第二章軸向拉伸和軸向壓縮

第

2

章

軸向拉伸和軸向壓縮◆

概述◆

軸力及軸力圖◆拉壓桿件橫截面上的正應(yīng)力◆

應(yīng)力集中的概念◆拉壓桿件的變形◆

拉伸和壓縮時(shí)材料的力學(xué)性質(zhì)◆拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算◆拉壓超靜定問(wèn)題§2-1概述外力（的合力）沿桿軸線作用

——

外力特點(diǎn)

桿的主要變形是縱向伸長(zhǎng)或縮短，同時(shí)桿的橫向尺寸縮小或增大。

——

變形特點(diǎn)拉桿壓桿FFFFFF拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力——

軸力軸力的正負(fù)號(hào)規(guī)定：以拉為正，以壓為負(fù)。mmFN

＝

F一、軸力的計(jì)算§2-2軸力及軸力圖mmFFN二、軸力圖以平行桿軸線的坐標(biāo)軸為橫坐標(biāo)軸，其上各點(diǎn)表示橫截面的位置；

正的軸力畫在橫坐標(biāo)的上方，負(fù)的畫在下方。

以垂直桿軸線的縱坐標(biāo)表示橫截面上軸力的大小，畫出的圖線即為軸力圖。例1：作桿的軸力圖。P11

例2-2FN12m2m2mABCD3

kN1

kN2

kN/m解：①分段求軸力113

kNA223

kN2

kN/mABFN233x1

kNDFN3內(nèi)力按正的假設(shè)＋－FN（kN）最大軸力│FN│max＝3kN，發(fā)生在

AB段。2m2m2mABCD3

kN1

kN2

kN/m31②畫軸力圖FN1＝3kN2m2m2mABCD3

kN1

kN2

kN/m112233FN2＝3－2

x(kN)FN3＝3－2·2

＝－1kNx拉（壓）桿件某一截面上的軸力，等于該截面一側(cè)桿件上所有軸向外力的代數(shù)和。軸向外力離開該截面取正，

指向該截面取負(fù)。計(jì)算規(guī)則例2：畫軸力圖。ABCD解：四個(gè)控制截面，分三段。60

kN40

kN20

kN33＋－FN（kN）最大軸力│FN│max＝40kN，發(fā)生在

AB、CD

兩段。1122404020拉壓桿上集中力作用處，左、右截面上的軸力值有突變，突變值就等于該集中力的大小。重要結(jié)論拉壓桿橫截面上的應(yīng)力？正應(yīng)力σ分布規(guī)律？桿的變形規(guī)律？實(shí)驗(yàn)幾何方面物理方面靜力學(xué)方面§2-3拉伸和壓縮桿件橫截面上的正應(yīng)力1．幾何方面等截面直桿施加力之前，在桿的中部表面上畫：

縱線（∥桿軸線）、橫線（⊥桿軸線）施加力之后，桿有變形，觀察：縱線仍為直線，且∥桿軸線橫線仍為直線，且⊥桿軸線但都產(chǎn)生了平移FF材料的連續(xù)性作

假

設(shè)變形前為平面的橫截面，變形后仍為平面。平面假設(shè)將桿看成由無(wú)數(shù)多條縱線（纖維）組成實(shí)

驗(yàn)觀

察FF桿表面上各纖維均產(chǎn)生相同的變形平面假設(shè)推

斷桿內(nèi)部纖維變形相同各纖維線應(yīng)變

e

相同各纖維原長(zhǎng)相同e＝C（常量）2．物理方面在彈性變形范圍內(nèi)，變形與力成正比。各纖維線應(yīng)變相同s＝C1（常量）橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力相同橫截面上的正應(yīng)力均勻分布sF3．靜力學(xué)方面橫截面上的正應(yīng)力合成的結(jié)果是內(nèi)力——軸力sFsFN＝A拉壓桿橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式幾點(diǎn)說(shuō)明：②

正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)與軸力的正負(fù)號(hào)一致；s

＞0

，拉應(yīng)力，s

＜0，壓應(yīng)力。sFN＝A①

正應(yīng)力公式適用于橫截面為任意形狀的等截面拉壓桿（變形為彈性變形）；③

正應(yīng)力公式是根據(jù)“正應(yīng)力在桿橫截面上各點(diǎn)處處相等”導(dǎo)出的；④

對(duì)于變截面桿，正應(yīng)力公式可作為近似計(jì)算公式。圣維南原理圣維南原理：力作用于桿端方式的不同，只影響桿端局部范圍的應(yīng)力分布，影響區(qū)的軸向范圍約離桿端1～2個(gè)桿的橫向尺寸。返

回h/4hh/2FFbh112233F33F11s

＝F/bh0.198s2.575sF22s

＝F/bh0.668s1.387ss

＝F/bh0.973s1.027sr

Adxgq＝xO例：等截面直桿長(zhǎng)為

l，橫截面面積為

A，材料密度(即單位體積質(zhì)量)為r，求自重引起的最大應(yīng)力。P18

例2-7

第一問(wèn)lqxFN(x)

＝－q

xs

(x)

FN

(x)＝A＝－r

g

x＝－r

g

A

x│smax│＝

r

g

ldx＝r

g

A/dx應(yīng)力非均勻分布§2-4應(yīng)力集中的概念FF1122F11smaxF22ssmax

顯著超過(guò)s0＝F/A0應(yīng)力仍均勻分布由于截面急劇變化所引起的應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象應(yīng)力集中A0：凈截面面積當(dāng)材料處于彈性范圍時(shí)，最大局部應(yīng)力smax應(yīng)力集中因數(shù)a

＝

smax

/s0解析理論（彈性力學(xué)）實(shí)驗(yàn)數(shù)值方法（有限元法、邊界元法等）可由確定。小孔、小槽：應(yīng)力集中的影響不大，可不考慮。用凈面積計(jì)算s

——

材料力學(xué)方法大孔、大槽：應(yīng)力集中的影響大，必須考慮?！?/p>

彈性力學(xué)……等方法>1一、軸向變形§2-5拉伸和壓縮桿件的變形FFalD

l

＝

l

－

l′l′aa′a′在彈性變形范圍內(nèi)，D

l

與F

、l

成正比，與A成反比。軸向伸長(zhǎng)D

l＝FN

lEA比例常數(shù)

E虎克定律FN

＝

F①

E

——

材料拉伸（或壓縮時(shí)）的彈性模量，

②

EA

——桿件的抗拉（壓）剛度，表示桿件抵抗變形的能力，表示材料抵抗變形的能力，是材料常數(shù)。是桿件常數(shù)。③

變形公式的適用范圍：在長(zhǎng)為

l

的一段桿內(nèi)，F(xiàn)N、E、A均為常量，且材料在線彈性范圍內(nèi)?；騭

＝

E

esEe＝FNlEA△l＝④

虎克定律的另一種形式鏈接返回E、A為常量，求桿件的總變形。ABCF1F2F3l1l2（a）（b）ABFlqxdx取微段內(nèi)力變化是個(gè)微量微段變形桿件變形作業(yè)：2－1(b、d)、3(b)軸力圖的特征：某段上：

無(wú)荷載作用，軸力為常量。

有集中力作用，集中力作用處，軸力有突變，突變值就等于該集中力的大小。有均布荷載作用，軸力線性變化?？偨Y(jié)拉壓桿件橫截面上的正應(yīng)力sFN＝A橫截面上的正應(yīng)力均勻分布回顧sF拉壓桿件軸向變形FNlEA△l＝二、橫向變形D

a＝

a

－

a′在彈性變形范圍內(nèi)：橫向縮短：橫向應(yīng)變：e

＝′D

aa＜

0＜

0e

＝－n

e′n

＝e′e或ll′FFaaa′a′n

——

泊松比，表示材料抵抗橫向變形的能力，也是材料常數(shù)。彈性模量E、泊松比n

都是材料常數(shù)，數(shù)值通常由實(shí)驗(yàn)測(cè)得。P17表2-1正

泊松比負(fù)

泊松比例：等截面直桿長(zhǎng)為

l，橫截面面積為A，材料密度(即單位體積質(zhì)量)為r、拉壓彈性模量為E，求自重引起的桿軸向總變形。P18例2-7

第二問(wèn)xOlqxFN(x)＋dFN(x)q＝r

gAdxFN(x)dx微段的變形：

例：圖示三角架中，桿1、2均為鋼桿，彈性模量E＝2×105

MPa，橫截面面積A1＝100mm2，A2＝400mm2，桿長(zhǎng)l1＝1m。設(shè)F＝40kN，求節(jié)點(diǎn)A的位移。1245°BCFAP19例2-81245°BCFAFAFN1FN2①求內(nèi)力②求變形拉力壓力伸長(zhǎng)縮短F1245°BCA③求位移A1A2A'AA1＝Dl1AA2＝Dl245°AA1A2A''A345°A4Dh＝AA1＝Dl1Dv＝AA3＝AA4＋A4A3材料的力學(xué)性質(zhì)：材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形和破壞方面的特性。常溫、靜荷載材料低碳鋼塑性材料脆性材料試

驗(yàn)鑄鐵§2-6拉伸和壓縮時(shí)材料的力學(xué)性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)試件拉伸試件——圓截面試件、矩形截面試件AB：工作段l：標(biāo)距壓縮試件——短試件（短圓柱體或長(zhǎng)方體）l＝（1～3）d1．低碳鋼的拉伸實(shí)驗(yàn)一、拉伸時(shí)材料的力學(xué)性質(zhì)F

—

Dl曲線拉伸圖應(yīng)力—應(yīng)變曲線s

—

e

圖AB拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線⑴低碳鋼ⅠⅡⅢⅣ①?gòu)椥噪A段e彈性極限p比例極限拉伸曲線的四個(gè)階段E＝s

／e②屈服階段s屈服極限拉伸曲線的四個(gè)階段屈服流動(dòng)滑移線③強(qiáng)化階段b強(qiáng)度極限拉伸曲線的四個(gè)階段強(qiáng)化④破壞階段頸縮現(xiàn)象拉伸曲線的四個(gè)階段延伸率⑵材料的塑性指標(biāo)d

=——

×100％l

1

－

llψ

=———

×100％A

－

A

1A截面收縮率δ≥5％

塑性材料δ＜5％

脆性材料⑶冷作硬化現(xiàn)象卸載后再加載時(shí)，材料的比例極限提高了，且不再有屈服現(xiàn)象；拉斷后的塑性變形減少了。2．其它塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

Q235鋼有屈服階段，其它材料無(wú)明顯的屈服階段。條件屈服極限：

塑性應(yīng)變等于0.2％時(shí)的應(yīng)力值。0.2對(duì)于沒(méi)有明顯屈服階段的塑性材料3．鑄鐵的拉伸實(shí)驗(yàn)①應(yīng)力應(yīng)變曲線上沒(méi)有明顯的直線段；②變形很小，拉斷后的塑性變形只有0.5％～0.6％；③沒(méi)有屈服階段和頸縮現(xiàn)象。塑性材料：su

＝sS

脆性材料：su

＝sb強(qiáng)度指標(biāo)（失效應(yīng)力、極限應(yīng)力）脆性材料塑性材料⒈

低碳鋼的壓縮試驗(yàn)二、壓縮時(shí)材料的力學(xué)性質(zhì)⒉鑄鐵的壓縮試驗(yàn)⒊混凝土的壓縮試驗(yàn)不加潤(rùn)滑劑加潤(rùn)滑劑軟化提高了sb降低了sb不加潤(rùn)滑劑作業(yè)：2－4(a)、10、14⒋木材的壓縮試驗(yàn)順紋壓縮橫紋壓縮各向異性材料P27表2-2而脆性材料的抗壓能力遠(yuǎn)大于抗拉能力。三、塑性材料與脆性材料的比較①塑性材料的抗拉強(qiáng)度比脆性材料的抗拉強(qiáng)度高；塑性材料——受拉桿件，脆性材料——受壓桿件②塑性材料能產(chǎn)生較大的塑性變形，而脆性材料的變形較小。塑性材料抵抗沖擊的能力較好承受動(dòng)荷載的構(gòu)件——塑性材料塑性材料的抗拉和抗壓能力相同，③當(dāng)構(gòu)件中存在應(yīng)力集中時(shí)，塑性材料對(duì)應(yīng)力集中的敏感性較小，而脆性材料對(duì)應(yīng)力集中的敏感性較大。

注意：材料的塑性或脆性與工作溫度、變形速度、受力狀態(tài)等因素有關(guān)。塑性材料塑性材料一、復(fù)合材料§2-7幾種新材料的力學(xué)性質(zhì)簡(jiǎn)介由兩種或多種不同性質(zhì)的材料用物理或化學(xué)方法制成的具有新性能的材料。復(fù)合材料具有極明顯的各向異性。在平行于纖維的方向“增強(qiáng)”效應(yīng)明顯，而在垂直于纖維的方向則不顯著。單層玻璃鋼(纖維按同一方向排列時(shí))沿纖維方向拉伸時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線復(fù)合材料的彈性模量不僅與基體和纖維材料的彈性模量有關(guān)，而且與這兩種材料的體積比有關(guān)。復(fù)合材料沿纖維方向的彈性模量可由并聯(lián)模型得到：?jiǎn)螌硬Ａт揈＝Ef

Vf＋Em

(1－Vf)基體材料的彈性模量纖維材料的彈性模量纖維材料的體積與總體積之比二、粘彈性材料粘彈性：應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系與時(shí)間有關(guān)的性質(zhì)聚合物在荷載作用下，將產(chǎn)生明顯的粘彈性變形，是一種介于彈性和粘性之間的變形行為。若s

＝e

f(t)，則材料為線性粘彈性；若s

≠

e

f(t)，則材料為非線性粘彈性。粘彈性材料：

s

＝

f(e

，t)高分子材料(聚合物)是一種新興的工程材料當(dāng)應(yīng)力保持不變時(shí)，應(yīng)變隨時(shí)間的增加而增加，這種現(xiàn)象稱為蠕變。當(dāng)應(yīng)變保持不變時(shí)，應(yīng)力將隨時(shí)間的增加而減少，這種現(xiàn)象稱為松弛。一般線彈性材料：在較高溫度下也會(huì)出現(xiàn)蠕變和松弛；粘彈性材料：在一般環(huán)境溫度下便會(huì)產(chǎn)生蠕變和松弛，粘彈性材料且應(yīng)力－應(yīng)變－時(shí)間關(guān)系還與溫度有關(guān)。蠕變松弛一、容許應(yīng)力和安全因數(shù)§2-8拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算塑性材料su

＝sS

→→

屈服或出現(xiàn)顯著塑性變形脆性材料su

＝sb

→→

斷裂極限應(yīng)力su材料發(fā)生破壞FNAs

＝工作應(yīng)力＜

su桿件安全①作用在構(gòu)件上的外力常常估計(jì)不準(zhǔn)確；②構(gòu)件的外形與所受的外力往往比較復(fù)雜，進(jìn)行分析時(shí)常常要采用一些簡(jiǎn)化，使得計(jì)算所得的應(yīng)力(工作應(yīng)力)通常都帶有一定程度的近似性；③實(shí)際材料的組成與品質(zhì)等難免存在差異，不能保證構(gòu)件所用的材料與標(biāo)準(zhǔn)試件具有完全相同的力學(xué)性質(zhì)；④其它因素，如桿件的尺寸制造不準(zhǔn)確，加工過(guò)程中桿件受到損傷，桿件長(zhǎng)期使用受到磨損或材料受到腐蝕等等。為了確保安全，構(gòu)件應(yīng)具有適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度儲(chǔ)備。容許應(yīng)力sun[s

]＝n

—安全因數(shù)，由多種因素決定。對(duì)靜荷載問(wèn)題：塑性材料：n

=

1.5～2.0脆性材料：n

=

2.0～2.5P31表2-3二、強(qiáng)度條件和強(qiáng)度計(jì)算拉壓桿的強(qiáng)度條件①校核強(qiáng)度②設(shè)計(jì)截面（選擇截面尺寸）③求容許荷載（確定承載能力）FNAs

max

＝

()

max≤

[s

]等截面桿：FNmaxAs

max

＝≤

[s

]

例1：空心圓截面桿外徑

D＝20

mm，內(nèi)徑

d＝15mm，承受軸向荷載

F＝20

kN

作用，材料的屈服應(yīng)力sS

＝235MPa，安全因數(shù)

n

S＝1.5，試校核桿的強(qiáng)度。FFsmax

＝145.5MPa[s

]

＝156.7MPasmax

＜[s

]桿強(qiáng)度條件滿足！例2：氣動(dòng)夾具如圖所示。已知?dú)飧變?nèi)徑D＝140mm，缸內(nèi)氣壓

p＝0.6MPa，活塞桿的[s

]=80MPa。試設(shè)計(jì)活塞桿的直徑。工件DdpFFd

≥0.01213m取d

＝12mm例3：圖示結(jié)構(gòu)由兩根桿組成。桿AC的截面面積為

450

mm2，桿BC的截面面積為

250

mm2。設(shè)兩桿材料相同，容許拉應(yīng)力均為[s

]=100MPa，求容許荷載[F

]。

P33例2-11FNACFNBC[F

]

＝48.36kN

思考題

：兩端固定的等截面桿受力F作用，已知

l1、l2，求桿端約束力。FDBCl1l2一、超靜定問(wèn)題及其解法靜定問(wèn)題的特點(diǎn)：①未知力——全部由平衡方程求出；A12aaF②變形——自由發(fā)生。AaaFF1F2§2-9拉壓超靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題的特點(diǎn)：①

未知力——不能全部由平衡方程求出；②

變形——受到限制，要滿足協(xié)調(diào)條件。FA123aaAaaFF1F2F3找補(bǔ)充方程

？按變形協(xié)調(diào)條件找！FA123aaD

l1＝

D

l3cosa

變形協(xié)調(diào)條件補(bǔ)充方程＝F3

l3E3

A3F1

l1E1

A1cosaD

l

3內(nèi)力與剛度比值有關(guān)

——

超靜定問(wèn)題的一個(gè)重要特征補(bǔ)充方程①

滿足變形協(xié)調(diào)條件；②

與未知力聯(lián)系起來(lái)。D

l

2D

l

1計(jì)算對(duì)稱FA123aaD

l

3D

l

2D

l

1AaaFF1F2F3返回對(duì)稱作業(yè)：2－18、19

例：圖示結(jié)構(gòu)中，桿1、2的彈性模量均為E，橫截面面積均為A，梁BD為剛體，荷載F=50kN，容許拉應(yīng)力[st]=160MPa，容許壓應(yīng)力[sC]=120MPa，試確定各桿的橫截面面積。O1245°BCDHFlllBCDFllF1F2FByFBx0.5

D

l

2

cos45o＝D

l

1F2

=

4

F1O1245°BCDHFlllD1D

l

2C2D

l

1C20.5

D

l

2D

l

1C1C選

A

＝3.83×10-4m2C1二、裝配應(yīng)力桿件在加工制造時(shí)，有時(shí)尺寸會(huì)產(chǎn)生誤差。對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，在裝配時(shí)不會(huì)在桿內(nèi)引起應(yīng)力，但超靜定結(jié)構(gòu)在裝配后，卻會(huì)由于這種誤差而在桿中產(chǎn)生應(yīng)力，因?yàn)樗羌虞d以前產(chǎn)生的，所以也稱為初應(yīng)力或預(yù)應(yīng)力。這種應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力，例：桿系結(jié)構(gòu)由三根桿組成，3桿在制造時(shí)，其長(zhǎng)度比設(shè)計(jì)長(zhǎng)度