高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及試題總結(jié)

IMBstandardizationoffice【IMB5AB-IMBK08-IMB2C】IMBstandardizationoffice【IMB5AB-IMBK08-IMB2C】高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及試題總結(jié)高考三角函數(shù)1.特殊角的三角函數(shù)值：sin=0cos=1tan=0sin3=cos3=tan3=sin=cos=tan=1sin6=cos6=tan6=sin9=1cos9=0tan9無意義2．角度制與弧度制的互化：36918273603.弧長(zhǎng)及扇形面積公式弧長(zhǎng)公式：扇形面積公式:S=----是圓心角且為弧度制。r-----是扇形半徑4.任意角的三角函數(shù)設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上一點(diǎn)p（x,y）,r=(1)正弦sin=余弦cos=正切tan=(2)各象限的符號(hào)：—++—++—-xy++O——+xyO—+—+yOsincostan5.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：（1）平方關(guān)系：sin2+cos2=1。（2）商數(shù)關(guān)系：=tan（）6.誘導(dǎo)公式：記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限。，，．，，．，，．，，．口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限．，．，．口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限．7正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)倍角公式sin2=2sin倍角公式sin2=2sin·coscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系sin()=sin·coscos·sincos()=cos·cossin·sin降冪公式：升冪公式：1+cos=cos21-cos= sin29．正弦定理： .余弦定理：;;.三角形面積定理..1．直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面積公式：（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；（3）△＝＝＝；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑）（5）△＝；（6）△＝；；（7）△＝r·s。4．解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。（1）角與角關(guān)系：A+B+C=π；（2）邊與邊關(guān)系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理（R為外接圓半徑）；余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA；它們的變形形式有：a=2RsinA，，。5．三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長(zhǎng)之半。（3）在△ABC中，熟記并會(huì)證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。四．【典例解析】題型1：正、余弦定理（2009岳陽一中第四次月考）.已知△中，，，，，，則 （）A.．B．C．D．或答案C例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長(zhǎng)精確到1cm）。例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A；（2）在ABC中，已知，，，解三角形解析：（1）∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos ∴（2）由余弦定理的推論得：cos；cos ；例3．在中，，，，求的值和的面積。又,,。例4．（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于，的取值范圍為.答案2

解析設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，例5．（2009浙江理）（本題滿分14分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，．（I）求的面積；（II）若，求的值．解（1）因?yàn)?，，又由得，?）對(duì)于，又，或，由余弦定理得，例6．（2009全國(guó)卷Ⅰ理）在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、，已知，且求b解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡(jiǎn)并整理得：.又由已知.解得.例7．的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。解析：由A+B+C=π，得eq\f(B+C,2)=eq\f(π,2)－eq\f(A,2)，所以有coseq\f(B+C,2)=sineq\f(A,2)。cosA+2coseq\f(B+C,2)=cosA+2sineq\f(A,2)=1－2sin2eq\f(A,2)+2sineq\f(A,2)=－2(sineq\f(A,2)－eq\f(1,2))2+eq\f(3,2)；當(dāng)sineq\f(A,2)=eq\f(1,2)，即A=eq\f(π,3)時(shí),cosA+2coseq\f(B+C,2)取得最大值為eq\f(3,2)。例8．（2009浙江文）（本題滿分14分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，．（I）求的面積；（II）若，求的值．解（Ⅰ）又，，而，所以，所以的面積為：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以所以例9．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值?！遖、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=。例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求的值。解析：因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，從而＝60°，故tan.由兩角和的正切公式，得。所以。例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B例12．（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。解（I）∵為銳角，∴∵∴（II）由（I）知，∴由得，即又∵∴∴∴21.（2009四川卷文）在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。解（I）∵為銳角，∴∵∴（II）由（I）知，∴由得，即又∵∴∴∴五．【思維總結(jié)】1．解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C=π，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。2．三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，；3．三角學(xué)中的射影定理：在△ABC中，，…4．兩內(nèi)角與其正弦值：在△ABC中，，…5．解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來幫助理解”1如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（）（A）（B）（C）(D)2、右圖所示的是函數(shù)圖象的一部分，則其函數(shù)解析式是A．B．C．D．3、已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)圖象

A．關(guān)于直線對(duì)稱?B．關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱

C．關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱?D．關(guān)于直線對(duì)稱4、由函數(shù)的圖象A．向左平移個(gè)單位?B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位?D．向右平移個(gè)單位5、若是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，當(dāng)取最小正數(shù)時(shí)?

A．在單調(diào)遞增?B．在單調(diào)遞減C．在單調(diào)遞減?D．在單調(diào)遞增6、函數(shù)（）的最小正周期是，若其圖像向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為（）A．B．C．D．7、（2012年高考（新課標(biāo)理））已知,函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是（）A．B．C．D．8、（2012年高考（福建文））函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸是（）A．B．C．D．9、下列命題中的真命題是?A．函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增B．函數(shù)的最小正周期為2C．函數(shù)的圖象是關(guān)于點(diǎn)（，0）成中心對(duì)稱的圖形D．函數(shù)的圖象是關(guān)于直線x=成軸對(duì)稱的圖形10、已知，則等于A．?B．C．5D．2511、已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，則的值為A．B．C．D．12、已知平面向量，，與垂直，則是（

）

C.－2D.－113、設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A、B、C三點(diǎn)共線，則的最小值是?

A．2B．4C．6D．814、設(shè)∠POQ=60°在OP、OQ上分別有動(dòng)點(diǎn)A，B，若·=6，△OAB的重心是G，則||的最小值是(

)

B．2C．3D．415、若是夾角為的單位向量，且，則＝B.－4C.D.16、已知圓O的半徑為，圓周上兩點(diǎn)A、B與原點(diǎn)O恰構(gòu)成三角形，則向量的數(shù)量積是A．B．C．D．17、如圖，已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC的中心，則（）·（）等于（

）

A．B．C．D．18、（2012年高考（大綱文））若函數(shù)是偶函數(shù),則（）A．B．C．D．19、若<0，且<0，則有在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn)第四象限20、函數(shù)y=cosx(o≤x≤，且x≠)的圖象為21、在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、，已知，且求b.22、已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）已知中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，若，，求的面積．23、已知向量（I）若,求的值;（II）記，在中，角的對(duì)邊分別是，且滿足，求函數(shù)的取值范圍。24、設(shè)=3，計(jì)算：（1）；（2）。25、已知向量，（1）當(dāng)∥時(shí)，求的值；（2）求在上的值域.26、已知函數(shù)f(x)=（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)的圖像向右平移m(m＞0)個(gè)單位后，得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的最小值.27、已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.28、函數(shù)()的最大值為3,其圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為,(1)求函數(shù)的解析式;(2)設(shè),則,求的值.29、已知函數(shù)的最小正周期為，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為0。（I）求函數(shù)的表達(dá)式；（II）在△ABC，若的值。30、設(shè)函數(shù)（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）設(shè)函數(shù)對(duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，；求函數(shù)在上的解析式。31、已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和值域；（Ⅱ）若為第二象限角，且，求的值．32、已知兩個(gè)不共線的向量a,b夾角為，且為正實(shí)數(shù)。（1）若垂直，求；（2）若，求的最小值及對(duì)應(yīng)的x值，并指出向量a與xa－b的位置關(guān)系；（3）若為銳角，對(duì)于正實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，且的取值范圍。33、設(shè)△的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且有。（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ)若，，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)。34、已知函數(shù)，。(1)求函數(shù)的最小正周期，并求函數(shù)在上的最大值、最小值；(2)函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換可以得到函數(shù)的圖像35、已知