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廣東省云浮市云硫第一高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.如右圖所示,正三棱錐(頂點在底面的射影是底面正三角形的中心)中,分別是的中點,為上任意一點,則直線與所成的角的大小是()A.
B.
C.
D.隨點的變化而變化。參考答案:B2.設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),g(x)≠0,當(dāng)x<0時,f′(x)g(x)﹣f(x)g′(x)>0,且f(﹣3)=0,則不等式<0的解集是()A.(﹣3,0)∪(3,+∞) B.(﹣3,0)∪(0,3) C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)參考答案:D【考點】6A:函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.【分析】由條件利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)x<0時,是增函數(shù),故當(dāng)x>0時,也是增函數(shù),的圖象關(guān)于原點對稱.再結(jié)合f(﹣3)=﹣f(3)=0,求得不等式的解集.【解答】解:∵當(dāng)x<0時,f′(x)g(x)﹣f(x)g′(x)>0,∴[]′=>0,∴當(dāng)x<0時,是增函數(shù),故當(dāng)x>0時,也是增函數(shù).∵f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),∴為奇函數(shù),的圖象關(guān)于原點對稱,函數(shù)的單調(diào)性的示意圖,如圖所示:∵f(﹣3)=0,∴f(3)=0,∴由不等式<0,可得x<﹣3或0<x<3,故原不等式的解集為{x|x<﹣3或0<x<3},故選:D.3.已知正數(shù)、滿足,則的最小值為 A.1 B. C. D.參考答案:C略4.在平行四邊形ABCD中,E為線段BC的中點,若,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B5.雙曲線的實軸長是(A)2
(B)
(C)4
(D)4參考答案:C6.若存在兩個正實數(shù)x,y,使得等式成立,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),則正實數(shù)a的最小值為(
)A.1
B.
C.2
D.參考答案:D,設(shè),則,令,當(dāng)時,當(dāng)時,最小值為當(dāng)時,本題選擇D選項.
7.如圖所示,在一個邊長為1的正方形內(nèi),曲線和曲線圍成一個葉形圖(陰影部分),向正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(該點落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的),則所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率是(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:B8.已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若cosB=,b=2,sinC=2sinA,則△ABC的面積為() A. B. C. D.參考答案:B【考點】正弦定理. 【專題】解三角形. 【分析】由題意和正余弦定理可得a,c的值,由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sinB,代入三角形的面積公式計算可得. 【解答】解:∵sinC=2sinA, ∴由正弦定理可得c=2a, 又cosB=,b=2, 由余弦定理可得22=a2+(2a)2﹣2a2a×, 解得a=1,∴c=2, 又cosB=,∴sinB==, ∴△ABC的面積S=acsinB=×= 故選:B 【點評】本題考查三角形的面積,涉及正余弦定理的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題. 9.給出下列四個結(jié)論:
(1)
(2)若“”的逆命題為真
(3)函數(shù)有3個零點
(4)若
則正確結(jié)論序號是(
)
A(2)(3)B.(1)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(3)參考答案:B10.已知>0,>0,成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,則的最小值是(
)A.
0,
B.1,
C.2.
D.4
參考答案:D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列四數(shù)、
、
、中最小的數(shù)是________參考答案:12.曲線
(t為參數(shù))的直角坐標(biāo)方程是_______.參考答案:13.已知向量與向量的夾角為120°,若且,則在上的投影為.參考答案:【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.【分析】因為向量與向量的夾角為120°,所以在上的投影為,問題轉(zhuǎn)化為求.【解答】解:因為向量與向量的夾角為120°,所以在上的投影為,問題轉(zhuǎn)化為求,因為,故,所以在上的投影為.故答案為:.【點評】本題考查在上的投影的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量垂直的性質(zhì)的合理運用.14.=
=
。參考答案:略15.已知△ABC三邊滿足a2+b2=c2-ab,則此三角形的最大內(nèi)角為________.參考答案:150°或16.函數(shù)y=x3﹣x2﹣x的單調(diào)遞減區(qū)間為.參考答案:(,1)【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過解導(dǎo)函數(shù)小于0,從而求出函數(shù)的遞減區(qū)間.【解答】解:y′=3x2﹣2x﹣1,令y′<0,解得:﹣<x<1,故答案為:(﹣,1).【點評】本題考察了函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.17.已知數(shù)列{an}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,且a1,a3,a2成等差數(shù)列,則公比q的值為.參考答案:﹣【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.【分析】由a1,a3,a2成等差數(shù)列得2a3=a1+a2,利用等比數(shù)列的通項公式展開即可得到公比q的方程,解方程可得所求值.【解答】解:由數(shù)列{an}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,且a1,a3,a2成等差數(shù)列2a3=a1+a2,∴2a1q2=a1q+a1,∴2q2=q+1,∴q=1或q=﹣,∵q≠1,∴q=﹣.故答案為:﹣.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本題滿分10分)已知A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求△ABC的外接圓的方程。參考答案:略19.如圖,在直角坐標(biāo)系中,射線OA:x-y=0(x≥0),OB:x+2y=0(x≥0),過點P(1,0)作直線分別交射線OA、OB于A、B兩點.(1)當(dāng)AB中點為P時,求直線AB的斜率(2)當(dāng)AB中點為在直線上時,求直線AB的方程.參考答案:解:(1)因為分別為直線與射線及的交點,所以可設(shè),又點是的中點,所以有即∴A、B兩點的坐標(biāo)為,∴,(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時,則的方程為,易知兩點的坐標(biāo)分別為所以的中點坐標(biāo)為,顯然不在直線上,即的斜率不存在時不滿足條件.②當(dāng)直線的斜率存在時,記為,易知且,則直線的方程為分別聯(lián)立及可求得兩點的坐標(biāo)分別為所以的中點坐標(biāo)為.又的中點在直線上,所以,解之得.所以直線的方程為,即.略20.過雙曲線C:(a>0,b>0)的左焦點F1(-2,0)、右焦點F2(2,0)分別作x軸的垂線,交雙曲線的兩漸近線于A、B、C、D四點,且四邊形ABCD的面積為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)P是雙曲線C上一動點,以P為圓心,PF2為半徑的圓交射線PF1于M,求點M的軌跡方程.參考答案:(1)由解得y=,由雙曲線即其漸近線的對稱性知四邊形ABCD為矩形故四邊形ABCD的面積為4×=所以b=,結(jié)合c=2且得:a=1,b=,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)P是雙曲線C上一動點,故,又M點在射線PF1上,且,故=所以點M的軌跡是在以F1為圓心,半徑為2的圓,其軌跡方程為:.略21.(本小題滿分13分)某興趣小組有10名學(xué)生,其中高一高二年級各有3人,高三年級4人,從這10名學(xué)生中任選3人參加一項比賽,求:(Ⅰ)選出的3名學(xué)生中,高一、高二和高三年級學(xué)生各一人的概率;(Ⅱ)選出的3名學(xué)生中,高一年級學(xué)生數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案:解:(Ⅰ)設(shè)“選出的3名學(xué)生中,高一、高二和高三年級學(xué)生各一人”為事件A,則
…………………4分(Ⅱ)的所有可能取值為0,1,2,3.
………8分所以隨機(jī)變量的分布列是0123
P…10分…13分22.已知向量,,且,其中、、是的內(nèi)角,分別是角,,的對邊.(Ⅰ)求角的大?。唬á颍┣蟮淖畲笾?參考答案:(Ⅰ)由得
(2分)由余弦定理
又,
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