廣東省廣州市環(huán)城中學2021-2022學年高三數(shù)學理期末試題含解析

廣東省廣州市環(huán)城中學2021-2022學年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下面四圖都是同一坐標系中某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象,其中一定不正確的個數(shù)為(

).

A.

B.

C.

D.多于個參考答案：答案：C2.已知為坐標原點，是雙曲線的左焦點，分別為的左、右頂點，為上一點，且軸，過點的直線與線段交于點，與軸交于點，直線與軸交于點，若，則的離心率為A.3

B.2

C.

D.參考答案：A易證得∽，則，即；同理∽，，所以，又，所以，整理，得，故選A.3.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，f（﹣1）=1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2參考答案：B【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先由圖象關(guān)于直線x=1對稱得f（2﹣x）=f（x），再與奇函數(shù)條件結(jié)合起來，有f（x+4）=f（x），得f（x）是以4為周期的周期函數(shù)再求解．【解答】解：∵圖象關(guān)于直線x=1對稱，∴f（2﹣x）=f（x），∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（2+x）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．∵f（1）=﹣1，f（2）=﹣f（0）=0，f（3）=f（2+1）=﹣f（1）=1，f（4）=f（4+0）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）=0，故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和對稱性以及性質(zhì)間的結(jié)合與轉(zhuǎn)化，如本題周期性就是由奇偶性和對稱性結(jié)合轉(zhuǎn)化而來的，屬于中檔題．4.復(fù)數(shù)z滿足，則z=（

）A． B． C． D．參考答案：A由，則，故選A．

5.設(shè)為直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若,,則C．若,,則 D．若,,則參考答案：B6.若，則a的取值范圍是（

）A.（0，1）

B.

C.

D.參考答案：B因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)為遞減函數(shù)，所以有，即，所以，解得，選B.7.在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同。從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于

（A）（B）（C）（D）參考答案：答案：A解析：在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同。從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于=，選A。8.函數(shù)圖象的一個對稱軸方程是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B因為，當時，取得最大值，故一個對稱軸方程是9.已知定義在上的函數(shù)，滿足，且當時，若函數(shù)在上有唯一的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D10.已知實數(shù)x，y滿足，則z=4x+y的最大值為

（A）10

（B）8

（C）2

（D）0參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量滿足、之間的夾角為，則=

▲

。參考答案：略12.四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上，AB＝2，BC＝CD＝1，∠BCD＝60°，AB⊥平面BCD，則球O的表面積為

．參考答案：13.已知，若，且方程有5個不同根，則的取值范圍為________參考答案：【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，由方程有個不同根轉(zhuǎn)化為二次方程的兩根，，并構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布，得出，結(jié)合，可作出關(guān)于、的不等式組，作出可行域，將視為可行域中的點到直線的距離，結(jié)合圖象可得出答案.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，則方程有個不同根轉(zhuǎn)化二次方程的兩根，，構(gòu)造函數(shù)，可得不等式，即，結(jié)合，作出圖形如下圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域為邊長為的正方形，不等式組表示的區(qū)域為下圖中的陰影部分（不包括軸），代數(shù)式視為可行域中的點到直線的距離，當點與點重合時，，結(jié)合圖形可知，取值范圍是，故答案為：.【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)問題，涉及二次函數(shù)零點分布、線性規(guī)劃以及點到直線的距離，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點的分布，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.14.函數(shù)在定義域內(nèi)的零點的個數(shù)為

參考答案：2個15.=．參考答案：3【考點】極限及其運算．【專題】計算題．【分析】借助指數(shù)函數(shù)的運算法則，先把原式等價轉(zhuǎn)化為，由此能夠得到它的極限值．【解答】解：==3．故答案為：3．【點評】本題考查極限的性質(zhì)和運算，解題時要注意指數(shù)運算法則的合理運用．16.已知集合，則等于(

)

A．

B．C．

D．參考答案：C略17.已知為坐標原點，點.若點為平面區(qū)域上的動點，則的取值范圍是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案：解：（1）函數(shù)的定義域為，∵，

∵，則使的的取值范圍為，Ks5u故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）方法1：∵，∴．

令，

∵，且，由．∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實根

即解得：．綜上所述，的取值范圍是．

方法2：∵，∴．

即，令，∵，且，由．∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．∵，，，又，故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異實根．

即．綜上所述，的取值范圍是．

略19.已知函數(shù)，．

（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；

（Ⅱ）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．參考答案：見解析【知識點】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)恒等變換綜合解：（Ⅰ）由已知

當

，即，

時，

（Ⅱ)當時，遞增

即，令，且注意到

函數(shù)的遞增區(qū)間為20.（本小題滿分12分）李先生家住小區(qū)，他工作在科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有、兩條路線（如圖），路線上有、、三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；路線上有、兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，.（Ⅰ）若走路線，求最多遇到1次紅燈的概率；（Ⅱ）若走路線，求遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學期望；（Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由.參考答案：（Ⅰ）設(shè)“走路線最多遇到1次紅燈”為事件，

……………1分則，

……………3分所以走路線，最多遇到1次紅燈的概率為.

……………4分（Ⅱ）依題意，的可能取值為0，1，2.

……………5分

.

……8分隨機變量的分布列為：012所以.

……………10分（Ⅲ）設(shè)選擇路線遇到紅燈次數(shù)為，隨機變量服從二項分布，所以.

因為，所以選擇路線上班最好.……………12分21.設(shè)函數(shù)，曲線處的切線斜率為0（I）求b;（II）若存在使得，求a的取值范圍。參考答案：：（I），由題設(shè)知,解得b=1.……………4分(Ⅱ)f(x)的定義域為(0,+￥),由(Ⅰ)知,，(i)若，則，故當x?(1,+￥)時,f'(x)>0,f(x)在(1,+￥)上單調(diào)遞增.所以,存在31,使得的充要條件為，即所以--1<a<-1;(ii)若，則，故當x?(1,)時,f'(x)<0,x?()時,,f(x)在(1,)上單調(diào)遞減，f(x)在單調(diào)遞增.所以,存在31,使得的充要條件為，而，所以不和題意.(ⅲ)若，則。綜上，a的取值范圍為：22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]在極坐標系中，點M的坐標為(3，)，曲線C的方程為ρ=2sin(θ+)；以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率為﹣1的直線l經(jīng)過點M．（1）求直線l和曲線C的直角坐標方程；（2）若P為曲線C上任意一點，曲線l和曲線C相交于A、B兩點，求△PAB面積的最大值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）求出點M的直角坐標為（0，3），從而直線方程為y=﹣x+3，由，能求出曲線C的直角坐標方程．（2）求出圓心（1，1）到直線y=﹣x+3的距離，從而得到圓上的點到直線L的距離最大值，由此能求出△PAB面積的