勾股定理逆定理

直角三角形（1）

勾股定理與它的逆定理的證明復(fù)習(xí)回顧勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。acbBCAacbBCA如圖：a2+b2=c2或BC2+AC2=AB2（1）a=5,b=12,則c=___(2)b=7,c=9,則a=_____.思考：若一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3㎝和4㎝，求這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)？駛向勝利的彼岸勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理（pythagorastheorem）.開啟智慧acb勾弦股勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系那么這個(gè)三角形是直角三角形.能夠成為直角三角形三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（或勾股弦數(shù)）。駛向勝利的彼岸勾股定理的逆定理

我能行2如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.已知:如圖(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求證:△ABC是直角三角形.acbABC(1)

共同探究?已知：如圖，在△ABC中，AB2+AC2=BC2

，求證：△ABC是直角三角形。ABCA/B/C/證明：作Rt△A/B/C/，使∠

A/=900，A/B/=AB，A/C/=AC，則A/B/2+A/C/2=B/C/2

（勾股定理）∵AB2+AC2=BC2

，A/B/=AB，A/C/=AC∴BC2=B/C/2，∴BC=B/C/∴△ABC≌△A/B/C∴∠

A=∠A/=900，因此，△ABC是直角三角形。我知道勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

∵AB2+AC2=BC2

∴△ABC是直角三角形應(yīng)用格式：CAB練：已知三角形的三邊，下列哪個(gè)能構(gòu)成直角三角形；A、3，5，6B、6，6，8C、1，2，√2D、1.5，2，2.5幾何的三種語(yǔ)言

回顧反思1′駛向勝利的彼岸勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.這是判定直角三角形的根據(jù)之一.在△ABC中∵AC2+BC2=AB2(已知),∴△ABC是直角三角形(如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形).acbABC(1)例1.根據(jù)下列條件,分別判斷以a,b,c為邊的三角形是不是直角三角形?(1)a=7,b=24,c=25;

(2)a=，b=1,c=.練一練：根據(jù)下列條件，判斷下面以a,b,c為邊的三角形是不是直角三角形？（1）a=20,b=21,c=29(2)a=5,b=7,c=8(3)a=,b=,c=2(4)a:b:c=2:3:4做一做下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c：5，12，13；7，24，25；8，15，17。（1）這三組數(shù)都滿足嗎？（2）分別以這三組樹為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理（1）上述結(jié)論中，哪條邊所對(duì)的角是直角？（2）如果三角形中較短兩邊的平方和不等于最長(zhǎng)的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？想一想：CcbaAB（1）、如圖，圖形A,B,C都是正方形且A的面積+B的面積=C的面積，則圖中的三角形是什么三角形？練一練：（2）、完成書P43課內(nèi)練習(xí)T22.在△ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm，求證：AB=AC知識(shí)延伸一個(gè)直角三角形房梁如圖所示，其中BC⊥AC，∠BAC=300，AB=10m，CB1⊥AB，B1C1⊥AC，垂足分別為B1，C1，那么BC的長(zhǎng)是多少？B1C1呢？ABCB1C1知識(shí)拓展已知：△ABC中，∠C=600，AB=14，AC=10，AD是BC邊上的高，求BC的長(zhǎng)解后反思：在直角三角形中，利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)，是勾股定理的一個(gè)重要應(yīng)用，在有直角三角形時(shí)，可直接應(yīng)用，在沒有直角三角形時(shí)，常作垂線構(gòu)造直角三角形，為能應(yīng)用勾股定理創(chuàng)造條件。已知：如圖，△ABC，AB=15，BC=14，AC=13，求S△ABC

解后反思：（1）.本題是通過作高AD，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，為應(yīng)用勾股定理創(chuàng)造條件，同樣可以作AB（或AC）邊上的高來解，（2）.應(yīng)用勾股定理解題，引入未知數(shù)x，建立方程或方程組，不但可以簡(jiǎn)化推理計(jì)算過程，還可以使一些難以求解的問題得解。

已知：在△ABC中，∠C=900，AD是BC邊上的中線，DE⊥AB，垂足為E，求證：AC2=AE2-BE2解后反思證明線段的平方和或差，常常考慮運(yùn)用勾股定理，若無直角三角形，可通過作垂線構(gòu)造直角三角形，以便運(yùn)用勾股定理。已知:如圖,△ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD.BD求證：△ABC是直角三角形。解后反思：勾股定理的逆定理，是另一種判定直角三角形的方法，它僅僅依據(jù)三邊的長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，就可以作出判斷，而不必計(jì)算角的大小。應(yīng)用拓展：如圖：邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，且CE=BC，則AF⊥EF，試說明理由解：連接AE∵ABCD是正方形，邊長(zhǎng)是4，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，EC=1/4BC∴根據(jù)勾股定理，在Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，F(xiàn)C=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°即AF⊥EF習(xí)題1.4

獨(dú)立作業(yè)1駛向勝利的彼岸1.如圖，在△ABC中，已知AB=13cm,BC=10cm,BC邊上的中線AD=12cm.求證:AB=AC.證明:∵BD=CD,BC=10cm(已知),∴BD=5cm(等式性質(zhì)).∵AD2+BD2=122+52＝144+25=169,AB2=132=169,∴AD2+BD2=AB2.

DBCA∴在△ABD中,∴△ABC是直角三角形(如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形).在Rt△ADC中∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169,∴AC2=AB2.∴AB=AC(等式性質(zhì)).習(xí)題1.4

獨(dú)立作業(yè)2駛向勝利的彼岸2.房梁的一部分如圖所示,其中BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB,B1C1⊥AC,垂足為B1,C1,那么BC的長(zhǎng)是多少？B1C1呢？解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知),∴BC=AB/2=10÷2＝5(在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半),又∵CB1⊥AB,∠BCB1=900-600=300(直角三角形兩銳角互余),∴CB1=BC/2=5÷2＝2.5(在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).老師提示:對(duì)于含300角的直角三角形邊之間,角之間的關(guān)系要作為常識(shí)去認(rèn)可.BCA300B1C1∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性質(zhì)).∴B1C1=AB1/2=7.5÷2＝3.75(在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).習(xí)題1.4

獨(dú)立作業(yè)3駛向勝利的彼岸3.如圖,正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為5cm,側(cè)棱長(zhǎng)為8cm,一只螞蟻欲從正四棱柱的底面上的點(diǎn)A沿棱柱側(cè)面到點(diǎn)C1處吃食物,那么它需要爬行的最短路徑是多少？解:如下圖,將四棱柱的側(cè)面展開,連結(jié)AC1,∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),老師提示:對(duì)于空間圖形需要?jiǎng)邮植僮?將其轉(zhuǎn)化為平面圖形來解決.BC