異方差性及后果

異方差性及后果第一頁(yè)，共十二頁(yè)，2022年，8月28日異方差性的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可寫成自變量xi

的函數(shù)，即

(5.1.3)

§5.2異方差性的后果一、線性和無偏性(5.2.1)

是ui的線性函數(shù)顯然成立第二頁(yè)，共十二頁(yè)，2022年，8月28日由(2.3.7)知α的OLS估計(jì)量為(5.2.2)

是ui的線性函數(shù)顯然成立。(5.2.3)

由(5.2.2)有：(5.2.4)

即異方差并不影響和的無偏性。第三頁(yè)，共十二頁(yè)，2022年，8月28日二、最佳性設(shè)線性模型（一元為例）(5.2.5)

隨機(jī)項(xiàng)ui具有異方差性。為了討論方便不妨設(shè)

(5.2.6)

對(duì)(5.2.5)應(yīng)用OLS法，得參數(shù)β的估計(jì)值(5.2.7)

第四頁(yè)，共十二頁(yè)，2022年，8月28日于是有(5.2.8)

(5.2.8)的結(jié)果是線性模型(5.2.5)具有異方差情況下，參數(shù)β估計(jì)值的方差。用便有估計(jì)值可以證明：u具有異方差時(shí)，參數(shù)的方差失去了最佳性。（參看課本108頁(yè)）第五頁(yè)，共十二頁(yè)，2022年，8月28日

如果存在異方差性而仍然采用OLS估計(jì)參數(shù)β，由于參數(shù)的估計(jì)值的方差并非最小，在對(duì)β進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)時(shí)將低估t值可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的統(tǒng)計(jì)判斷，在對(duì)參數(shù)β進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)就會(huì)不必要地?cái)U(kuò)大置信區(qū)間。甚至統(tǒng)計(jì)量T失去t分布。第六頁(yè)，共十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于多元線性回歸模型若異方差的結(jié)構(gòu)不知道，可以證明有下列估計(jì)式

(5.2.9)

其中第七頁(yè)，共十二頁(yè)，2022年，8月28日式中為xj將對(duì)所有其它自變量作回歸所得到的第i個(gè)殘差；ESSj則為這個(gè)回歸的殘差平方和。(5.2.9)的算術(shù)根稱為的異方差—穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)差(heteroskedasticity-robuststandarderror)。（參看武德263頁(yè)）上式稱為異方差—穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)差（簡(jiǎn)稱穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)差）第八頁(yè)，共十二頁(yè)，2022年，8月28日穩(wěn)健異方差的證明（？）：已知參數(shù)的表達(dá)式：第九頁(yè)，共十二頁(yè)，2022年，8月28日其中分子參數(shù)的表達(dá)式可以寫成形式：第十頁(yè)，共十二頁(yè)，2022年，8月28日方差這里是樣本自變量的函數(shù)，因而是非隨機(jī)變量。當(dāng)ui為等方差時(shí)，第十一頁(yè)，共十二頁(yè)，2022年，8月28日