應用例1已知，求，的值．師生活動：學生思考后給出解答．對于本例在學生給出答案后，應該要求學生總結(jié)解題步驟，明確這類題目應該先根據(jù)條件判斷角所在的象限，確定各三角函數(shù)值的符號，再利用基本關系求解．在此基礎上，可以讓學生歸納用同角三角函數(shù)的基本關系求值的問題類型．設計意圖：進一步加強學生對三角函數(shù)值在各象限的符號的認識以及對同角三角函數(shù)的基本關系的理解．【解析】∵sinα＝－eq\f(3,5)，α是第三、第四象限角，當α是第三象限角時，cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝.α是第四象限角時，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝-教師提問：已知余弦是否能求出正弦和正切已知正切是否能求出正弦和余弦學生回答：可以教師講解已知余弦和已知正切的步驟教師總結(jié)：知一求二題型①已知正弦和已知余弦步驟一樣，先用平方關系再用商數(shù)關系②已知正切時，先用商數(shù)關系，再用平方關系，其中用到了聯(lián)立方程組③注意分類討論α終邊所在位置例2求證．師生活動：學生可能根據(jù)此前用到的分析法進行證明，也可以用綜合法直接給出證明，教師板書證明過程．設計意圖：本例實際上是的變形，采用分析法、綜合法都可以證明，還可以從不同方向進行推導，可以要求學生至少給出兩種證明方法．例3已知，求的值．師生活動：學生經(jīng)過思考給出思路，可以利用同角三角函數(shù)的基本關系由和解出和的值，但是由于無法確定所在象限，因此無法判斷和的正負，若要求出代數(shù)式的值，需要進行分類討論．教師在肯定了這個思路后進行追問．追問：有沒有其它的方法可以避免談論和的符號，直接用到已知的取值來求出分式的值呢？師生活動：學生經(jīng)過思考回答，可以利用將代數(shù)式中和轉(zhuǎn)化為和常數(shù)．教師給予肯定并指出所求分式的結(jié)構(gòu)特點，可利用“齊次式”的特征對此類分式進行化簡后求值．設計意圖：通過本例了解“齊次式”的結(jié)構(gòu)特點，并能利用特定的方法進行化簡．通過以上幾道例題加深了學生對三角函數(shù)基本性質(zhì)的理解，通過靈活運用性質(zhì)的訓練，提升數(shù)學運算素養(yǎng)．（三）課時小結(jié)教師引導學生回顧本課時的內(nèi)容，并回答下面的問題：（1）同角三角函數(shù)的基本關系是什么？（2）在利用同角三角函數(shù)的基本關系進行化簡、求值及證明時要注意哪些問題？（3）結(jié)合前一課時內(nèi)容，你能說說我們是從哪些角度入手發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)的？師生活動：學生思考后給出解答．（1）同角三角函數(shù)的基本關系式：，．（2）在三角求值時，應注意：①注意角所在象限；②一般涉及到開方運算時要分類討論．在化簡時，應注意化簡結(jié)果：①涉及的三角函數(shù)名稱要相對較少；②表達形式較簡單．證明恒等式時常用以下方法：①從一邊開始，證明它等于另一邊；②證明左右兩邊等于同一個式子；③分析法，尋找等式成立的條件．證明的指向一般是“由繁到簡”．（3）借助單位圓，從三角函數(shù)的定義出發(fā)，我們從三角函數(shù)值的符號規(guī)律、終邊相同的角的三角函數(shù)的關系入手發(fā)現(xiàn)了公式一和同角三角函數(shù)的基本關系．設計意圖：引導學生回顧總結(jié)本課時的學習內(nèi)容和學習方法．在小結(jié)中，要注意引導學生體會研究和發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)性質(zhì)的過程，為后續(xù)誘導公式二～五的學習做好鋪墊．布置作業(yè)教科書習題5.2第6，11，12，13，14題．六、目標檢測設計1．已知，且為第三象限角，求，的值．設計意圖：考査學生利用同角三角函數(shù)的基本關系解決簡單的求值問題．2．已知，求，的值．設計意圖：