【教案】排列數(shù)（教案）-2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第六章計(jì)數(shù)原理6.2.2排列數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.理解排列數(shù)的概念2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式，并掌握排列數(shù)公式及其變形，能運(yùn)用排列數(shù)公式熟練地進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.3.能利用排列數(shù)公式解決一些有關(guān)排列的實(shí)際問題.二、教學(xué)重難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)排列數(shù)公式及其變形.2、教學(xué)難點(diǎn)排列數(shù)公式的相關(guān)計(jì)算.三、教學(xué)過程（一）新課導(dǎo)入教師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了排列的定義，這節(jié)課我們就來一起探究計(jì)算排列個(gè)數(shù)的公式.（二）探索新知探究一：排列數(shù)我們把從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.探究二：排列數(shù)公式思考：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)是多少？可以先從特殊情況開始探究，例如求排列數(shù).假定有排好順序的兩個(gè)空位，從n個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填上一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列；反之，任何一種排列總可以由這種填法得到.因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù).現(xiàn)在來計(jì)算有多少種填法.完成“填空”這件事可以分為兩個(gè)步驟完成：第1步，填第1個(gè)位置的元素，可以從這n個(gè)不同元素中任選1個(gè)，有n種選法；第2步，填第2個(gè)位置的元素，可以從剩下的個(gè)元素中任選1個(gè)，有種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個(gè)空位的填法種數(shù)為.同理，求排列數(shù)可以按依次填3個(gè)空位來考慮，有.一般地，求排列數(shù)可以按依次填m個(gè)空位來考慮：假定有排好順序的m個(gè)空位如圖，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填上一個(gè)元素，每一種填法就對應(yīng)一個(gè)排列.因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù).填空可以分為m個(gè)步驟完成：第1步，從n個(gè)不同元素中任選1個(gè)填在第1位，有n種選法；第2步，從剩下的個(gè)元素中任選1個(gè)填在第2位，有種選法；第3步，從剩下的個(gè)元素中任選1個(gè)填在第3位，有種選法；……第步，從剩下的個(gè)元素中任選1個(gè)填在第m位，有種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，m個(gè)空位的填法種數(shù)為.這樣，我們就得到公式.這里m，，并且.這個(gè)公式叫做排列數(shù)公式.根據(jù)排列數(shù)公式，我們就能方便地計(jì)算出從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù).特別地，我們把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列.這時(shí)，排列數(shù)公式中，即有.也就是說，將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用表示，于是，n個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫成.另外，我們規(guī)定，.例1計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4).解：根據(jù)排列數(shù)公式，可得(1)；(2)；(3)；(4).總結(jié)：.因此，排列數(shù)公式還可以寫成.探究三：排列數(shù)公式的實(shí)際應(yīng)用例2用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：在0~9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?不能在百位上，而其他9個(gè)數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個(gè)特殊的元素.一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來考慮問題.解法一：如圖所示，由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：第1步，確定百位上的數(shù)字，可以從1~9這9個(gè)數(shù)字中取出1個(gè)，有種取法；第2步，確定十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)，有種取法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.解法二：如圖所示，符合條件的三位數(shù)可以分成三類：第1類，每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)，可以從1~9這9個(gè)數(shù)字中取出3個(gè)，有種取法；第2類，個(gè)位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和十位，有種取法；第3類，十位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和個(gè)位，有種取法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.解法三：從0~9這10個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)的排列數(shù)為，其中0在百位上的排列數(shù)為，它們的差就是用這10個(gè)數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，即所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.（三）課堂練習(xí)1.已知，則()A.11 B.12 C.13 D.14答案：B解析：，整理得，解得或（不合題意，舍去），的值為12，故選B.2.()A. B. C. D.答案：A解析：.故選A.3.已知,,則()

A. B. C. D.答案：A解析：,,…,,共有80個(gè)數(shù)，且最大的數(shù)為.原式.故選A.4.若，則S的個(gè)位數(shù)字是()A.8 B.5 C.3 D.0答案：C解析：易知當(dāng)時(shí)，的個(gè)位數(shù)字是0，故S的個(gè)位數(shù)字取決于前四個(gè)排列數(shù).又,