2022-2023學年山東省滕州市重點中學高二年級上冊學期1月期末考試數(shù)學試題【含答案】

滕州市重點中學2022-2023學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題一、單選題(本題8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知三棱錐中，點M，N分別為AB，OC的中點，且，，，則（

）A．B．C．D．2．布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則點A到平面的距離是（

）A． B． C． D．3．已知是拋物線上的一點，過點作直線的垂線，垂足為，若是圓：上任意一點，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．64．數(shù)列滿足：首項，，則下列說法正確的是（）A．該數(shù)列的奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項成等差數(shù)列B．該數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列C．該數(shù)列的奇數(shù)項分別加4后構成一個公比為2的等比數(shù)列D．該數(shù)列的偶數(shù)項分別加4后構成一個公比為2的等比數(shù)列5．已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且，，成等比數(shù)列.令，則數(shù)列的前50項和（

）A． B． C． D．6．已知圓與圓，則兩圓的位置關系是（

）A．相離 B．外切 C．相交 D．內切7．已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（

）A．B．C． D．8．設，分別為雙曲線：的左?右焦點，為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于，兩點，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．二、多選題(在每題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，選錯得0分)9．設{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且S7＜S8，S8＝S9＞S10，則下列結論正確的是（

）A．d＜0 B．a9＝0 C．S11＞S7 D．S8、S9均為Sn的最大值10．已知曲線的方程為．（

）A．當時，曲線是半徑為2的圓B．當時，曲線為雙曲線，其漸近線方程為C．存在實數(shù)，使得曲線為離心率為的雙曲線D．“”是“曲線為焦點在軸上的橢圓”的必要不充分條件11．“臉譜”是戲曲舞臺演出時的化妝造型藝術，更是中國傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體．如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C．半圓的方程為，半橢圓的方程為．則下列說法正確的是（

）A．點A在半圓上，點B在半橢圓上，O為坐標原點，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6B．曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7C．若，P是半橢圓上的一個動點，則cos∠APB的最小值為D．畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點都在與橢圓同中心的圓上．稱該圓為橢圓的蒙日圓，那么半橢圓擴充為整個橢圓：后，橢圓的蒙日圓方程為12．在《九章算術》中，底面是直角三角形的直三棱柱被稱為“塹堵”.如圖，在塹堵中，是的中點，，若平面α過點P，且與平行，則（

）A．異面直線與所成角的余弦值為B．三棱錐的體積是該“塹堵”體積的C．當平面α截棱柱的截面圖形為等腰梯形時，該圖形的面積等于D．當平面α截棱柱的截面圖形為直角梯形時，該圖形的面積等于三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則______.（其中為正整數(shù)）（2）．如圖，在棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點，則的重心到直線BN的距離為___________.（3）．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是_________.（4）．已知橢圓上一點A關于原點的對稱點為B，F(xiàn)為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率e的最大值為___________.四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)14．已知各項均不相等的等差數(shù)列的前4項和為10，且是等比數(shù)列的前3項．(1)求；(2)設，求的前n項和．15.如圖，在三棱錐中，底面.點分別為棱的中點，是線段的中點，.(1)求證：//平面；(2)求直線與平面的夾角的正弦值；(3)求點A到平面的距離.16．已知直線與圓交于兩點．(1)求出直線恒過定點的坐標；(2)用點斜式寫出直線方程，并求直線的斜率k的取值范圍；(3)若為坐標原點，直線的斜率分別為，試問是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由．17．如圖，在三棱柱中，側面為正方形，，，點在線段上，平面.(1)求證：為的中點；(2)求二面角的大小；(3)在線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.19．已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，動點在橢圓上，的周長為6．（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓的另一個交點為，過分別作直線的垂線，垂足為與軸的交點為．若四邊形的面積是面積的3倍，求直線斜率的取值范圍.滕州市重點中學2022-2023學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題參考答案：1．D【詳解】.故選：D.2．C【詳解】建立空間直角坐標系如圖所示：則，，，，，，設平面的法向量為，則，即，則平面的一個法向量為，則點A到平面的距離.故選：C3．D【詳解】拋物線的焦點是，準線方程是，PH與準線的交點是，圓C的半徑為，圓心為，依題意作下圖：由圖可知：，，當C，P，F(xiàn)三點共線時最小，的最小值是6；故選：D.4．D【詳解】已知數(shù)列滿足，則，，，，，對于A，，即，所以該數(shù)列的奇數(shù)項成等比數(shù)列不成立，，即，所以該數(shù)列的偶數(shù)項成等差數(shù)列不成立，A選項錯誤；對于B，，即，所以該數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列不成立，，即，所以該數(shù)列的偶數(shù)項成等比數(shù)列不成立，B選項錯誤；對于C，，，，所以該數(shù)列的奇數(shù)項分別加4后構成一個公比為2的等比數(shù)列不成立，C選項錯誤；對于D，令，由可得，所以，所以即是公比為2的等比數(shù)列，則該數(shù)列的偶數(shù)項分別加4后構成一個公比為2的等比數(shù)列，D選項正確；故選：D.5．D【詳解】因為，，，由題意得，解得，所以，則，則.故選：D【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運算以及裂項相消法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.6．D【分析】分別將兩圓化成標準方程，求出圓心距并和兩半徑差與和相比較即可求解.【詳解】因為圓可化為：，圓心坐標為，半徑；圓可化為：，圓心坐標為，半徑；圓心距，因為，所以圓與圓內切，故選：.7．B【分析】計算，再考慮和兩種情況，得到傾斜角范圍.【詳解】，則，設直線的傾斜角為，故，所以當時，直線的傾斜角；當時，直線的傾斜角；綜上所述：直線的傾斜角故選：B8．D【分析】聯(lián)立與求出，進而的正切可求，得出的關系，從而進一步解出答案.【詳解】依題意得,以線段為直徑的圓的方程為,雙曲線的一條漸近線的方程為.由以及解得或不妨取,則.因為,所以,又,所以,所以,所以該雙曲線的離心率.故選：D.9．ABD【分析】由題意可得數(shù)列的前8項為正數(shù)，第9項為0，從第10項開始為負數(shù)，各個選項驗證可得答案．【詳解】解：∵S7＜S8，∴a8>0,∵S8＝S9，∴a9＝0,則a9-a8＝d＜0，故選項A，B正確；S11－S7＝＝11a1＋55d－7a1－21d＝4a1+34d＜0，∵a9＝a1+8d＝0，∴a1＝－8d∴4a1+34d＝－32d+34d＝2d＜0∴S11＜S7，故C錯誤．易知數(shù)列的前8項為正數(shù)，第9項為0，從第10項開始為負數(shù)，故選項D正確；故選：ABD.10．ABD【解析】A.由得到曲線方程判斷；B.由得到曲線方程判斷；C.根據(jù)曲線為離心率為的雙曲線，則由判斷；D.利用充分和必要條件的定義判斷.【詳解】A.當時，曲線方程為，所以是半徑為2的圓，故正確；B.當時，曲線方程為，所以是雙曲線，且其漸近線方程為，故正確；C.若曲線為離心率為的雙曲線，則，方程無解，故錯誤；D.當時，，曲線為焦點在y軸上的橢圓，故不充分，當曲線為焦點在軸上的橢圓時，則，解得，故必要，故正確；故選：ABD【點睛】本題主要考查曲線與方程，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.11．ABD【分析】選項A，易得，，從而判斷；選項B根據(jù)橢圓的性質解決橢圓中兩點間距離問題；選項C由橢圓定義可得到|PA|、|PB|之和為定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘積的最大值，結合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；選項D中分析蒙日圓的關鍵信息，圓心是原點，找兩條特殊的切線，切線交點在圓上，求得圓半徑得圓方程．【詳解】解：對于A，因為點A在半圓上，點B在半橢圓上，O為坐標原點，OA⊥OB，則，，則，當位于橢圓的下頂點時取等號，所以△OAB面積的最大值為6，故A正確；對于B，半圓上的點到點的距離都是，半橢圓上的點到點的距離的最小值為，最大值為，所以曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7，故B正確；對于C，是橢圓的兩個焦點，在△PAB中，，由余弦定理知：，當且僅當時取等號，所以cos∠APB的最小值為，故C錯誤；對于D，由題意知：蒙日圓的圓心O坐標為原點(0，0)，在橢圓：中取兩條切線：和，它們交點為，該點在蒙日圓上，半徑為此時蒙日圓方程為：，故D正確．故選：ABD．12．ABC【分析】利用坐標法及線線角的向量求法可判斷A，根據(jù)錐體的體積公式可判斷B，作出平面α截棱柱的截面圖形結合條件可得截面的面積判斷CD.【詳解】對于A，由題可知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故A正確；對于B，，，所以B正確；對于C，如圖，，，分別為的中點，則，，，，，所以，共面，又，平面，平面，所以平面，則四邊形為平面α截棱柱的截面圖形，所以四邊形是等腰梯形，且高為，當不是中點時，不平行平面，則四邊形不是梯形，等腰梯形有且僅有一個，，所以C正確；對于D，如圖，分別為的中點，則，，，，所以，同理可得四邊形為平面α截棱柱的截面圖形，由題可知平面，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以，故四邊形是直角梯形，當不是中點時，不平行平面，則四邊形不是梯形，直角梯形有且僅有一個，其面積為，故D錯誤.故選：ABC.13．（1）【分析】求出新等比數(shù)列的公比代入求和公式即可.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，，所以.則.故答案為：4.（2）．【分析】以為軸建立空間直角坐標系，由重心坐標公式求得的重心的坐標，用空間向量法求點到直線的距離．【詳解】以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，設的重心是，則，，，即，，，，，，，則是銳角，，所以到直線的距離為．故答案為：．（3）．【分析】根據(jù)投影向量的定義，應用空間向量夾角的坐標運算求夾角余弦值，進而求即可.【詳解】，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：（4）．【分析】利用已知條件設出橢圓的左焦點，進一步根據(jù)垂直的條件得到長方形，則，再根橢圓的定義，由離心率的公式得到，即可求解答案.【詳解】已知橢圓上一點A關于原點的對稱點為點B、F為其右焦點，設橢圓的左焦點為，連接，所以四邊形為長方形，根據(jù)橢圓的定義，且，則，所以，又由離心率的公式得，由，則，所以，即橢圓的離心率的最大值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：把橢圓的離心率轉化為的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域求解是解答的關鍵.14．(1)，(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式與等比中項公式求得基本量，從而利用公式法依次求得；（2）結合（1）中結論，利用分組求和法與裂項相消法即可得解.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，前項和為，則，因為，則，即，又因為成等比數(shù)列，所以，即，整理得，又因為，所以，聯(lián)立，解得，所以，又，，是等比數(shù)列，所以，則.（2）由（1）得，所以，所以數(shù)列的前n項和.15．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由線線平行證MF平面、NF平面，即可依次證平面MNF平面、平面；（2）以A為原點建立如圖所示空間直角坐標系，由向量法求線面角；（3）由向量法求與平面的夾角的正弦值，則點A到平面的距離為.【詳解】（1）證明：取AB中點F，連接MF、NF，∵是線段的中點，∴，∵平面，平面，∴MF平面.∵點分別為棱的中點，∴，∵平面，平面，∴NF平面.∵，∴平面MNF，∴平面MNF平面，∵平面MNF，∴平面.（2）∵底面，以A為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則有，，設平面的法向量為，則，令，則有，設與平面所成角為，則直線與平面的夾角的正弦值為.（3）由（2）得，，設與平面所成角為，則點A到平面的距離為.16．(1)；(2)；；(3)為定值.【分析】（1）將直線方程整理后可得方程組，解方程組可求得定點坐標.（2）由（1）結合直線的點斜式寫出方程，再利用圓心到直線距離小于半徑求解即可.（3）設出直線的方程，與圓方程聯(lián)立，結合韋達定理及斜率坐標公式求解作答.【詳解】（1）將直線方程整理為：，令，解得：，所以直線恒過定點.（2）直線斜率為，由（1）得，直線的點斜式方程為：，即，圓：的圓心，半徑，因為直線與圓交于兩點，則圓心到直線距離，即，解得：，所以直線斜率的取值范圍為.（3）設，，當時，與圓僅有一個交點，不合題意，即有，則直線，令直線方程為，由得：，由（2）知：，，，因此，所以為定值.17．(1)詳見解析；(2)；(3)存在，或.【分析】（1）設，根據(jù)線面平行的性質可得，進而即得；（2）取的中點，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，然后利用坐標法利用面面角的向量求法即得；（3）設，利用線面角的向量求法結合條件即得.【詳解】（1）設，連接，因為側面為正方形，所以為的中點，因為平面，平面，平面平面，所以，又為的中點，所以為的中點；（2）因為，所以，又平面，平面，所以平面，取的中點，則，由平面，平面，可得，又平面，平面，所以平面，如圖以為原點建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，令，則，又平面的法向量可取，所以，所以二面角的大小為；（3）假設在線段上存在點，使得直線與平面所成的角為，設，因為，所以，，又，所以，又平面的一個法向量為，所以，整理可得，解得或，所以在線段上存在點，使得直線與平面所成的角為，的值為或.18．(1)(2)【分析】(1)根據(jù)題意求出,再由即可寫出的通項公式；(2)根據(jù)的通項公式，找到其正負臨界的值