第十講：函數(shù)逼近

第五章函數(shù)逼近

/*Approximation*/用函數(shù)集合V(x)中的簡單函數(shù)g(x)來近似代替一個復(fù)雜的已知函數(shù)或一個僅知道有限個函數(shù)值的函數(shù)f(x)，這就是函數(shù)逼近。g(x)稱為逼近函數(shù)，f(x)稱為被逼近函數(shù)。近似一般有兩種衡量標(biāo)準(zhǔn):(a)均勻逼近或一致逼近;(b)平方逼近或均方逼近.一般情況下，V(x)是已知連續(xù)函數(shù)或多項式（代數(shù)多項式或三角多項式）或有理分式函數(shù)等。本章V(x)僅限于代數(shù)多項式?！?.1內(nèi)積與正交多項式/InnerProduct&OrthogonalPolynomial/1.權(quán)函數(shù)/*WeightingFunction*/設(shè)函數(shù)是區(qū)間[a,b]上非負(fù)函數(shù)，如果滿足：1）存在，2）對[a,b]上非負(fù)連續(xù)函數(shù)g(x)，若則必有當(dāng)時，則稱為[a,b]上的權(quán)函數(shù)。2.內(nèi)積/*InnerProduct*/離散情形：連續(xù)情形：3.正交性

/*Orthogonality*/內(nèi)積具有如下性質(zhì)：(4)若時，。(1)；(3)；(2)對任意實數(shù)有；若，則稱與正交。離散情形：函數(shù)系，若有則正交；若,則稱為標(biāo)準(zhǔn)正交系。連續(xù)情形：函數(shù)系，若有則正交；若,則稱為標(biāo)準(zhǔn)正交系。若函數(shù)系中為的i次多項式函數(shù)時，則稱此函數(shù)系為正交多項式系,記為4.范數(shù)

/*Norm*/離散情形：連續(xù)情形：n次正交多項式系：，其中為的不超過i次的多項式。范數(shù)具有如下性質(zhì)：(2)對任意實數(shù)有；(3)；(1)當(dāng)時，，證明:(1)(2)的證明顯然，下面僅給出（3）的證明。因為而所以Cauchy-Schwarz不等式定理2線性無關(guān)函數(shù)組所確定的Gram矩陣是實對稱矩陣。5.正交多項式的性性質(zhì)1（線性無關(guān)性）正交多項式系中任意m個函數(shù)線性無關(guān)（非負(fù)整數(shù)互不相同）。正交函數(shù)系線性無關(guān)的性質(zhì)：定理1函數(shù)系中函數(shù)線性無關(guān)的充要條件為Gram矩陣非奇異，即。性質(zhì)2表示所有次數(shù)不超過n次的代數(shù)多項式集合，則正交多項式函數(shù)是的一組基，且對任何，有性質(zhì)3正交多項式系中的在區(qū)間(a,b)內(nèi)有n個互不相同的根。性質(zhì)4正交多項式系中任何相鄰三項之間有如下關(guān)系其中§5.2常見正交多項式系/FamousOrthogonalPolynomial/2.切比雪夫多項式系/*ChebyshevPolynomials*/1.勒讓德多項式系/*LegendrePolynomials*/3.拉蓋爾多項式系/*LaguerrePolynomials*/4.埃爾米特多項式系/*Hermite

Polynomials*/5.第二類切比雪夫多項式系/*SecondChebyshev

Polynomials*/§5.4最佳平方逼近

/BestSquareApproximation/n次最佳平方逼近多項式

連續(xù)情形：

離散情形：

1.最佳平方逼近的概念/*ConceptofBestSquareApproximation*/n＋１維線性空間生成（或張成）線性空間在連續(xù)情形下，最佳平方逼近函數(shù)的求法

內(nèi)，求系數(shù)，使得多元函數(shù)在生成（或張成）線性空間取得極小值。由可得利用內(nèi)積符號可得則有方程：即就是有正規(guī)方程組或法方程組：由于線性無關(guān)，可得系數(shù)。例求函數(shù)在區(qū)間[0，1]上關(guān)于并且在中的最佳平方逼近。解已知，，設(shè)所求多項式為

則有從而法方程組為解得故2.正交多項式作基函數(shù)的最佳平方逼近

/*ConceptofBestSquareApproximation*/設(shè)為線性空間的一組正交基，即關(guān)于權(quán)函數(shù)有此時正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣變?yōu)閷蔷仃噺亩菀浊蟪鲎罴哑椒奖平瘮?shù)為§5.5曲線擬合的最小二乘法

/BestSquareApproximation/1.曲線擬合問題及其求解

/*ConceptofBestSquareApproximation*/n次最佳平方逼近多項式

連續(xù)情形：

離散情形：

n＋１維線性空間生成（或張成）線性空間曲線擬合的最小二乘解問題實際上就是函數(shù)最佳平方逼近的離散化情形。

離散情形的內(nèi)積定義為：

求，使得

由多元函數(shù)取得極值的必要條件可知：

寫成矩陣的形式為：

采用內(nèi)積的記號有：

此方程組為法方程組或正規(guī)方程組。例已知觀