第4章張量(清華大學(xué)張量,你值得擁有)

第4章曲線坐標(biāo)張量分析

2023年2月6日主要內(nèi)容基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號張量場函數(shù)對矢徑的導(dǎo)數(shù)、梯度張量分量對坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量場函數(shù)的散度和旋度積分定理Riemann-Christoffel張量（曲率張量）張量方程的曲線坐標(biāo)分量表示方法非完整系與物理分量正交曲線坐標(biāo)系中的物理分量

基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號張量場函數(shù)：T(r)T(r)之所以被稱為場函數(shù)，是因?yàn)樗鞘笍絩的函數(shù)。在曲線坐標(biāo)系下，基矢量gi并不是常矢量，如何描述gi隨坐標(biāo)的變化而變化？基矢量本身重要！是坐標(biāo)的非線性函數(shù)基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號基矢量的導(dǎo)數(shù)與Christoffel符號協(xié)變基矢量的導(dǎo)數(shù)與第二類Christoffel符號從定義式，可探討性質(zhì)：由于定義式可證明，共有18個獨(dú)立的分量，且不是張量分量?；噶康膶?dǎo)數(shù)，Christoffel符號基矢量的導(dǎo)數(shù)與Christoffel符號第一類Christoffel符號性質(zhì)：定義式：比較：Christoffel符號僅有定義式是不夠的，必須有計算式！基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號基矢量的導(dǎo)數(shù)與Christoffel符號Christoffel的計算式：用gij來計算基矢量的導(dǎo)數(shù)，Christoffel符號基矢量的導(dǎo)數(shù)與Christoffel符號逆變基矢量的導(dǎo)數(shù)

對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，的計算公式張量場函數(shù)對矢徑的導(dǎo)數(shù)、梯度標(biāo)量場函數(shù)f(r)的梯度其中，定義為f(r)的梯度；即。因此，梯度的幾何意義！取弧元ds，有方向?qū)?shù)：張量場函數(shù)對矢徑的導(dǎo)數(shù)、梯度張（矢）量場函數(shù)T(r)的梯度，借助有限微分，得從而可得右梯度和左梯度：由此可得：張量分量對坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為了計算，則必須引入?yún)f(xié)變導(dǎo)數(shù)★矢量場函數(shù)的梯度矢量分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量分量對坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)★矢量場函數(shù)的梯度引入新符號來表示矢量分量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)則右梯度：左梯度：張量分量對坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)★矢量場函數(shù)的梯度注：只有在笛卡爾坐標(biāo)系下才有特殊矢量：矢徑r，有張量分量對坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)★張量場函數(shù)的梯度右梯度：左梯度：張量分量對坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)★張量場函數(shù)的梯度其中四者之間滿足指標(biāo)升降關(guān)系。張量分量對坐標(biāo)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)★張量場函數(shù)的梯度特殊張量1：度量張量G但是一般來說，特殊張量2：置換張量兩個張量的并AB的協(xié)變導(dǎo)數(shù)張量場函數(shù)的散度和旋度從梯度開始理解散度和旋度梯度(gradient)★矢量場函數(shù)F(r)的散度散度(divergence)旋度(curl)張量場函數(shù)的散度和旋度★張量場函數(shù)T(r)的散度張量場函數(shù)的散度和旋度矢量場函數(shù)巨漂亮的結(jié)果場論中的有勢場滿足，其中U為勢函數(shù)。定義Laplace算子：即先求梯度，再計算散度。張量場函數(shù)的散度和旋度若矢量，為標(biāo)量，則而，可推導(dǎo)出因此，可得張量場函數(shù)的散度和旋度因此，Laplace算子的計算式：Euclid空間，只有一個最基本的一階矢量微分算子，即梯度算子。Euclid空間，只有一個最基本的二階標(biāo)量微分算子，即Laplace算子。張量場函數(shù)的散度和旋度★矢量場函數(shù)F(r)的旋度張量場函數(shù)的散度和旋度★矢量場函數(shù)F(r)的旋度張量場函數(shù)的散度和旋度★張量場函數(shù)T(r)的旋度★協(xié)變導(dǎo)數(shù)符號的靈活運(yùn)用積分定理從牛頓-萊布尼茲公式說起微分階次降了一階域內(nèi)轉(zhuǎn)換到邊界向二維擴(kuò)展：Green定理積分定理向二維擴(kuò)展：Green定理若，則環(huán)量若一個場無旋（有勢，積分與路徑無關(guān)），則滿足Cauchy條件：一個定理之所以稱為定理，一定與坐標(biāo)無關(guān)。積分定理奧高定理（閉合曲面）奧高定理雖然是數(shù)學(xué)上的結(jié)論，但是對與力學(xué)和物理學(xué)來說，就是守恒律。積分定理Stokes定理若，則有旋運(yùn)動（渦通量）守恒于邊界線上的環(huán)量。積分定理奧高定理（從矢量向張量推廣）散度定理是一切積分定理的基礎(chǔ)！φ為任意張量證明其它定理時，假設(shè)

，為標(biāo)量，有再假設(shè)C為常張量，有積分定理奧高定理（從矢量向張量推廣）因此，有標(biāo)量形式的梯度定理張量形式的梯度定理張量形式的旋度定理積分定理奧高定理（從矢量向張量推廣）羅列如下：積分定理Stokes定理（從矢量向張量推廣）φ為任意張量積分定理整體化數(shù)理分析相較于局部化數(shù)理分析，即微元法，整體化數(shù)理分析不涉及坐標(biāo)，并且可描述全域。平衡方程（積分形式）由于，則平衡方程（微分形式）例1：固體受力平衡積分定理積分形式例2：流體定常運(yùn)動：定常流場流體定常運(yùn)動的連續(xù)性方程微分形式力學(xué)的基本方程從笛卡爾坐標(biāo)系中向曲線坐標(biāo)系的擴(kuò)展Riemann-Christoffel張量（曲率張量）R-C張量的起源猜想笛卡爾坐標(biāo)系下，二元函數(shù)f(x,y)的二階導(dǎo)數(shù)具有求導(dǎo)順序的無關(guān)性。那么到了曲線坐標(biāo)系以及高階流形上，求導(dǎo)（協(xié)變導(dǎo)數(shù)）順序的無關(guān)性還存在嗎？基本沒有！Riemann-Christoffel張量（曲率張量）Riemann其人愛因斯坦（1879-1955）黎曼（1826-1866）拉格朗日（1736-1813）高斯Riemann-Christoffel張量（曲率張量）R-C張量的起源猜想若有，空間形式為歐氏空間；反之，為黎曼空間。若能在一個空間中找到一笛卡爾坐標(biāo)系，并且能找到一坐標(biāo)變換，使得變換后滿足，。那么這個空間就是歐氏的。如何知道空間形式是歐氏的還是黎曼的？若，Riemann-Christoffel張量（曲率張量）R-C張量的定義再來看矢量a，對于，有；對于與

，?首先來看標(biāo)量φ，對于，有；對于，有。R-C張量的定義本人的建議：形式上的拓展，比較：Riemann-Christoffel張量（曲率張量）R-C張量的定義本人的建議：請驗(yàn)證是否一致：又有：用度量張量計算R由此推測：黎曼張量必然取決于度量張量！用度量張量計算R本人的建議：R-C張量的性質(zhì)R的對稱性（R=Rijklgigjgkgl）對于前兩個指標(biāo)反對稱對于后兩個指標(biāo)反對稱可構(gòu)造二階張量即：Riemann-Christoffel張量（曲率張量）R-C張量的性質(zhì)R的對稱性（R=Rijklgigjgkgl）對于前兩個指標(biāo)和后兩個指標(biāo)可交換綜合上述三方面的對稱性：Riemann-Christoffel張量（曲率張量）R（R=Rijklgigjgkgl）獨(dú)立分量的計算：81個分量（i,j）中，3個0分量，3個獨(dú)立分量，可能的、獨(dú)立的非0組合為3個，即（1，2），（2，3），（3，1）。（k,l）中，3個0分量，3個獨(dú)立分量，可能的、獨(dú)立的非0組合也為3個，即（1，2），（2，3），（3，1）。于是（i,j,k,l）中，可能的、獨(dú)立的非0組合為9個，即（1，2，1，2），（1，2，2，3），（1，2，3，1）（2，3，1，2），（2，3，2，3），（2，3，3，1）（3，1，1，2），（3，1，2，3），（3，1，3，1）Riemann-Christoffel張量（曲率張量）最終，R的獨(dú)立分量只有6個，分別為：于是（i,j,k,l）中，可能的、獨(dú)立的非0組合為9個，即（1，2，1，2），（1，2，2，3），（1，2，3，1）（2，3，1，2），（2，3，2，3），（2，3，3，1）（3，1，1，2），（3，1，2，3），（3，1，3，1）Riemann-Christoffel張量（曲率張量）Ricci公式標(biāo)量場函數(shù)矢量場函數(shù)張量場函數(shù)（二階）（三階）Riemann-Christoffel張量（曲率張量）Bianchi恒等式令，代入對i,j,k做輪換對i,j,k做輪換再從出發(fā)，對xk求協(xié)變導(dǎo)數(shù)Riemann-Christoffel張量（曲率張量）Bianchi恒等式由于對比兩組式子Riemann-Christoffel張量（曲率張量）Bianchi恒等式降指標(biāo)后，得到從而得到Bianchi恒等式Riemann-Christoffel張量與變形協(xié)調(diào)方程連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，小變形問題，位移場可確定唯一的應(yīng)變場：位移矢量有三個獨(dú)立分量，而應(yīng)變張量有六個獨(dú)立分量，故任意給定的應(yīng)變張量一般不能對應(yīng)一個連續(xù)的位移場，應(yīng)變張量分量之間必然滿足內(nèi)在的約束關(guān)系。于是，有如下變形協(xié)調(diào)條件。采用Lagrange描述。變形前，連續(xù)體屬