第四章邊界層

第四章邊界層理論基礎(chǔ)

邊界層理論由普朗特1904年

(Prantdl)提出，用于處理高Re數(shù)的流動問題。邊界層理論不但在動量傳遞中非常重要，它還與傳熱、傳質(zhì)過程密切相關(guān)。

本章簡要討論邊界層的概念、邊界層理論的要點以及某些簡單邊界層的求解等問題。

對于某些流動問題，其慣性力>>黏性力。采用理想流體理論簡化處理時，流體的壓力與實驗結(jié)果非常吻合；但流動阻力的結(jié)果偏差很大。Prandtl發(fā)現(xiàn)，其根本原因是：在物體與流體接觸的界面附近的薄層流體內(nèi)，慣性力~黏性力，應(yīng)單獨處理—邊界層理論。為什么要提出邊界層理論？第四章邊界層理論基礎(chǔ)4.1邊界層的概念一、普朗特邊界層理論的要點二、邊界層的形成過程三、邊界層厚度的定義第四章邊界層理論基礎(chǔ)1.當(dāng)流體以高Re流過固體壁面時，由于流體的黏性作用，在壁面上流速降為零；(不“滑脫”)2.在壁面附近區(qū)域存在一極薄的流體層，其內(nèi)速度梯度很大；一、普蘭德邊界層理論的要點δu0u03.在遠(yuǎn)離壁面的流動區(qū)域，其速度梯度幾乎為零，可視其為理想流體的勢流。分為兩個截然不同的區(qū)域邊界層外部流動區(qū)域二、邊界層的形成過程1.平板壁面上的速度邊界層

當(dāng)黏性流體（高Re）在一半無窮平板壁面上流動時，速度邊界層的形成過程見圖：

首先，在壁面附近有一薄層流體，速度梯度很大；在薄層之外，速度梯度很小，可視為零。

壁面附近速度梯度較大的流體層稱為邊界層。邊界層外，速度梯度接近于零的區(qū)稱為外流區(qū)或主流區(qū)。二、邊界層的形成過程x=0xyu0u0u0u0層流邊界層和湍流邊界層

在板前緣附近，邊界層內(nèi)流速較低，為層流邊界層；而后逐漸過渡為湍流邊界層。湍流邊界層分為3層

近壁面的薄層流體為層流內(nèi)層；其次為緩沖層；然后為湍流核心。二、邊界層的形成過程x=0xyu0u0u0u0層流邊界層過渡區(qū)湍流邊界層層流內(nèi)層緩沖層湍流核心臨界距離和臨界雷諾數(shù)：臨界距離xc

由層流邊界層開始轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鬟吔鐚拥木嚯x；平板流動Rex—由平板前沿算起的距離，mu0—主流區(qū)流體流速，m/s

。臨界Rexc二、邊界層的形成過程x=0xyu0u0u0u0xc層流邊界層過渡區(qū)湍流邊界層層流內(nèi)層緩沖層湍流核心2.管內(nèi)邊界層形成過程

黏性流體以u0的流速流進(jìn)管內(nèi),在進(jìn)口附近形成速度邊界層。二、邊界層的形成過程(a)u0較小，在管中心匯合依然為層流邊界層。匯合以后為充分發(fā)展的層流：二、邊界層的形成過程LfriLfri（a）層流邊界層（b）層流與湍流邊界層層流邊界層湍流邊界層(b)u0較大，在匯合之前已發(fā)展為湍流邊界層。匯合以后為充分發(fā)展的湍流；u0u0流動進(jìn)口段—由管進(jìn)口開始至邊界層匯合以前的距離Lf充分發(fā)展的流動—邊界層匯合以后的流動二、邊界層的形成過程管內(nèi)流動雷諾數(shù)d—圓管直徑，m；ub—主體流速，m/s

。Re<2000時，管內(nèi)流動為層流。二、邊界層的形成過程三、邊界層厚度的定義1.平板邊界層厚度δ

2.管內(nèi)邊界層的厚度進(jìn)口段區(qū)匯合后Lf

—進(jìn)口段長度，m；d—管道內(nèi)徑，m；Re—雷諾數(shù)。三、邊界層厚度的定義第四章邊界層理論基礎(chǔ)4.1邊界層的概念4.2普朗特邊界層方程一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)

二、普朗特邊界層方程的解

一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)

u0yx0δ(x)

不可壓縮流體沿平壁作穩(wěn)態(tài)二維層流流動的變化方程：非線性二階偏微分方程uzuur大Re數(shù)下的邊界層流動有兩個重要性質(zhì)：2.

邊界層內(nèi)粘性力與慣性力的量級相同。1.邊界層厚度δ

<<物體特征尺寸x；對平板上流動的變化方程作量階分析：

量階：指物理量在整個區(qū)域內(nèi)相對于標(biāo)準(zhǔn)量階而言的平均水平，不是指該物理量的具體數(shù)值。一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)

取如下兩個標(biāo)準(zhǔn)量階：

（1）取坐標(biāo)x為距離的標(biāo)準(zhǔn)量階，外流速度u0為流速的標(biāo)準(zhǔn)量階，即（2）取邊界層厚度δ為另一個標(biāo)準(zhǔn)量階：

一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)

（1）ux：0→u0，ux=O(1)（2）（3）（4）y：在邊界層的范圍內(nèi)，y由0→δ，

（5）uy：由連續(xù)性方程（6）一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)

（7）11δ11/δ21/δ分析結(jié)果：獲得邊界層流動，流體的粘性要非常低

一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)

1δ

δ

1

δ2

δ1/δ分析結(jié)果：（1）各項的量階均小于或等于（2）y方向的運動方程較次要，可忽略不計。一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)

（3）

沿邊界層法線方向上流體的壓力梯度可忽略，即壓力可穿過邊界層保持不變。根據(jù)理想流體理論，邊界層外部邊界上的壓力分布是確定的。于是邊界層內(nèi)的壓力變成了已知函數(shù)。一、普朗特邊界層方程的推導(dǎo)

二、普朗特邊界層方程的解

普朗特邊界層方程

邊界層外為理想流體的勢流，可用Bernolli方程描述。在流動的同一水平高度上，有

考慮不可壓縮流體沿平板作穩(wěn)態(tài)層流流動的情況。

邊界層內(nèi)：二、普朗特邊界層方程的解

p1p2u0yx0δp3p4流函數(shù)二、普朗特邊界層方程的解

相似變換法求解

令

將流函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闊o量綱形式的流函數(shù)：二、普朗特邊界層方程的解

二、普朗特邊界層方程的解

級數(shù)解：二、普朗特邊界層方程的解

表4-1無量綱流函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

0000.332060.20.006640.066410.331991.00.165570.329790.323015.03.283290.991550.01591二、普朗特邊界層方程的解

邊界層內(nèi)的速度分布

對于給定的位置（x，y）→η，f，f’→ux，uy二、普朗特邊界層方程的解

邊界層厚度

當(dāng)時，壁面的法向距離y即為邊界層厚度，此時二、普朗特邊界層方程的解

局部摩擦曳力系數(shù)

二、普朗特邊界層方程的解

流體流過長度為L、寬度為b的平板壁面的總曳力平均曳力系數(shù)

二、普朗特邊界層方程的解

第四章邊界層理論基礎(chǔ)4.1邊界層的概念4.2普朗特邊界層方程

4.3邊界層積分動量方程

二、平板層流邊界層的近似解

一、邊界層積分動量方程的推導(dǎo)

一、邊界層積分動量方程的推導(dǎo)

普朗特邊界層方程雖然比一般化的奈維—斯托克斯方程簡單，但仍然只有在少數(shù)幾種簡單的流動情形例如平板、楔形物體等才能獲得精確解。工程實際中，許多較復(fù)雜的問題直接求解普蘭德邊界層方程相當(dāng)困難。本節(jié)介紹一種計算量較小、工程上廣泛采用的馮卡門（Karman）提出的積分動量方程法。

基本思想是：在邊界層內(nèi)，選一微分控制體作微分動量衡算，導(dǎo)出一個邊界層積分動量方程；然后用一個只依賴于的單參數(shù)速度剖面近似代替真實速度側(cè)形，將其代入邊界層積分動量方程中積分求解，從而可以得到若干有意義的物理量如邊界層厚度、曳力系數(shù)的表達(dá)式。一、邊界層積分動量方程的推導(dǎo)

在距壁面前緣x處，取一微元控制體

dV=δdx×1（1）yxu0δ0dx1423

將動量守恒原理應(yīng)用于微元控制體dV，得

x方向：（1）一、邊界層積分動量方程的推導(dǎo)

1-2截面：流入3-4截面：流出

一、邊界層積分動量方程的推導(dǎo)

yxu0δ0dx14232-3截面：流入

1-4截面：無對流

一、邊界層積分動量方程的推導(dǎo)

yxu0δ0dx1423

整個微元控制體內(nèi)的凈動量變化速率為流出與流入之差，即（2）一、邊界層積分動量方程的推導(dǎo)

u0yxδ0dx1423

作用在控制體x方向上的力（取x坐標(biāo)方向為正號）①

1-4截面（壁面剪應(yīng)力）②

1-2截面（壓力）：

一、邊界層積分動量方程的推導(dǎo)

yxu0δ0dx1423③

3-4截面（壓力）：④2-3截面（壓力）因該截面與理想流體接壤，故無剪應(yīng)力，僅存在著流體的壓力

一、邊界層積分動量方程的推導(dǎo)

y0xu0δdx1423作用在整個微元控制體上的x方向的合外力為

（3）將式（2）和（3）代入（1）中，得僅沿x方向流動Karman邊界層積分動量方程一、邊界層積分動量方程的推導(dǎo)

適用條件（1）對于層流邊界層和湍流邊界層均適用；（2）可用于曲面物體邊界層。對于平板壁面的層流邊界層，

一、邊界層積分動量方程的推導(dǎo)

二、平板層流邊界層的近似解

平板層流邊界層內(nèi)的速度分布可近似表示為—

待定系數(shù)，由以下B.C.

確定：（1）在y=δ(邊界層外緣）（2）在y=0(壁面處）為何y=0

處滿足上述B.C.？請證明。

采用線性多項式

；

二、平板層流邊界層的近似解

2.采用二次多項式

二、平板層流邊界層的近似解

3.采用三次多項式

二、平板層流邊界層的近似解

4.采用四次多項式

二、平板層流邊界層的近似解

以最常用的三次多項式為例求解平板層流邊界層：積分得二、平板層流邊界層的近似解

聯(lián)立得一階常微分方程

邊界層厚度

二、平板層流邊界層的近似解

局部摩擦曳力系數(shù)

平均曳力系數(shù)二、平板層流邊界層的近似解

平板層流邊界層近似解與精確解的比較

3.460.2891.1555.480.3651.4604.640.3231.2925.830.3431.3725.00.3321.3284.790.3271.310精確解二、平板層流邊界層的近似解

第四章邊界層理論基礎(chǔ)4.1邊界層的概念4.2普蘭德邊界層方程

4.3邊界層積分動量方程

4.4流體在管道進(jìn)口段的流動

管道進(jìn)口段的流動分析

管道進(jìn)口段的流動分析

僅討論進(jìn)口段為層流邊界層的情況：邊界層內(nèi)為二維流動

uzuur

對于不可壓縮流體、穩(wěn)態(tài)流動，由于流動沿管軸對稱

運動方程可簡化為管道進(jìn)口段的流動分析

Langhaar給出的近似解為

式中，I0、I1—分別是第一類修正的貝塞爾函數(shù)（Besselfunction）；r、ri—分別是距管中心的距離坐標(biāo)和管半徑；

管道進(jìn)口段的流動分析

管道進(jìn)口段的流動分析

流動進(jìn)口段長度管道進(jìn)口段的流動分析

第四章邊界層理論基礎(chǔ)4.1邊界層的概念4.2普蘭德邊界層方程

4.3邊界層積分動量方程

4.5邊界層分離與形體曳力

4.4管道進(jìn)口段的流體流動一、邊界層分離的概念二、形成邊界層分離的過程三、邊界層分離的條件

●邊界層分離指原來緊貼壁面運動的邊界層流動在某些條件下,脫離壁面而進(jìn)入外部流場。

●分離出來的流體在物體后面形成尾渦區(qū),從而產(chǎn)生很大的尾部阻力。

●因此有必要研究邊界層為什么會從物面分離,又應(yīng)該如何防止或推遲分離邊界層分離。一、邊界層分離的概念●現(xiàn)以流體繞長圓柱流動為例,考察邊界層分離的大致過程，見圖：二、形成邊界層分離的過程

●當(dāng)粘性流體以大Re繞過圓柱體流動時，由于流體的粘性作用，沿柱體表面的法線上將建立起速度邊界層，并沿流動方向逐漸加厚。

A→B點（上游區(qū)）：邊界層外—勢流：流道截面減小，u↑，p↓邊界層內(nèi)—黏性流：u↑，p↓p推動流體向前流動，一部分轉(zhuǎn)化為動能，其它用于摩擦阻力消耗。順壓區(qū)，①作用＞②黏性力作用流體質(zhì)點沿流動方向，貼壁面向前運動。二、形成邊界層分離的過程B點以后（下游區(qū)）：邊界層外—勢流：流道截面變大，u↓

，

p

↑邊界層內(nèi)—黏性流：u↓，p↑

，p阻止流體向前流動，摩擦阻力阻止流體流動。逆壓區(qū)，①作用+②黏性力作用，二者阻止流體質(zhì)點向前運動。二、形成邊界層分離的過程●在逆壓梯度和摩擦阻力雙重作用下，邊界層內(nèi)流體的流速愈來愈慢，以致于在壁面附近的某一點P處，質(zhì)點的動能消耗殆盡而停滯下來，形成一個新的停滯點P。在P點處，流體速度為零?！裼捎赑點處的壓力較上游壓力大，后繼的流體質(zhì)點因P點處的高壓不能接近該點，被迫脫離壁面和原來的流向向下游流去，造成邊界層脫離壁面—邊界層分離，P點為分離點。二、形成邊界層分離的過程在

●P點下游的壁面區(qū)域形成一個流體的空白區(qū)。在逆壓梯度作用下，必然有倒流的流體來補充。但這些倒流的流體又不能靠近處于高壓下的P點而被迫倒退回來，由此點下游的區(qū)域產(chǎn)生流體的旋渦。二、形成邊界層分離的過程

●邊界層分離是產(chǎn)生形體曳力Fdf的主要原因。由于邊界層分離時產(chǎn)生大量的旋渦，消耗了流體能量?！窳黧w流經(jīng)管件、閥門、管路突然擴(kuò)大與突然縮小以及管路的進(jìn)、出口等局部地方，由于流向的改變和流道的突然變化的原因，都會出現(xiàn)邊界層的分離現(xiàn)象。二、形成邊界層分離的過程三、邊界層分離的條件●外部條件●內(nèi)部條件上述條件稱為：發(fā)生邊界層分離的必要條件。（外部流體具有逆壓性質(zhì)）（流體有粘性）

1.某粘性流體以速度u0

穩(wěn)態(tài)流過平板壁面形成邊界層，在邊界層內(nèi)流體的剪應(yīng)力不隨y

方向變化。

（1）試從適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件出發(fā)，確定邊界層內(nèi)速度分布的表達(dá)式；（2）試從卡門邊界層積分動量方程