廣東省佛山市南莊高級中學 2021-2022學年高三數學理月考試題含解析

廣東省佛山市南莊高級中學2021-2022學年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，已知，，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】平面向量數量積的運算．F3

【答案解析】D解析：∵=，∴sinA=；∴cosA=±∴==4×1×（±）=±2，故選：D．【思路點撥】先根據三角形的面積公式可求得A的正弦值，從而可求得余弦值，根據向量的數量積運算可得到的值．2.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長的棱長為（）A． B．C．3 D．參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】如圖所示，該幾何體為三棱錐P﹣ABC．過點P作PO⊥平面ABC，垂足為O點，連接OB，OC，則四邊形ABOC為平行四邊形．OA⊥OB．【解答】解：如圖所示，該幾何體為三棱錐P﹣ABC．過點P作PO⊥平面ABC，垂足為O點，連接OB，OC，則四邊形ABOC為平行四邊形．OA⊥OB．則最長棱為PC==3．故選：C．3.在△ABC中，，且△ABC的面積為，則BC的長為A．

B．3

C．

D．7參考答案：A略4.頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在y軸上的角α的集合是(

)A．

B．C.

D．參考答案：C5.如圖所示為某幾何體的三視圖，均是直角邊長為1的等腰直角三角形，則此幾何體的表面積是

（

）

A．π

B．2π

C．3π

D．4π

參考答案：C略6.已知命題：，則（

）A．

B．C． D．參考答案：C略7.函數有零點，則實數的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C．試題分析：問題“函數有零點”可轉化為“方程有根”，還可轉化為“函數與的圖像有交點”，即“的取值范圍即為函數的值域”．令，則，兩邊平方可得，，所以，解之得，而，所以，即的取值范圍為．故應選C．考點：函數與方程；判別式求解函數的值域．8.將函數的圖像向右平移個單位后，得到的圖像，則函數的單調增區(qū)間為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中圓的直徑為4，該幾何體的體積為(

) A． B． C．4π D．8π參考答案：B考點：由三視圖求面積、體積．專題：空間位置關系與距離．分析：幾何體為圓柱挖去一個圓錐，根據三視圖可得圓錐與圓柱的底面直徑都為4，高都為2，把數據代入圓錐與圓柱的體積公式計算可得答案．解答： 解：由三視圖知：幾何體為圓柱挖去一個圓錐，且圓錐與圓柱的底面直徑都為4，高為2，∴幾何體的體積V1=π×22×2﹣×π×22×2=，故選：B點評：本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀．10.設集合，，若，則（

）A．1

B．2

C．3

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知都是正實數，函數的圖像過點，則的最小值是_______參考答案：略12.對任意實數表示不超過的最大整數，如，關于函數，有下列命題：①是周期函數；②是偶函數；③函數的值域為；④函數在區(qū)間內有兩個不同的零點，其中正確的命題為

（把正確答案的序號填在橫線上）．參考答案：13.已知向量=（m，1）與向量=（4，m）共線且方向相同，則m的值為

．參考答案：2【考點】9K：平面向量共線（平行）的坐標表示．【分析】利用向量共線定理即可得出．【解答】解：向量=（m，1）與向量=（4，m）共線，∴m2﹣4=0，解得m=±2．經過驗證m=﹣2時方向相反．因此m=2．故答案為：2．14.在等比數列中，若，，則公比__________，當__________時，的前項積最大．參考答案：，在等比數列中，，，設前項積為．，，∵此等比數列各項均為負數，當為偶數時，為正，故當取最大值時為偶數．設當時，取得最大值，，∵，∴，∴，整理后：，又∵，∴，解出，∵，∴，故取時，取得最大值．15.已知在中，角的對邊分別是，其滿足，點在邊上且，則的取值范圍是

．參考答案：（2，+∞）16.某學校共有師生3200人，先用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為160的樣本．已知從學生中抽取的人數為150，那么該學校的教師人數是．參考答案：200【考點】分層抽樣方法．【分析】根據學校的總人數和要抽取的樣本容量，做出每個個體被抽到的概率，根據學生要抽取150人，做出教師要抽取的人數是10，除以概率得到教師的人數．【解答】解：∵學校共有師生3200人，從所有師生中抽取一個容量為160的樣本，∴每個個體被抽到的概率是=，∴=，∴學校的教師人數為10×20=200．故答案是：200．17.設是函數的兩個極值點，若，則實數a的

取值范圍是＿＿＿＿＿參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于A,,．（1）求該拋物線的方程；（2）O為坐標原點，C為拋物線上一點，若參考答案：考點：圓錐曲線綜合拋物線試題解析：（1）設直線AB的方程為，由得：

所以。（2）由p=4得因為C在拋物線上，所以（-2，則。19.已知函數．（I）求x為何值時，f（x）在[3，7]上取得最大值；（II）設F（x）=aln（x﹣1）﹣f（x），若F（x）是單調遞增函數，求a的取值范圍．參考答案：考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；函數的單調性與導數的關系．專題：綜合題；導數的綜合應用．分析：（I）由函數，知f（x）的定義域為（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，由此利用導數性質能求出當x=7時，f（x）取得在[3，7]上的最大值．（II）由F（x）是單調遞增函數，知f′（x）＞0恒成立，所以（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．再由分類討論思想能求出a的取值范圍．解答： 解：（I）∵函數，∴f（x）的定義域為（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，又∵f′（x）=，∴，解得t=3．∴=，∴當2＜x＜4時，f′（x）＜0；當x＞4時，f′（x）＞0．∴f（x）在（2，4）上是減函數，在（4，+∞）上是增函數，∴f（x）在[3，7]上的最大值在應在端點處取得．∵f（3）﹣f（7）=（3ln5﹣ln1）﹣（3ln9﹣ln5）=（ln625﹣ln729）＜0，∴f（3）＜（7），故當x=7時，f（x）取得在[3，7]上的最大值．（II）∵F（x）是單調遞增函數，∴f′（x）＞0恒成立．又∵=，在f（x）的定義域（2，+∞）上，（x﹣1）（x2﹣4）＞0恒成立，∴（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．下面分類討論（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立時，a的解的情況：當a﹣1＜0時，不可能有（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立；當a﹣1=0時，（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）=5x﹣5＞0在（2，+∞）恒成立；當a﹣1＞0時，又有兩種情況：①52+16（a﹣1）（a+1）＜0；②，且（a﹣1）x2+5×2﹣4（a+1）＞0．由①得16a2+9＜0，無解；由②得a＞﹣，∵a﹣1＞0，∴a＞1．綜上所述，當a≥1時，（a﹣1）x2+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．∴a的取值范圍是[1，+∞）．點評：本題考查函數的最大值的求法及應用，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．20.如圖1,在直角梯形中,,,,點為中點．將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示．

（1）在上找一點,使平面;

（2）求點到平面的距離．參考答案：（1）的中點;（2）．試題分析：（1）取的中點，連接．利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明;（2）利用等體積轉化，，為等腰直角三角形，,面,可證,得到,為直角三角形，這樣借助等體積轉化求出點C到平面的距離．試題解析：（1）取的中點,連結,

----2分在中,,分別為,的中點

為的中位線

平面平面

平面

6分（2）

設點到平面ABD的距離為平面平面且平面

而平面，即三棱錐的高,

即

------12分21.已知關于x的不等式（其中a＞0）．（1）當a=3時，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法．【分析】（1）通過討論x的范圍得到關于x的不等式組，解出即可；（2）求出f（x）的最大值，得到關于a的不等式組，解出即可．【解答】解：（1）a=3時，|x﹣1|﹣|2x﹣1|＞﹣1