第8講邊值問題

什么是邊值問題？如何構(gòu)建邊值問題？邊值問題的類型邊值問題的唯一性及唯一性定理邊值問題的求解方法什么是邊值問題？邊值型問題分布型問題已知：①場域V內(nèi)的源（電荷或電流）分布——場方程②邊界面S上的場分布——邊界條件如：如：或或邊值問題的構(gòu)成

邊值問題的類型

已知

第一類邊值問題（或狄里赫利問題）已知已知

第三類邊值問題（或混合邊值問題）

第二類邊值問題（或紐曼問題）如：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）如：自然邊界條件（無界空間）周期邊界條件銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如如如解的惟一性問題

在給定的邊界條件下，泊松方程（或拉普拉斯方程）在場域V是否具有惟一解？

給定場域V內(nèi)的自由電荷分布和電介質(zhì)特性，同時(shí)給定邊界面S上的或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V具有惟一解。

靜電場的惟一性定理或

惟一性定理的證明反證法：假設(shè)解不惟一，即有兩個(gè)位函數(shù)和在場域V內(nèi)滿足同樣的方程，即且在邊界面S上有令，則在場域V內(nèi)且在邊界面S上滿足同樣的邊界條件?；蚧蚧蛴筛窳值谝缓愕仁娇傻玫綄τ诘谝活愡吔鐥l件：對于第二類邊界條件：若和取同一點(diǎn)Q為參考點(diǎn)，則對于第三類邊界條件：或

給定場域V內(nèi)的傳導(dǎo)電流分布和磁介質(zhì)特性，同時(shí)給定邊界面S上的矢量磁位或磁場強(qiáng)度的切向分量，則域V內(nèi)的磁場分布是惟一的。

恒定磁場的惟一性定理或

惟一性定理的證明且在邊界面S上有且在邊界面S上反證法：假設(shè)解不惟一，即在場域V內(nèi)有兩個(gè)解和，則令，則或

在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域V內(nèi)，如果給定t=0時(shí)刻的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的初始值，并且在t

0時(shí)，給定邊界面S上的電場強(qiáng)度的切向分量或磁場強(qiáng)度的切向分量，那么，在t>0時(shí)，區(qū)域V內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。

時(shí)變電磁場的惟一性定理或

惟一性定理的證明

利用反證法對惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域內(nèi)的解不是惟一的，那么至少存在兩組解、和、滿足同樣的麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。則在區(qū)域V內(nèi)和的初始值為零；在邊界面S上電場強(qiáng)度的切向分量為零或磁場強(qiáng)度的切向分量為零，且和滿足麥克斯韋方程令根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有所以由于場的初始值為零，將上式兩邊對t積分，可得根據(jù)和的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為上式中兩項(xiàng)積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的，要使得積分為零，必有（證