第一章引力場(chǎng)論xiu

第一章引力場(chǎng)§

1.1萬(wàn)有引力定律與引力場(chǎng)強(qiáng)度1、萬(wàn)有引力定律萬(wàn)有引力定律表述式k是引力常數(shù)，其值為

Z

萬(wàn)有引力定律表明，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的作用力大小與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線。

兩質(zhì)點(diǎn)之間的作用力符合牛頓第三定律。

萬(wàn)有引力定律只能直接用于質(zhì)點(diǎn)。所謂質(zhì)點(diǎn)，是指當(dāng)物體的線度遠(yuǎn)小于它們之間的距離時(shí)，將其質(zhì)量集中于一點(diǎn)的理想化模型。兩個(gè)物體之間的作用力和反作用力，總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上.力不能離開物體單獨(dú)存在。2、引力場(chǎng)強(qiáng)度

用引力場(chǎng)強(qiáng)度來描述引力場(chǎng)。定義：場(chǎng)中某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)度等于一單位質(zhì)點(diǎn)在該處所受到的力。

特點(diǎn)：僅是坐標(biāo)函數(shù)，與試探質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)量很少，幾何尺度很?。o關(guān)。由萬(wàn)有引力定律，在點(diǎn)質(zhì)量m的場(chǎng)中與m相距r處，試探質(zhì)點(diǎn)受到的引力為3、點(diǎn)質(zhì)量場(chǎng)強(qiáng)度注：力不是質(zhì)點(diǎn)本身而是它們的場(chǎng)的作用。（用場(chǎng)的觀念去理解）4、場(chǎng)強(qiáng)疊加原理對(duì)于離散的質(zhì)點(diǎn)系，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理有對(duì)于體分布的質(zhì)量，可將其視為一系列質(zhì)點(diǎn)的疊加，把質(zhì)量體積V分成無數(shù)個(gè)dv，則(1)觀察點(diǎn)P在質(zhì)量體外對(duì)整個(gè)體積積分得思考：場(chǎng)強(qiáng)在X,Y,Z三軸上投影Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為什么？(2)觀察點(diǎn)P在質(zhì)量體內(nèi)或邊界上P點(diǎn)周圍一變域V0，徑度為去除奇點(diǎn)后V-V0則為P點(diǎn)外域，則場(chǎng)強(qiáng)度用旁義（廣義）積分定義：可以證明若為連續(xù)函數(shù)，上式為一收斂性之旁義積分。結(jié)論：無論P(yáng)點(diǎn)在質(zhì)量分布區(qū)以外或以內(nèi)，只要為一連續(xù)函數(shù)，P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)總可以用尋常積分或由旁義積分來表示，而旁義積分的極限值完全和尋常積分相同。同理，面質(zhì)量產(chǎn)生的引力場(chǎng)強(qiáng)度為5、引力場(chǎng)分布的幾何描述——引力場(chǎng)線引力場(chǎng)線方程(力線上的線元應(yīng)該平行)引力場(chǎng)線分布★例1求薄球殼的場(chǎng)強(qiáng)§

1.2引力場(chǎng)第一基本定律（場(chǎng)強(qiáng)度的通量和散度）1、質(zhì)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)通量

場(chǎng)強(qiáng)度F的通量是這樣規(guī)定的，等于場(chǎng)強(qiáng)度的法線分量面積分

將一點(diǎn)質(zhì)量的場(chǎng)強(qiáng)度公式代入上式，即得規(guī)定立體角的正負(fù)號(hào)如下：如果從角點(diǎn)看到的是ds的內(nèi)側(cè)，則為正，相反為負(fù)。立體角質(zhì)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)通量當(dāng)S為一閉合面時(shí)：

這就是引力場(chǎng)強(qiáng)第一定律（高斯定理），其含義為場(chǎng)強(qiáng)矢量F

對(duì)于任意一閉合面S的通量S等于S所包圍質(zhì)量的倍。2、任意分布質(zhì)量場(chǎng)強(qiáng)通量其中一組質(zhì)點(diǎn)體分布質(zhì)量代入高斯定理得3、引力場(chǎng)的散度散度的定義所以引力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的散度根據(jù)散度定理：結(jié)論：場(chǎng)中每一點(diǎn)上場(chǎng)強(qiáng)度散度只與該點(diǎn)質(zhì)量密度成比例，引力場(chǎng)場(chǎng)源點(diǎn)在場(chǎng)強(qiáng)散度不為零之處?！?/p>

1.3引力場(chǎng)第二基本定律（場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流和旋度）1、場(chǎng)力所作的功對(duì)于單位質(zhì)量，場(chǎng)力作的功為當(dāng)移動(dòng)路徑為L(zhǎng)

對(duì)一質(zhì)點(diǎn)m的場(chǎng)來說2、功與路徑無關(guān)因?yàn)槭街衦A、rB分別表示點(diǎn)質(zhì)量m到路徑L的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B的距離。結(jié)論：該式表明點(diǎn)質(zhì)量沿任意路徑在引力場(chǎng)中作的功與路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān)，而與路徑的形狀無關(guān)。引力場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流等于零，這就是引力場(chǎng)第二定律。引力場(chǎng)第二定律實(shí)質(zhì)上是能量守恒定律在引力場(chǎng)的特殊形式。3、場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流由斯托克斯定理得

式中S是以回路L為周界的任意曲面。4、場(chǎng)強(qiáng)度的旋度引力場(chǎng)的旋度等于零，即引力場(chǎng)是無旋的場(chǎng)。5、引力場(chǎng)的基本方程引力場(chǎng)是無旋的場(chǎng)引力場(chǎng)是有散的場(chǎng)，產(chǎn)生引力場(chǎng)的源是質(zhì)量§

1.4引力場(chǎng)的勢(shì)及梯度1、勢(shì)的定義或選取無窮遠(yuǎn)處為勢(shì)為零場(chǎng)中任意P點(diǎn)的勢(shì)等于將一單位質(zhì)量從無限遠(yuǎn)處移至P點(diǎn)時(shí)場(chǎng)力所作的功。勢(shì)的特點(diǎn)：A、勢(shì)的單值性B、勢(shì)的相對(duì)性將點(diǎn)質(zhì)量的場(chǎng)強(qiáng)代入勢(shì)的定義中，即得點(diǎn)質(zhì)量m的場(chǎng)中任一點(diǎn)P點(diǎn)的勢(shì)2、點(diǎn)質(zhì)量的勢(shì)或?qū)τ谝毁|(zhì)點(diǎn)組而言，場(chǎng)中任一P點(diǎn)的勢(shì)3、體質(zhì)量分布的勢(shì)P點(diǎn)在質(zhì)量分布區(qū)域外P點(diǎn)在質(zhì)量分布區(qū)域內(nèi)旁義積分（收斂）當(dāng)B無限靠近A時(shí)，此增量可寫成一微分4、勢(shì)的梯度與場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系

在直角坐標(biāo)系中，場(chǎng)強(qiáng)度沿坐標(biāo)軸的三分量應(yīng)為

根據(jù)梯度定義

根據(jù)全微分定義我們有

引力場(chǎng)中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)F等于該點(diǎn)的勢(shì)的梯度

5、等勢(shì)面

凡勢(shì)之值相等的各點(diǎn)所構(gòu)成的曲面稱為等勢(shì)面。

即等勢(shì)面上任意兩點(diǎn)間的勢(shì)差為零。

而

所以在任意點(diǎn)的F恒與通過該點(diǎn)的等勢(shì)面垂直，即力線與等勢(shì)面正交。

所以

例題求一點(diǎn)質(zhì)量場(chǎng)的等勢(shì)面

設(shè)點(diǎn)質(zhì)量位于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)（0，0，0），則它在任意點(diǎn)P(x,y,z)的勢(shì)：

等勢(shì)面時(shí)其方程為

因而等勢(shì)面的方程式為表示球心位于原點(diǎn)的球面方程式，因此點(diǎn)質(zhì)量周圍場(chǎng)中的等勢(shì)面為以該質(zhì)點(diǎn)為中心的球面?！?/p>

1.5引力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)通過面分布的連續(xù)性或F1F21、引力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)法向分量的連續(xù)條件

在面質(zhì)量?jī)蛇呄噜弮牲c(diǎn)上的場(chǎng)強(qiáng)矢量F的法線分量發(fā)生一突變，其值等于面質(zhì)量密度的引力場(chǎng)法向分量的邊界條件用引力勢(shì)可表示為或2、引力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)度切向分量的連續(xù)條件即此式表明：在任意曲面質(zhì)量?jī)蓚?cè)，引力場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。

★例2一均勻圓薄板的場(chǎng)強(qiáng)和勢(shì)，面質(zhì)量密度為§

1.6泊松方程和拉普拉斯方程1、泊松方程和拉普拉斯方程因?yàn)槎?/p>

若討論的區(qū)域ρ=0（沒有質(zhì)量分布），則泊松方程變?yōu)槔绽狗匠?/p>

在直角坐標(biāo)系中，

泊松方程2、引力場(chǎng)的邊值問題A、正演問題：已知體密度和面密度時(shí)，可根據(jù)邊界條件對(duì)泊松方程和拉普拉斯方程求解，確定出場(chǎng)的勢(shì)，進(jìn)而求出場(chǎng)強(qiáng)。B、反演問題：已知場(chǎng)的勢(shì)或場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，可根據(jù)泊松方程來確定場(chǎng)中某點(diǎn)的體質(zhì)量密度及面質(zhì)量密度。正演和反演是地球物理理論研究?jī)纱蠛诵膬?nèi)容3、唯一性定理：如果在空間中某一區(qū)域v內(nèi)，各點(diǎn)的質(zhì)量密度和該區(qū)域邊界面S上各點(diǎn)的勢(shì)為已知時(shí)，那么這個(gè)區(qū)域內(nèi)由泊松方程求解的勢(shì)是唯一的證明（反證法）：假設(shè)滿足上述條件的解不是唯一的，而是有兩組解U1和U2,只要證明U1=U2即可。設(shè)區(qū)域內(nèi)解不唯一為U1和U2,U’=U1-U2,U1和U2都滿足泊松方程，則設(shè)因?yàn)閁,V是任意函數(shù)，設(shè)U=V=U’在S面上為已知值，且已知值只有一個(gè)，所以S面上U’=U1-U2=0當(dāng)點(diǎn)由任意方向趨向S面時(shí)，U’=c=U’邊界=0如果在空間中某一區(qū)域v內(nèi)，各點(diǎn)的質(zhì)量密度和該區(qū)域邊界面S上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)度為已知時(shí)，那么這個(gè)區(qū)域內(nèi)由泊松方程求解的場(chǎng)強(qiáng)度是唯一的，但勢(shì)可以相差任一常數(shù)S面上場(chǎng)強(qiáng)度為已知，則V內(nèi)地球物理反演具有多解性?例、用泊松方程（拉普拉斯方程）求解均勻質(zhì)量球體的場(chǎng)

解：由于質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ，勢(shì)只與離開O點(diǎn)的距離r有關(guān)，即U=U(r)。引入球坐標(biāo)系，則§

1.7重力場(chǎng)1、重力及重力場(chǎng)的概念

地球的重力主要是由地球內(nèi)部質(zhì)量的萬(wàn)有引力和因地球自轉(zhuǎn)所引起的離心力二者所決定：即

即：由于離心力的存在，重力一般不指向地心。重力概念中包含了試驗(yàn)質(zhì)量m的因素，消除m的影響可得重力場(chǎng)強(qiáng)度：重力場(chǎng)強(qiáng)度等于物體受重力產(chǎn)生的重力加速度，其中第一項(xiàng)為引力加速度，第二項(xiàng)為離心力加速度，即

即：重力場(chǎng)強(qiáng)度的變化可以分為在空間上的變化和在時(shí)間上的變化。重力在空間上的變化主要表現(xiàn)為：地球不是一個(gè)正球體，而是一個(gè)近似于兩極壓縮的扁球體，而且地表又是起伏不平的，這將引起約6萬(wàn)g.u的重力場(chǎng)強(qiáng)度變化（兩極引力大，赤道引力?。?；地球的自轉(zhuǎn)也能使重力產(chǎn)生3.4萬(wàn)g.u的變化（兩極離心力小，赤道離心力大）；地下物質(zhì)密度分布不均勻可產(chǎn)生幾千g.u的重力變化。重力勘探正是利用地下物質(zhì)分布不均勻這一因素所引起的重力變化，來研究地質(zhì)構(gòu)造和達(dá)到勘探礦產(chǎn)資源的目的。重力在時(shí)間上的變化可以分為短周期變化和長(zhǎng)周期變化兩種。短周期變化主要指重力日變。地面上的一點(diǎn)受到太陽(yáng)，月亮的引力作用，由于地球的自轉(zhuǎn)，地表各點(diǎn)與日月的相對(duì)位置不斷改變，日月對(duì)這些點(diǎn)的引力的變化引起重力的變化，這種變化不僅可以造成海洋潮汐，還可以引起地殼形變，既所謂的“固體潮”，固體潮使大地水準(zhǔn)面發(fā)生位移，這種位移也造成重力的變化。這兩種變化的周期均為一天，其總和