第五章矩陣范數(shù)與矩陣

*北京科技大學自動化學院自動化系1系統(tǒng)與控制中的矩陣理論自動化系丁大偉ustb_automation@163.com研究范圍系統(tǒng)理論控制理論矩陣理論*北京科技大學自動化學院自動化系3控制理論的發(fā)展階段Firstgeneration:AnalogControlTechnology:FeedbackamplifiersTheory:Frequencydomainanalysis—Bode,Nyquist,Evans,…Secondgeneration:DigitalControlTechnology:DigitalcomputersTheory:State-spacedesign,Kalmanfiltering,Optimalcontrol,H∞Thirdgeneration:NetworkedcontrolTechnology:Embeddedcomputers,Wirelessandwirelinenetworks,SoftwareTheory:Multi-agent,Consensus,flocking,cooperative,…*北京科技大學自動化學院自動化系4系統(tǒng)與控制中的矩陣理論Secondgeneration:DigitalControlLinearsystems√NonlinearsystemsOptimalcontrolEstimationSystemidentificationRobustcontrol√Adaptivecontrol√Discrete-eventsystemsHybridsystems*北京科技大學自動化學院自動化系5系統(tǒng)與控制中的矩陣理論Linearsystems特征值與特征向量，矩陣對角化，矩陣求逆，矩陣函數(shù)，多項式矩陣，史密斯標準型，子空間,…Adaptivecontrol向量及矩陣范數(shù)，矩陣不等式，矩陣方程，矩陣函數(shù)，正定矩陣，矩陣對角化,…Robustcontrol子空間，特征值及特征向量，矩陣求逆，廣義逆，矩陣微積分，矩陣范數(shù)，奇異值分解，LMI，…*北京科技大學自動化學院自動化系6課程內(nèi)容1/4向量范數(shù)，矩陣范數(shù)向量和矩陣的極限矩陣冪級數(shù)矩陣函數(shù)矩陣的微分與積分常用矩陣函數(shù)的性質(zhì)矩陣函數(shù)的應(yīng)用一：微分方程矩陣函數(shù)的應(yīng)用二：線性系統(tǒng)的能控性與能觀性*北京科技大學自動化學院自動化系7課程內(nèi)容1/4Introductiontolinearmatrixinequalities(LMIs)SystemstabilityandperformanceLyapunovstabilityDissipativityKYPlemmaBoundedreallemmaPositivereallemmaH∞H2*北京科技大學自動化學院自動化系8課程內(nèi)容1/4SomeusefullemmasSchurcomplementDualizationlemmaProjectionlemmaElimilationlemmaState-feedbackcontrolDynamicoutput-feedbackcontrol*北京科技大學自動化學院自動化系9§1向量范數(shù)內(nèi)積空間和酉空間：通過內(nèi)積定義了向量的長度。線性空間有“長度”？---->“范數(shù)”若是實內(nèi)積空間，為任意向量，為實數(shù)域中任一元素，則中向量的長度具有下列三個基本性質(zhì)： (1)當時，都有；

(2)；

(3)。*北京科技大學自動化學院自動化系向量范數(shù)定義1：(向量范數(shù))設(shè)是數(shù)域上的線性空間。若對于中的任一向量，都有一非負實數(shù)與之對應(yīng)，并且滿足下列三個條件： (1)正定性：當時，都有；

(2)齊次性：對于任何，有;

(3)三角不等式：對于任何，都有則稱非負實數(shù)為向量的范數(shù)。簡言之，向量的范數(shù)是定義在線性空間上的非負實值函數(shù)。*北京科技大學自動化學院自動化系11常見的向量范數(shù)對于酉空間向量1-范數(shù)2-范數(shù)∞-范數(shù)p-范數(shù)*北京科技大學自動化學院自動化系12

常見的向量范數(shù)1-范數(shù)證明：(1)當時，則不全為零，從而(2)對于任何，則

(3)若為任意向量，則即三角不等式成立。*北京科技大學自動化學院自動化系13常見的向量范數(shù)1-范數(shù):p=12-范數(shù):p=2∞-范數(shù)：證明：當時，顯然成立。故只需對非零向量加以證明。令，則有這里，又至少有一個，所以有*北京科技大學自動化學院自動化系14常見的向量范數(shù)因此，又因為故從而，即，*北京科技大學自動化學院自動化系15向量范數(shù)之間關(guān)系定理1.對于任何有限維向量空間上定義的任意兩種向量范數(shù)，都存在兩個與無關(guān)的正的常數(shù)，使得對中任一向量，都有注：滿足以上兩個不等式的向量范數(shù)稱為等價的。故定理1也可敘述為：有限維向量空間上的不同向量范數(shù)是等價的。證明：只針對實數(shù)域上的維線性空間證明。設(shè)是的一組基，則中的任意向量可以表示為*北京科技大學自動化學院自動化系16向量范數(shù)之間關(guān)系定義：，顯然是一種向量范數(shù)(2范數(shù))。對于向量范數(shù) 首先證明的等價性。記，則是連續(xù)函數(shù)： 設(shè)另一向量為，其范數(shù)為則有*北京科技大學自動化學院自動化系17向量范數(shù)之間關(guān)系由于是常數(shù)，因此當與充分接近時，就充分接近，即是連續(xù)函數(shù)。 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可知，在有界閉集上，函數(shù)可達到最大值和最小值。當時，顯然，因此有。又記則向量的分量滿足，因此；*北京科技大學自動化學院自動化系18向量范數(shù)之間關(guān)系于是由得由上式可得即若取，則因此等價。 同理可證：即等價。*北京科技大學自動化學院自動化系19§2矩陣范數(shù)定義2.(矩陣范數(shù))在上定義一個非負實值函數(shù)(對每個)，如果對任意都滿足下列 四個條件：

(1)正定性：若(矩陣)，則

(2)齊次性：對任意，有

(3)三角不等式：(4)則非負實數(shù)稱為方陣的范數(shù)。*北京科技大學自動化學院自動化系20矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性定義3.若對任何及維列向量，方陣范數(shù)能與某種向量范數(shù)滿足關(guān)系式則稱方陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。注：1)上的每一種方陣范數(shù)，在上都存在與它相容的向量范數(shù)；2)上任意兩種方陣范數(shù)都是等價的，即存在兩個與無關(guān)的正數(shù)，使得

*北京科技大學自動化學院自動化系21矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性3)若則是一種與向量范數(shù)相容的方陣范數(shù)，稱為Frobenius范數(shù)()。證明:(1)當(矩陣)，則顯然成立；

(2)對任意則*北京科技大學自動化學院自動化系22矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性(3)*北京科技大學自動化學院自動化系23矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性(4)(5)設(shè)

令*北京科技大學自動化學院自動化系24矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性則有即是與向量范數(shù)相容的矩陣范數(shù)。*北京科技大學自動化學院自動化系25F-范數(shù)注：F-范數(shù)的優(yōu)點之一是乘以酉矩陣后不變(在實矩陣的情況下乘以正交矩陣后不變)，即證明：又，且也是酉矩陣，則由此可知，的酉相似矩陣的F-范數(shù)是相同的，即：若，則*北京科技大學自動化學院自動化系26常見的矩陣范數(shù)常見的矩陣范數(shù)F-范數(shù)：1-范數(shù)：(列模和最大者)∞-范數(shù)：(行模和最大者)

2-范數(shù)：(是的最大特征值)*北京科技大學自動化學院自動化系27§3向量和矩陣的極限定義4.(向量的極限)若，如果存在極限則稱有空間的向量序列收斂于向量并記為換言之，向量序列的極限是按坐標序列的極限來定義的。當向量序列不收斂時，也稱為發(fā)散的。*北京科技大學自動化學院自動化系28向量和矩陣的極限定理2.證明：利用向量的等價性，易知，對一種向量范數(shù)成立，則對任何一種范數(shù)也成立。為此，取向量范數(shù)。如果對向量范數(shù)，有則由，可知，對每個有。因此，反之，若則由定義知，*北京科技大學自動化學院自動化系29向量和矩陣的極限故對任給正數(shù)，都有正數(shù)，使得時，都有若取，則當時，對每個值，上述不等式均成立，從而，時，這就證明了證畢。*北京科技大學自動化學院自動化系30向量和矩陣的極限向量序列收斂于向量，并且只當對任何一種向量范數(shù)，序列收斂于零。因此，n維向量序列的收斂問題，借助于范數(shù)概念，可歸結(jié)為實數(shù)序列的收斂問題。定義5.(矩陣極限)

若， 如果存在極限 則稱方陣收斂于方陣，記為 當方陣序列不收斂時，也稱為發(fā)散的。*北京科技大學自動化學院自動化系31向量和矩陣的極限例1：

若 則有*北京科技大學自動化學院自動化系32向量和矩陣的極限定理3.

證明：注：方陣序列收斂于方陣,當且僅當對任一方陣范數(shù) ，序列收斂于零。特別地，(矩陣)，當且僅當*北京科技大學自動化學院自動化系33向量和矩陣的極限收斂方陣序列的基本性質(zhì)： (1)若，則對中任何方陣范數(shù)，有界。

(2)若又(這里為數(shù)列)，則有(3)若，且都存在，則*北京科技大學自動化學院自動化系34向量和矩陣的極限定理4. (矩陣)的充分條件，是有某一方陣范數(shù)，使得 證明：由方陣范數(shù)定義的條件(4)知，有 因此，若，則，從而。由定理3便得。證畢。*北京科技大學自動化學院自動化系35向量和矩陣的極限定理5. (矩陣)的充分必要條件，是的所有特征值的模都小于1. 證明：設(shè)的約當標準型為*北京科技大學自動化學院自動化系36向量和矩陣的極限 由于，故。而且 不難證明*北京科技大學自動化學院自動化系37向量和矩陣的極限 其中，，又在時的階導數(shù)為：

由此可以看出，當時，下列各個陳述的等價性： 證畢。 *北京科技大學自動化學院自動化系38向量和矩陣的極限定理6.

矩陣的每一個特征值的模，都不大于矩陣的任何一種范數(shù)，即，。 證明：設(shè)。作矩陣(是任意正數(shù))， 于是， 因此，當時，(矩陣)(定理4)。但由定理5知，矩陣的所有特征值的模都小于1，而的特征值就是 故 即。由于正數(shù)可以任意小，因此。*北京科技大學自動化學院自動化系39§4矩陣冪級數(shù)定義6.(方陣級數(shù))給定中一方陣序列 則和式 稱為方陣級數(shù)，也?？s寫為定義7.

(收斂)

若方陣序列收斂于，記為方陣序列收斂的充要條件:

個數(shù)值級數(shù)收斂。當個數(shù)值級數(shù)絕對收斂時，稱此方陣級數(shù)絕對收斂。*北京科技大學自動化學院自動化系40矩陣冪級數(shù)方陣級數(shù)收斂的基本性質(zhì)：

(1)若方陣級數(shù)絕對收斂，則它一定收斂，且任意交換 各項的次序所得的新級數(shù)仍收斂，和也不改變。

(2)方陣級數(shù)絕對收斂的充要條件，是對任意一種方陣 范數(shù)，正項級數(shù)收斂。

(3)若為給定矩陣，如果方陣級數(shù)收斂(或絕 對收斂)，則級數(shù)也收斂(或絕對收斂)，且有等式*北京科技大學自動化學院自動化系41矩陣冪級數(shù)定義8.(冪級數(shù))

若已給階復數(shù)方陣序列及復數(shù)序列，則方陣級數(shù)稱為方陣的冪級數(shù)。定義9.(譜半徑)

如果為方陣的全部特征值，則 稱為的譜半徑。*北京科技大學自動化學院自動化系42矩陣冪級數(shù)定理7. 若，則對于任給正數(shù)，都有某一方陣范數(shù)，使得。 證明：對于，必有可逆矩陣，使與其約當標準形相似： 其中是的特征值，而等于1或0。*北京科技大學自動化學院自動化系43矩陣冪級數(shù) 對給定的，取對角形矩陣 顯然可逆，且由計算可得

*北京科技大學自動化學院自動化系44矩陣冪級數(shù) 對所給方陣，令 可驗證是方陣范數(shù)。 可得：

注：*北京科技大學自動化學院自動化系45矩陣冪級數(shù)定理8. 若復變數(shù)冪級數(shù)的收斂半徑為，而方陣的譜半徑為，則：

(1)當時，方陣冪級數(shù)絕對收斂；

(2)當時，方陣冪級數(shù)發(fā)散。 證明:(1)因，故總可以找到正數(shù)，使得 仍成立。又因為冪級數(shù)在收斂圓內(nèi) 絕對收斂，所以正項級數(shù)*北京科技大學自動化學院自動化系46矩陣冪級數(shù) 收斂，從而其部分和 有上界： 由定理7，存在某一方陣范數(shù)，使得。 因而， 故正項級數(shù)收斂。因而，絕對收斂。*北京科技大學自動化學院自動化系47矩陣冪級數(shù)推論1.

若復數(shù)冪級數(shù)的收斂半徑為，則對于方陣 ，當其特征值滿足 時，方陣冪級數(shù) 絕對收斂；若有某一使得，則此方陣冪級數(shù) 發(fā)散。*北京科技大學自動化學院自動化系48矩陣冪級數(shù)推論2.

若復變數(shù)級數(shù)在整個復平面上都收斂，則對任意的方陣，方陣冪級數(shù)也收斂。*北京科技大學自動化學院自動化系49§5矩陣函數(shù)定理9.

若對任一方陣，冪級數(shù)都收斂，其和為 則當為分塊對角形矩陣

時，即有*北京科技大學自動化學院自動化系50矩陣函數(shù)定理10.

若是收斂半徑為的復變數(shù)冪級數(shù)，又 是n階約當塊，則當時，方陣冪級數(shù)絕對收斂 其和為*北京科技大學自動化學院自動化系51矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)的求法方法一：利用矩陣的標準形求

(1)若相似于對角形矩陣：

則*北京科技大學自動化學院自動化系52矩陣函數(shù)(2)若不能與對角形矩陣相似，則必可與其約當標準形相似: ，其中，

則*北京科技大學自動化學院自動化系53矩陣函數(shù)方法二：多項式法

定理11.設(shè)n階方陣A的最小多項式為m次多項式 其中，是A的所有互不相同的特征值。又與收斂的復變數(shù)冪級數(shù)相應(yīng)的是A的收斂冪級數(shù)，則矩陣函數(shù)可以表示成A的m-1次多項式 系數(shù)有下列的方程組的解給出：

*北京科技大學自動化學院自動化系54矩陣函數(shù)*北京科技大學自動化學院自動化系55矩陣函數(shù)例2. 設(shè)，求 解：特征值 特征向量

則*北京科技大學自動化學院自動化系56矩陣函數(shù)例3. 設(shè)，求 解：特征值

特征向量*北京科技大學自動化學院自動化系57矩陣函數(shù)

*北京科技大學自動化學院自動化系58矩陣函數(shù)例4. 設(shè)，用多項式法求 解：特征多項式 特征值 最小多項式 記 因為3次多項式，故設(shè)*北京科技大學自動化學院自動化系59矩陣函數(shù)由此得方程組解得可得：*北京科技大學自動化學院自動化系60§6矩陣的微分與積分定義10.(