初中數學北師大版九年級上冊第一章　特殊平行四邊形（市一等獎）

．菱形的性質與判定第2課時菱形的判定課后作業(yè):方案（B）一、教材題目：P7T1-T31．已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與AD，AC，BC相交于點E，O，F.求證：四邊形AFCE是菱形．(第1題)2．已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F，G，H分別是OA，OB，OC，OD的中點．求證：四邊形EFGH是菱形．(第2題)數學理解3．如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在AD上的點C′處，折痕DE交BC于點E，連接C′E.你能確定四邊形CDC′E的形狀嗎？證明你的結論．(第3題)二、補充題目：部分題目來源于《點撥》6．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點E與點C重合，得△GFC.(1)求證：BE＝DG.(2)若∠B＝60°，當AB與BC滿足什么數量關系時，四邊形ABFG是菱形？證明你的結論．(第6題)(第7題)7．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足為M，AN⊥DC，垂足為N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN.求證：四邊形ABCD是菱形．(第12題)12．如圖，在?ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝eq\r(5).對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F.(1)試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等．(2)證明：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形．(3)在旋轉過程中，四邊形BEDF能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，畫出圖形并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．13．〈湖南婁底〉某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與直角三角板AFE按如圖①所示位置放置，現將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉∠α(0°<∠α<90°)，如圖②，AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，BC與EF交于點P.(1)求證：AM＝AN.(2)當∠α＝30°時，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？說明理由．(第13題)答案教材1．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.∵EF垂直平分AC，∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°.∴△AEO≌△CFO.∴AE＝CF.∴四邊形AFCE是平行四邊形．又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形．2．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA.∵點E，F，G，H分別是OA，OB，OC，OD的中點，∴EF＝eq\f(1,2)AB，FG＝eq\f(1,2)BC，GH＝eq\f(1,2)CD，HE＝eq\f(1,2)DA.∴EF＝FG＝GH＝HE.∴四邊形EFGH是菱形．3．解：四邊形CDC′E是菱形，證明如下：∵AD∥BC，∴∠C′DE＝∠CED.由折疊的性質可知∠C＝∠DC′E，DC＝DC′，EC＝EC′.在△CDE和△C′ED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠DC′E，,∠CED＝∠C′DE，,DE＝ED，))∴△CDE≌△C′ED.∴EC＝DC′.∴EC′＝EC＝DC′＝DC.∴四邊形CDC′E是菱形．點撥6．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD.∵AE是BC邊上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成的．∴AE＝CG，CG⊥AD，∴∠AEB＝∠CGD＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△CDG，∴BE＝DG.(2)解：當BC＝eq\f(3,2)AB時，四邊形ABFG是菱形．證明如下：∵AB∥GF，AG∥BF，∴四邊形ABFG是平行四邊形．在Rt△ABE中，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝eq\f(1,2)AB(直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半)．∵BE＝CF，BC＝eq\f(3,2)AB，∴BF＝BC－FC＝eq\f(3,2)AB－eq\f(1,2)AB＝AB，∴四邊形ABFG是菱形．7．證法一：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BCD＋∠B＝180°.∴AB∥DC.∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D.∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ABM≌Rt△ADN.∴AB＝AD.∴平行四邊形ABCD是菱形．證法二：連接BD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵∠BAD＝∠BCD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.∴AD＝BC.∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴∠ABC＝∠ADC.∵AM＝AN，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ABM≌Rt△ADN.∴AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形．證法三：連接AC.∵AM＝AN，AC＝AC，AM⊥BC，AN⊥DC，∴Rt△ACM≌Rt△ACN.∴∠ACB＝∠ACD.∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴DC＝AD.∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠ACD，∴AB∥DC.∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴平行四邊形ABCD是菱形．12．(1)解：在?ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，∴∠FAO＝∠ECO.在△AOF和△COE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FAO＝∠ECO，,OA＝OC，,∠AOF＝∠COE，))∴△AOF≌△COE，∴AF＝CE.(2)證明：由題意，知∠AOF＝90°(如圖①)．∵AB⊥AC，∴∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠AOF，∴AB∥EF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，即AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形．(第12題)(3)解：當EF⊥BD時，四邊形BEDF是菱形(如圖②)．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC.又∵AF＝CE，∴DF∥BE，DF＝BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形．又∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形．∵AB⊥AC，∴在△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2＋AC2.∵AB＝1，BC＝eq\r(5)，∴AC＝eq\r(BC2－AB2)＝2.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×2＝1.∵在△AOB中，AB＝AO＝1，∠BAO＝90°，∴∠AOB＝45°.∵EF⊥BD，∴∠BOF＝90°，∴∠AOF＝∠BOF－∠AOB＝90°－45°＝45°，即此時AC繞點O順時針旋轉的度數為45°.技巧點撥：技巧1：巧用旋轉到特殊位置猜想(3)的結論；技巧2：巧用證特殊直角三角形求角度．13．(1)證明：∵∠α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，∴∠α＝∠NAF.又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN，∴AM＝AN.(2)解：四邊形ABPF是菱形．理由如下：∵∠α＝30°，∠EAF＝90