微專(zhuān)題三　對(duì)角互補(bǔ)模型

第四章三角形微專(zhuān)題三對(duì)角互補(bǔ)模型對(duì)角互補(bǔ)模型主要包括兩種模型：①含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型；②含120°的對(duì)角互補(bǔ)模型.解決此類(lèi)題型常用到的輔助線作法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法和過(guò)頂點(diǎn)作兩垂線.

類(lèi)型條件結(jié)論圖示“90°”模型∠AOB＝∠DCE＝90°△CDM∽△CENOC平分∠AOB類(lèi)型條件結(jié)論圖示“120°”模型∠AOB＝2∠DCE＝120°△CDM∽△CENOC平分∠AOB

?類(lèi)型1：“90°”模型【例1】如圖1，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的對(duì)角線BD上滑動(dòng)，并使其一條直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一條直角邊與BC相交于點(diǎn)E.（1）求證：PA＝PE；（2）若將（1）中的正方形變?yōu)榫匦?，其余條件不變（如圖2），且AD＝10，DC＝8，求AP∶PE.圖1

圖2

思路點(diǎn)撥

圖1－1

圖2－1

圖1－1

圖2－1

?類(lèi)型2：“120°”模型【例2】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF＝120°，DE與線段AB相交于點(diǎn)E，DF與線段AC（或AC的延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)F.（1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，AB＝4，求BE的長(zhǎng)；

圖1圖2

思路點(diǎn)撥

圖2－1

圖2－11.如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，D為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心作圓，半圓恰好經(jīng)過(guò)三角形的直角頂點(diǎn)C，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)，作90°的∠EDF，與半圓交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積是

π－2

?.

π－2

?類(lèi)型1：“90°”模型2.已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，Q為線段DB上的一點(diǎn)，∠MQN＝90°，點(diǎn)M，N分別在直線BC，DC上.

圖1（1）證明：如圖，過(guò)Q點(diǎn)作QP⊥BD交DC于點(diǎn)P，則∠PQB＝90°.

∵∠MQN＝90°，∴∠NQP＝∠MQB.∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠BDC＝∠DBC＝45°，DO＝BO，∴∠DPQ＝45°，DQ＝PQ.∴∠DPQ＝∠DBC，

∵Q是OD的中點(diǎn)，且PQ⊥BD，∴QP是△DOC的中位線，∴∠DPQ＝45°，DQ＝PQ.∴∠DPQ＝∠DBC，

∵Q是OD的中點(diǎn)，且PQ⊥BD，∴QP是△DOC的中位線，

?類(lèi)型2：“120°”模型

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A向∠BDC的兩邊作垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).

由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得∠BDC＝180°－∠BAC＝60°.∵AB＝AC，∴∠ADB＝∠ADC＝30°.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得∠BDC＝180°－∠BAC＝60°.∵AB＝AC，∴∠ADB＝∠ADC＝30°.

∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF.又∵AB＝AC，∴Rt△AEB≌Rt△AFC（HL）.

∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF.∴BE＝CF，∴BD＋CD＝BE＋DE＋DF－CF＝2DE.在Rt△DEA中，∠EDA＝30°，∴BD＋CD＝BE＋DE＋DF－CF＝2DE.在Rt△DEA中，∠EDA＝30°，∴BE＝CF，

解：EF＝BE＋CF.理由如下：延長(zhǎng)FC到點(diǎn)T，使得CT＝BE，連接AT，如圖.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∴∠DBC＝∠DCB＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∵△BCD是等邊三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝60°，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠ABE＝∠ACT＝90°.∵AB＝AC，BE＝CT，∴△ABE≌△ACT（SAS）.∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠ABE＝∠ACT＝90°.∵AB＝AC，BE＝CT，∴∠BAE＝∠CAT，AE＝AT，∴∠EAT＝∠BAC＝120°.又∵∠EAF＝60°，∴∠TAF＝60°＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAT，AE＝AT