高中數(shù)學高考二輪復習 第三周星期一

大題規(guī)范天天練（第三周）星期一(三角與數(shù)列)2023年____月____日1．三角知識(命題意圖：考查三角函數(shù)知識與解三角形知識的綜合應用，主要涉及到三角函數(shù)關系式的恒等變換、三角函數(shù)的最值、值域求解、正弦定理、余弦定理、面積公式的應用等．)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，函數(shù)f(x)＝2cosxsin(x－A)＋sinA(x∈R)在x＝eq\f(5π,12)處取得最大值．(1)當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若a＝7且sinB＋sinC＝eq\f(13\r(3),14)，求△ABC的面積．解∵函數(shù)f(x)＝2cosxsin(x－A)＋sinA＝2cosxsinxcosA－2cosxcosxsinA＋sinA＝sin2xcosA－cos2xsinA＝sin(2x－A)．又∵函數(shù)f(x)＝2cosxsin(x－A)＋sinA(x∈R)在x＝eq\f(5π,12)處取得最大值．∴2×eq\f(5π,12)－A＝2kπ＋eq\f(π,2)，其中k∈Z，即A＝eq\f(π,3)－2kπ，其中k∈Z.(1)∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3)，∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x－A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，∴－eq\f(\r(3),2)＜sin(2x－A)≤1，即函數(shù)f(x)的值域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).(2)由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b＋c,sinB＋sinC)，則sinB＋sinC＝eq\f(b＋c,a)sinA，即eq\f(13\r(3),14)＝eq\f(b＋c,7)×eq\f(\r(3),2)，∴b＋c＝13.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，即49＝169－3bc，∴bc＝40，故△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×40×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3).2．數(shù)列知識(命題意圖：考查等差數(shù)列的性質、前n項和公式、裂項相消法求和、等比數(shù)列的性質以及不等式的求解等．)若{an}是各項均不為零的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項和，且滿足aeq\o\al(2,n)＝S2n－1，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(1,an·an＋1)，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和．(1)求an和Tn；(2)是否存在正整數(shù)m、n(1＜m＜n)，使得T1、Tm、Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有m、n的值；若不存在，請說明理由．解(1)∵{an}是等差數(shù)列，∴eq\f(a1＋a2n－1,2)＝an，∴S2n－1＝eq\f(a1＋a2n－1,2)×(2n－1)＝(2n－1)an.由aeq\o\al(2,n)＝S2n－1，得aeq\o\al(2,n)＝(2n－1)an，又an≠0，∴an＝2n－1.∵bn＝eq\f(1,an·an＋1)＝eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，∴Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).(2)假設存在正整數(shù)m，n(1＜m＜n)，使T1、Tm、Tn成等比數(shù)列，則Teq\o\al(2,m)＝T1Tn，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2m＋1)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,3)·eq\f(n,2n＋1).∵eq\f(n,6n＋3)＝eq\f(1,6＋\f(3,n))＜eq\f(1,6)，∴eq\f(m2,4m2＋4m＋1)＜eq\f(1,6)，即2m