廣東省揭陽市盛遵中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

廣東省揭陽市盛遵中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2=2，a5=8，則公差d的值為（

）

A． B． C．2 D．-2參考答案：C略2.能化為普通方程的參數(shù)方程為(

)

參考答案：B略3.如圖，在一個(gè)邊長為2的正方形中隨機(jī)撒入200粒豆子，恰有120粒落在陰影區(qū)域內(nèi)，則該陰影部分的面積約為（） A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用． 【專題】計(jì)算題． 【分析】先求出正方形的面積為22，設(shè)陰影部分的面積為x，由概率的幾何概型知，由此能求出該陰影部分的面積． 【解答】解：設(shè)陰影部分的面積為x， 則， 解得x=． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查概率的性質(zhì)和應(yīng)用，每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地運(yùn)用幾何概型解決實(shí)際問題． 4.若等比數(shù)列{an}滿足a4?a6+2a5?a7+a6?a8=36，則a5+a7等于（）A．6 B．±6 C．5 D．±5參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)得a52+2a5?a7+a72=（a5+a7）2=36，由此能求出a5+a7的值．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}滿足a4?a6+2a5?a7+a6?a8=36，∴a52+2a5?a7+a72=（a5+a7）2=36，∴a5+a7=±6．故選：B．5.某初級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案.使用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2，…，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號為1,2，…，270，并將整個(gè)編號依次分為10段.如果抽得號碼有下列四種情況：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270,關(guān)于上述樣本下列的結(jié)論中，正確的是（

）（A）①,③都可能為分層抽樣

（B）②,③都不能為系統(tǒng)抽樣源:Z.x（C）①,④都可能為系統(tǒng)抽樣[來（D）②,④都不能為分層抽樣[參考答案：A6.橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于3，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（

）A.5

B.7

C.8

D.10參考答案：B7.下列函數(shù)中，導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A．y=cosx B．y=ex C．y=lnx D．y=ax參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】運(yùn)用常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式和奇偶性的定義，即可判斷A正確．【解答】解：A，y=cosx的導(dǎo)數(shù)為y′=﹣sinx，顯然為奇函數(shù)；B，y=ex的導(dǎo)數(shù)為y′=ex為非奇非偶函數(shù)；C，y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=（x＞0）為非奇非偶函數(shù)；D，y=ax的導(dǎo)數(shù)為y′=axlna為非奇非偶函數(shù)．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的運(yùn)用，考查判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．8.已知雙曲線－=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為（

）A. B.

C.2

D.參考答案：A9.已知兩組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與y1，y2，…，yn，它們的平均數(shù)分別是和，則新的一組數(shù)據(jù)2x1﹣3y1+1，2x2﹣3y2+1，…，2xn﹣3yn+1的平均數(shù)是（）A． B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)： 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．

專題： 計(jì)算題．分析： 平均數(shù)的計(jì)算方法是求出所有數(shù)據(jù)的和，然后除以數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)．解答： 解：由已知，（x1+x2+…+xn）=n，（y1+y2+…+yn）=n，新的一組數(shù)據(jù)2x1﹣3y1+1，2x2﹣3y2+1，…，2xn﹣3yn+1的平均數(shù)為（2x1﹣3y1+1+2x2﹣3y2+1+…+2xn﹣3yn+1）÷n=[2（x1+x2+…+xn）﹣3（y1+y2+…+yn）+n]÷n=故選B點(diǎn)評： 本題考查平均數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．10.兩圓和的位置關(guān)系是（

）A．相離

B．相交

C．內(nèi)切

D．外切參考答案：B

解析：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的最大值為：

.參考答案：略12.函數(shù)在時(shí)有極值，那么的值分別為________。參考答案：13.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分線方程為y＝x＋1，則AC所在的直線方程為_

▲

．參考答案：x－2y－1＝014.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是

。參考答案：試題分析：由三視圖判斷幾何體為半個(gè)圓錐，且圓錐的高為2，底面圓的半徑為1，∴幾何體的體積V=.考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．

15.雙曲線的漸近線方程為____________________.參考答案：16.為了了解家庭月收入x（單位：千元）與月儲蓄y（單位：千元）的關(guān)系，從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，據(jù)此估計(jì)該家庭的月儲蓄為__________千元.參考答案：1.7【分析】直接代入即得答案.【詳解】由于，代入，于是得到，故答案為1.7.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程理解，難度很小.17.已知橢圓（）上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率e的取值范圍為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分別是CC1，AB的中點(diǎn)．（1）求證：CE∥平面A1BD；（2）若H為A1B上的動點(diǎn)，當(dāng)CH與平面A1AB所成最大角的正切值為時(shí)，求平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）通過補(bǔ)形，延長延長A1D交AC的延長線于點(diǎn)F，連接BF，從而可證明CE∥BF，然后由線面平行的判定定理得證；（2）由已知找出C點(diǎn)在平面A1AB上的射影CE，CE為定值，要使直線CH與平面A1AB所成最大角的正切值為，則點(diǎn)H到E點(diǎn)的距離應(yīng)最小，由此得到H的位置，進(jìn)一步求出EH的長度，則在直角三角EHB中可得到BH的長度，利用已知條件證出BF⊥平面A1AB，從而得到∠EBH為平面A1BD與平面ABC所成的二面角，在直角三角形EHB中求其余弦值．本題也可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決．【解答】法一、（1）證明：如圖，延長A1D交AC的延長線于點(diǎn)F，連接BF．∵CD∥AA1，且CD=AA1，∴C為AF的中點(diǎn)．∵E為AB的中點(diǎn)，∴CE∥BF．∵BF?平面A1BD，CE?平面A1BD，∴CE∥平面A1BD．（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE?平面ABC，∴AA1⊥CE．∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，E是AB的中點(diǎn)，∴CE⊥AB，．∵AB?平面A1AB，AA1?平面A1AB，AB∩AA1=A，∴CE⊥平面A1AB．∴∠EHC為CH與平面A1AB所成的角．∵，在Rt△CEH中，tan，∴當(dāng)EH最短時(shí)，tan∠EHC的值最大，則∠EHC最大．∴當(dāng)EH⊥A1B時(shí)，∠EHC最大．此時(shí)，tan=．∴．∵CE∥BF，CE⊥平面A1AB，∴BF⊥平面A1AB．∵AB?平面A1AB，A1B?平面A1AB，∴BF⊥AB，BF⊥A1B．∴∠ABA1為平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）．在Rt△EHB中，=，cos∠ABA1=．∴平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值為．法二、（1）證明：如圖，取A1B的中點(diǎn)F，連接DF、EF．∵E為AB的中點(diǎn)，∴EF∥AA1，且．∵CD∥AA1，且CD=AA1，∴EF∥CD，EF=CD．∴四邊形EFDC是平行四邊形．∴CE∥DF．∵DF?平面A1BD，CE?平面A1BD，∴CE∥平面A1BD．（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE?平面ABC，∴AA1⊥CE．∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，E是AB的中點(diǎn)，∴CE⊥AB，．∵AB?平面A1AB，AA1?平面A1AB，AB∩AA1=A，∴CE⊥平面A1AB．∴∠EHC為CH與平面A1AB所成的角．∵，在Rt△CEH中，tan，∴當(dāng)EH最短時(shí)，tan∠EHC的值最大，則∠EHC最大．∴當(dāng)EH⊥A1B時(shí)，∠EHC最大．此時(shí)，tan=．∴．在Rt△EHB中，．∵Rt△EHB～Rt△A1AB，∴，即．∴AA1=4．以A為原點(diǎn)，與AC垂直的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，AA1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．則A（0，0，0），A1（0，0，4），B，D（0，2，2）．∴=（0，0，4），=，=（0，2，﹣2）．設(shè)平面A1BD的法向量為n=（x，y，z），由，，得，令y=1，則．∴平面A1BD的一個(gè)法向量為n=．∵AA1⊥平面ABC，∴=（0，0，4）是平面ABC的一個(gè)法向量．∴cos=．∴平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值為．【點(diǎn)評】本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象、推理論證、抽象概括和運(yùn)算求解能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．是中檔題．19.在直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為的直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.（1）求l與C1的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)l與C1的交點(diǎn)為O、A，l與的交點(diǎn)為O、B，且，求值.參考答案：（1）的極坐標(biāo)方程為.C1的極坐標(biāo)方程為.（2）【分析】（1）傾斜角為的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，可以直接寫出；利用，把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后再利用，把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，，則，，已知，所以有，運(yùn)用二角差的正弦公式，可以得到，根據(jù)傾斜角的范圍，可以求出值.【詳解】解：（1）因?yàn)榻?jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為，故的極坐標(biāo)方程為.的普通方程為，可得的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，，則，.所以.由題設(shè)，因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查了已知曲線的參數(shù)方程化成極坐標(biāo)方程.重點(diǎn)考查了極坐標(biāo)下求兩點(diǎn)的距離.20.已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|=1+3i﹣z，（1）求z并求其在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的共軛復(fù)數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；A2：復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），則|z|=．代入已知，化簡計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念列出關(guān)于x，y的方程組，并解出x，y，可得z．（2）將（1）求得的z代入，化簡計(jì)算后，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解．【解答】解：（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），則由已知，=1+3i﹣（x+yi）=（1﹣x）+（3﹣y）i．∴，∴z=﹣4+3i．其在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣4，3）．（2）由（1）z=﹣4+3i，∴=====3+4i共軛復(fù)數(shù)為3﹣4i．21.已知命題p：“關(guān)于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圓”，命題q：“?x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若命題p∧q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）若命題p為真，則