廣東省廣州市東涌中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

廣東省廣州市東涌中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合，，則A∩B=（

）A.(0,1] B.{1} C.[0,1] D.{0,1}參考答案：D【分析】先解出集合和，再利用交集的運(yùn)算律可得出.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，解題的關(guān)鍵就是將集合都表示出來，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。2.函數(shù)(,則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（

）

A.

B.

C.

D.大小關(guān)系不能確定參考答案：C略3.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，則△PF1F2的周長為（

）A、20

B、18

C、16

D、14參考答案：B4.如圖，長方形的四個(gè)頂點(diǎn)為，曲線經(jīng)過點(diǎn)．現(xiàn)將一質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入長方形中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，總有/（x)＜3

則不等式＜3x－15的解集為

A

(﹣∞，4）

B（﹣∞，﹣4）

C

（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）D（4，﹢∞）

參考答案：D略6.已知都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（

）A、充分而不必要條件

B、必要而不充分條件C、充分且必要條件

D、既不充分也不必要條件參考答案：D略7.已知實(shí)數(shù)a滿足下列兩個(gè)條件：①關(guān)于x的方程ax2+3x+1=0有解；②代數(shù)式log2（a+3）有意義．則使得指數(shù)函數(shù)y=（3a﹣2）x為減函數(shù)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)題意先確定是幾何概型中的長度類型，由實(shí)數(shù)a滿足下列兩個(gè)條件得出關(guān)于a的不等式，并求出構(gòu)成的區(qū)域長度，再求出指數(shù)函數(shù)y=（3a﹣2）x為減函數(shù)的數(shù)a構(gòu)成的區(qū)域長度，再求兩長度的比值．【解答】解：：①關(guān)于x的方程ax2+3x+1=0有解，則a=0或a≠0，△≥0?，解得：a≤，且a≠0，綜合得：a≤；②代數(shù)式log2（a+3）有意義?a＞﹣3．綜合得：﹣3＜a≤．滿足兩個(gè)條件：①②數(shù)a構(gòu)成的區(qū)域長度為+3=，指數(shù)函數(shù)y=（3a﹣2）x為減函數(shù)?0＜3a﹣2＜1?＜a＜1．則其構(gòu)成的區(qū)域長度為：1﹣=，則使得指數(shù)函數(shù)y=（3a﹣2）x為減函數(shù)的概率為=故選：A．8.若，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是．

．

．

．參考答案：．實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則可行域如圖，作出，平移，當(dāng)直線通過時(shí)，的最大值是．故選．9.若雙曲線=1（a＞b＞0）的漸近線和圓x2+y2﹣6y+8=0相切，則該雙曲線的離心率等于(

)A． B．2 C．3 D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)雙曲線方程得到它的漸近線方程為bx±ay=0，因?yàn)闈u近線與圓x2+（y﹣3）2=1相切，故圓心到直線的距離等于半徑，用點(diǎn)到直線的距離公式列式，化簡得c=3a，可得該雙曲線離心率．【解答】解：雙曲線=1（a＞b＞0）的漸近線方程為y=±x，即bx±ay=0又∵漸近線與圓x2+（y﹣3）2=1相切，∴點(diǎn)（0，3）到直線bx±ay=0的距離等于半徑1，即=1，解之得c=3a，可得雙曲線離心率為e==3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題給出雙曲線的漸近線與已知圓相切，求雙曲線的離心率，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和雙曲線的基本概念等知識(shí)，屬于中檔題．10.已知為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是（

）.A.21

B.20

C.19

D.18參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.兩條平行直線之間的距離是

；參考答案：12.為了解高三復(fù)習(xí)備考情況，某校組織了一次階段考試.若高三全體考生的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布.已知成績?cè)?17.5分以上（含117.5分）的學(xué)生有80人，則此次參加考試的學(xué)生成績不超過82.5分的概率為_________；如果成績大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次考試數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的大約有________人.（若，則，參考答案：0.16；

10人.【分析】根據(jù)已知，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，可求出學(xué)生成績不超過82.5分的概率，求出，進(jìn)而求出學(xué)生總?cè)藬?shù)，再由，即可求解.【詳解】，，成績?cè)?17.5分以上（含117.5分）的學(xué)生有80人，高三考生總?cè)藬?shù)有人，，本次考試數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的大約有人.故答案為:0.16；10人.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)及應(yīng)用，運(yùn)用概率估計(jì)實(shí)際問題，屬于中檔題.13.某展室有9個(gè)展臺(tái)，現(xiàn)有件不同的展品需要展出，要求每件展品獨(dú)自占用個(gè)展臺(tái)，并且件展品所選用的展臺(tái)既不在兩端又不相鄰，則不同的展出方法有______種；參考答案：60略14.已知F1、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，若∠F1PF2=900，ΔF1PF2三邊長成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率為

.參考答案：515.已知若有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____參考答案：【分析】討論＞1，0＜＜1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，絕對(duì)值函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，可得的范圍．【詳解】當(dāng)＞1時(shí)，x≤1時(shí)，f（x）＝+在上遞增，則f（x）∈（，2]，x＞1時(shí)，f（x）＝|x﹣|+1≥1，當(dāng)x＝時(shí)取得最小值1，則f（x）的值域?yàn)閇1，+∞），可得＞1時(shí)f（x）取得最小值1；當(dāng)0＜＜1時(shí)，x≤1時(shí)，f（x）＝+在上遞減，則f（x）∈[2，+∞）；x＞1時(shí)，f（x）＝|x﹣|+1＝x﹣+1遞增，可得f（x）＞2﹣，若f（x）存在最小值，可得2﹣≥2，即≤，可得0＜≤．綜上可得＞1或0＜≤．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查分類討論思想方法，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和含絕對(duì)值的函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．16.下表是一個(gè)容量為60的樣本（60名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績，成績?yōu)?﹣100的整數(shù)）的頻率分布表，則表中頻率a的值為

．分組0.5～20.520.5～40.540.5～60.560.5～80.580.5～100.5頻數(shù)3612

頻率

a0.3參考答案：0.35【考點(diǎn)】頻率分布表．【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)頻率=以及頻率和為1，即可求出a的值．【解答】解：根據(jù)題意，填寫表中數(shù)據(jù)，如下；成績?cè)?.5～20.5內(nèi)的頻率是=0.05，成績?cè)?0.5～40.5內(nèi)的頻率是=0.10，成績?cè)?0.5～60.5內(nèi)的頻率是=0.20，∴成績?cè)?0.5～80.5內(nèi)的頻率是1﹣（0.05+0.10+0.20+0.30）=0.35；∴a的值是0.35．故答案為：0.35．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率、頻數(shù)與樣本容量的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．17.某班級(jí)有50名學(xué)生，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學(xué)生中抽出10名學(xué)生，將這50名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)1～50號(hào)，并分組，第一組1～5號(hào)，第二組6～10號(hào)，…，第十組46～50號(hào)，若在第三組中抽得號(hào)碼為12的學(xué)生，則在第八組中抽得號(hào)碼為________的學(xué)生。參考答案：37略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=，x∈[1，+∞），（1）當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；（2）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（1）a=時(shí)，函數(shù)為，f在[1，+∞）上為增函數(shù)，故可求得函數(shù)f（x）的最小值（2）問題等價(jià)于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立，利用分類參數(shù)法，通過求函數(shù)的最值，從而可確定a的取值范圍【解答】解：（1）因?yàn)?，f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值為f（1）=．…（2）問題等價(jià)于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．即a＞﹣（x+1）2+1在[1，+∞）上恒成立．令g（x）=﹣（x+1）2+1，則g（x）在[1，+∞）上遞減，當(dāng)x=1時(shí)，g（x）max=﹣3，所以a＞﹣3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣3，+∞）．…【點(diǎn)評(píng)】本題以函數(shù)為載體，考查對(duì)勾函數(shù)門課程二次函數(shù)的最值，考查恒成立問題的處理，注意解題策略．19.（本題滿分12分）如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)M.平行于OM的直線在軸上的截距為并交橢圓C于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的取值范圍；y

（3）求證：直線MA、MB與軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.參考答案：解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（＞＞0）

由題意

解得

C的方程為

………………4分

（2）

設(shè)：由消去得

直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

式有兩個(gè)不等實(shí)根

則＞0

解得＜＜2

又

的取值范圍為

………………8分

（3）設(shè)，則、為（）式的兩根，設(shè)MA交軸于點(diǎn)P，MB交軸于點(diǎn)Q

MA的方程為：

令，可得P（）=

同理可得Q

設(shè)PQ的中點(diǎn)為N，則

由②知

又

MPQ的中線MNPQ

MPQ為等腰三角形

………………12分20.（本小題滿分13分）設(shè)。（1）求的值；（2）歸納{}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。參考答案：解：（1）…4分

（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可以歸納出

………..6分

證明：①當(dāng)n=1時(shí),與已知相符，歸納出的公式成立?！?分

②假設(shè)當(dāng)n=k()時(shí)，公式成立，即那么,

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)公式也成立?！?2分

由①②知，時(shí)，有成立。……….13分略21.設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)x∈[－1，e－1]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）=x2+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）已知f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），然后令f′（x）=0，解出函數(shù)的極值點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解；（Ⅱ）由題意當(dāng)時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（Ⅲ）已知方程f（x）=x2+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，整理移項(xiàng)得方程g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，利用函數(shù)的增減性得根，于是有，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?，+∞）．∵，由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜0．∴f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），遞減區(qū)間是（﹣1，0）．（Ⅱ）∵由，得x=0，x=﹣2（舍去）由（Ⅰ）知f（x）在上遞減，在[0，e﹣1]上遞增．高三數(shù)學(xué)（理科）答案第3頁（共6頁）又，f（e﹣1）=e2﹣2，且．∴當(dāng)時(shí)，f（x）的最大值為e2﹣2．故當(dāng)m＞e2﹣2時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立．（Ⅲ）方程f（x）=x2+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0．記g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x），∵，由g′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1．∴g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增．為使方程f（x）=x2+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，只須g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，于是有∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．22.（本小題滿分12分）2009年推出一種新型家用轎車，購買時(shí)費(fèi)用為14.4萬元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共0.7萬元，汽車的維修費(fèi)為：第一年無維修費(fèi)用，第二年為0.2萬元，從第三年起，每年的維修費(fèi)均比上一年增加0.2萬元.

（I）設(shè)該輛轎車使用n年的總費(fèi)用（包括購買費(fèi)用、保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)及維修費(fèi)）為f(n)，求f(n)的表達(dá)式；

（II）這種汽車使用多少報(bào)廢最合算（即該車使用多少年，年平均費(fèi)用最少）？參考答案：解析：（I）由題意得：每年的維修費(fèi)構(gòu)成一等差數(shù)列，n年的維修總費(fèi)用為

（萬元）

…………3分

所以

（萬元）

…………6分