彈性力學課件第七章空間問題基本理論

彈性力學課件第七章空間問題基本理論第一頁，共九十九頁，2022年，8月28日目錄一、應(yīng)力與應(yīng)力張量二、二維應(yīng)力狀態(tài)與平衡微分方程三、應(yīng)力狀態(tài)的描述四、邊界條件五、主應(yīng)力與應(yīng)力主方向六、應(yīng)力球張量和球應(yīng)力偏張量七、位移與應(yīng)變的基本關(guān)系－幾何方程八、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程九、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系十、彈性力學邊值問題第二頁，共九十九頁，2022年，8月28日一、應(yīng)力與應(yīng)力張量內(nèi)力——外界因素作用下，物體內(nèi)部各個部分之間的相互作用力。附加內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力矢量pn隨截面的法線方向n的方向改變而變化第三頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)力狀態(tài)——一點所有截面應(yīng)力矢量的集合。顯然，彈性體內(nèi)某確定點各個截面的應(yīng)力——應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。應(yīng)力狀態(tài)分析——討論一點截面方位改變引起的應(yīng)力變化趨勢。應(yīng)力狀態(tài)對于結(jié)構(gòu)強度是十分重要的。準確描述應(yīng)力狀態(tài)，合理的應(yīng)力參數(shù)。為了探討各個截面應(yīng)力的變化趨勢，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。第四頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)力矢量沿坐標分解——沒有工程意義正應(yīng)力和切應(yīng)力正應(yīng)力s

n與切應(yīng)力tn

與結(jié)構(gòu)強度關(guān)系密切根據(jù)截面方位不能完全確定切應(yīng)力應(yīng)力分量——應(yīng)力張量應(yīng)力張量可以描述一點應(yīng)力狀態(tài)第五頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)力張量應(yīng)該注意——應(yīng)力分量是標量箭頭僅是說明方向第六頁，共九十九頁，2022年，8月28日二、平衡微分方程平衡物體整體平衡，內(nèi)部任何部分也是平衡的。對于彈性體，必須討論一點的平衡。微分平行六面體單元第七頁，共九十九頁，2022年，8月28日平衡微分方程切應(yīng)力互等定理

第八頁，共九十九頁，2022年，8月28日三、應(yīng)力狀態(tài)如果應(yīng)力張量能夠描述一點的應(yīng)力狀態(tài)，則應(yīng)力張量可以描述其它應(yīng)力參數(shù)；坐標變換與應(yīng)力張量關(guān)系；最大應(yīng)力及其方位的確定。第九頁，共九十九頁，2022年，8月28日公式表明：已知應(yīng)力張量，可以確定任意方位微分面的應(yīng)力矢量。當然可以確定正應(yīng)力s

n與切應(yīng)力tn。應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系第十頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)力不僅隨位置改變而變化，而且隨截面方位改變而變化。同一點由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。討論應(yīng)力分量在坐標變換時的變化規(guī)律。第十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日任意斜截面的應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式——應(yīng)力分量滿足張量變化規(guī)則應(yīng)力張量為二階對稱張量轉(zhuǎn)軸公式表明：新坐標系下的六個應(yīng)力分量可通過原坐標系的應(yīng)力分量確定。應(yīng)力張量可以確定一點的應(yīng)力狀態(tài)。坐標軸轉(zhuǎn)軸后，應(yīng)力分量發(fā)生改變。但是作為整體所描述的應(yīng)力狀態(tài)沒有變化。第十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日平面應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)軸公式——彈性力學以坐標系定義應(yīng)力分量；材料力學以變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量。 正應(yīng)力二者定義沒有差異 而切應(yīng)力定義方向不同第十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日四、邊界條件彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界條件，維持彈性體表面的平衡。邊界面力已知——面力邊界Ss

面力邊界條件——確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。第十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部的平衡。這種平衡只是靜力學可能的平衡。真正處于平衡狀態(tài)的彈性體，還必須滿足變形連續(xù)條件。第十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日位移邊界條件邊界位移已知——位移邊界Su

位移邊界條件就是彈性體表面的變形協(xié)調(diào)彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等

第十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日混合邊界條件彈性體邊界

S＝Ss＋Su部分邊界位移已知——位移邊界Su

部分邊界面力已知——面力邊界Ss不論是面力邊界條件，位移邊界條件，還是混合邊界條件，任意邊界的邊界條件數(shù)必須等于3個。第十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日五、主應(yīng)力與應(yīng)力主方向轉(zhuǎn)軸公式描述了應(yīng)力隨坐標轉(zhuǎn)動的變化規(guī)律結(jié)構(gòu)強度分析需要簡化和有效的參數(shù)——最大正應(yīng)力、最大切應(yīng)力以及方位主應(yīng)力和主平面——應(yīng)力狀態(tài)分析重要參數(shù)應(yīng)力不變量——進一步探討應(yīng)力狀態(tài)第十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日主應(yīng)力和主平面主應(yīng)力分析關(guān)于l，m，n的齊次線性方程組，非零解的條件為方程組的系數(shù)行列式等于零，即展開第十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日其中：主元之和代數(shù)主子式之和應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式主應(yīng)力特征方程第二十頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)力狀態(tài)特征方程——確定彈性體內(nèi)部任意一點主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向。主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標軸的選取無關(guān)。因此，特征方程的根是確定的，即I1、I2、I3的值是不隨坐標軸的改變而變化的。I1、I2、I3

分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二和第三不變量。第二十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日特征方程有三個實數(shù)根s1，s2，s3分別表示這三個根，代表某點三個主應(yīng)力。對于應(yīng)力主方向，將s1，s2，s3分別代入和

l2+m2+n2=1則可求應(yīng)力主方向。第二十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日主應(yīng)力和應(yīng)力主方向取決于結(jié)構(gòu)外力和約束條件，與坐標系無關(guān)。因此特征方程的三個根是確定的。特征方程的三個根，即一點的三個主應(yīng)力均為實數(shù)。根據(jù)三次方程性質(zhì)可以證明。任意一點三個應(yīng)力主方向是相互垂直的——三個應(yīng)力主軸正交的。應(yīng)力不變量性質(zhì)坐標系的改變導致應(yīng)力張量各分量變化，但應(yīng)力狀態(tài)不變。應(yīng)力不變量正是對應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。不變性實數(shù)性正交性第二十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日主應(yīng)力正交性證明：下面證明下述結(jié)論：1.

若s1≠s2≠s3，特征方程無重根；

應(yīng)力主軸必然相互垂直；2.

若s1＝s2≠s3，特征方程有兩重根；

s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3.

若s1=s2=s3，特征方程有三重根；三個應(yīng)力主軸可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是應(yīng)力主軸。第二十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日分別乘以l2，m2，n2

分別乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可得設(shè)s1，s2，s3

的方向分別為（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），則

第二十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日如果

s1≠s2≠s33個應(yīng)力主方向相互垂直如果

s1=s2≠s3可以等于零，也可以不等于零。s3與s1和s2的方向垂直，而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。s3的垂直方向都是s1和s2的應(yīng)力主向。第二十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日如果

s1=s2=s3則

l1l2+m1m2+n1n2

l2l3+m2m3+n2n3 l1l3+m1m3+n1n3

均可為零或者不為零。任何方向都是應(yīng)力主方向。

因此問題可證。1.若s1≠s2≠s3，應(yīng)力主軸必然相互垂直；2.若s1＝s2≠s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1和s2可以是垂直的，也可以不垂直；3.

若s1=s2=s3，任何方向都是應(yīng)力主軸。第二十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日主應(yīng)力是一點所有微分面上最大或最小的正應(yīng)力。主應(yīng)力和主平面分析確定最大正應(yīng)力及其作用方位；最大切應(yīng)力的確定。討論任意截面正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化趨勢——應(yīng)力圓。最大切應(yīng)力以及方位的確定。第二十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日正應(yīng)力和切應(yīng)力分析123應(yīng)力圓最大切應(yīng)力方位第二十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日六、應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量應(yīng)力張量的分解應(yīng)力球量改變單元體體積，應(yīng)力偏量改變單元體形狀。

第三十頁，共九十九頁，2022年，8月28日八面體單元第三十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日七、幾何方程1、變形與應(yīng)變概念由于外部因素——載荷或溫度變化或基礎(chǔ)沉降位移——物體內(nèi)部各點空間位置發(fā)生變化位移形式剛體位移：物體內(nèi)部各點位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對位置不變。變形位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內(nèi)部各個點的相對位置。第三十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日位移u，v，w是單值連續(xù)函數(shù)進一步分析位移函數(shù)具有連續(xù)的三階導數(shù)一點的變形通過微分六面體單元描述微分單元體的變形，分為兩部分討論正應(yīng)變——棱邊的伸長和縮短

切應(yīng)變——棱邊之間夾角（直角）改變第三十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日幾何方程又稱柯西方程微分線段伸長——正應(yīng)變大于零微分線段夾角縮小——切應(yīng)變分量大于零2、幾何方程

位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系第三十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日幾何方程——位移導數(shù)表示的應(yīng)變應(yīng)變描述一點的變形，但還不足以完全描述彈性體的變形原因是沒有考慮單元體位置的改變——單元體的剛體轉(zhuǎn)動

剛性位移可以分解為平動與轉(zhuǎn)動剛性轉(zhuǎn)動——變形位移的一部分，但是不產(chǎn)生變形。第三十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動與協(xié)調(diào)相關(guān)轉(zhuǎn)動矢量描述微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動分量

剛體轉(zhuǎn)動位移增量變形位移增量位移增量是由兩部分組成的第三十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日3、主應(yīng)變與主應(yīng)變方向變形通過應(yīng)變描述應(yīng)變狀態(tài)——坐標變換時，應(yīng)變分量是隨之坐標改變而變化。應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公式應(yīng)變張量第三十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)變張量一旦確定，則任意坐標系下的應(yīng)變分量均可確定。因此應(yīng)變狀態(tài)就完全確定。坐標變換后各應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但作為一個整體，所描述的應(yīng)變狀態(tài)并未改變。主應(yīng)變與應(yīng)變主軸應(yīng)變主軸——切應(yīng)變?yōu)?的方向主應(yīng)變——應(yīng)變主軸方向的正應(yīng)變第三十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)變狀態(tài)特征方程l，m，n齊次線性方程組非零解的條件為方程系數(shù)行列式的值為零

展開主應(yīng)變確定 ——應(yīng)變主軸方向變形第三十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日4、應(yīng)變不變量第一，第二和第三應(yīng)變不變量一點的應(yīng)變狀態(tài)與坐標系選取無關(guān)，因此坐標變換不影響應(yīng)變狀態(tài)是確定的。應(yīng)變不變量就是應(yīng)變狀態(tài)性質(zhì)的表現(xiàn)第四十頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)力張量——應(yīng)變張量應(yīng)力不變量——應(yīng)變不變量主應(yīng)變和應(yīng)變主軸與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的特性類似各向同性材料，應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸是重合的公式比較第四十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日5、體積應(yīng)變——彈性體一點體積的改變量引入體積應(yīng)變有助于簡化公式解釋第四十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日八、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程數(shù)學意義：使3個位移為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾。幾何方程——6個應(yīng)變分量通過3個位移分量描述力學意義——變形連續(xù)彈性體任意一點的變形必須受到其相鄰單元體變形的約束第四十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日例3-1設(shè)ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求其位移。解：顯然該應(yīng)變分量沒有對應(yīng)的位移。要使這一方程組不矛盾，則六個應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這一條件。

第四十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日將幾何方程的四，五，六式分別對z，x，y求一階偏導數(shù)前后兩式相加并減去中間一式，則要使幾何方程求解位移時方程組不矛盾，則六個應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。從幾何方程中消去位移分量，第一式和第二式分別對y和

x求二階偏導數(shù)，然后相加可得第四十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日對x求一階偏導數(shù)，則

分別輪換x,y,z，則可得如下六個關(guān)系式

將幾何方程的四，五，六式分別對z，x，y求一階偏導數(shù)前后兩式相加并減去中間一式，則第四十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)變協(xié)調(diào)方程——圣維南（SaintVenant）方程

第四十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學意義使3個位移為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾。變形協(xié)調(diào)方程的物理意義物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。為使變形后的物體保持連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系。

第四十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日證明——應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是變形連續(xù)的必要和充分條件。變形連續(xù)的物理意義，反映在數(shù)學上則要求位移分量為單值連續(xù)函數(shù)。目標——如果應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則對于單連通域，就可以通過幾何方程積分求得單值連續(xù)的位移分量。利用位移和轉(zhuǎn)動分量的全微分，則輪換x,y,z，可得du，dv和dwy，dwz

第四十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日如通過積分，計算出

是單值連續(xù)的，則問題可證。

保證單值連續(xù)的條件是積分與積分路徑無關(guān)第五十頁，共九十九頁，2022年，8月28日根據(jù)格林公式回代第五十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日回代到第四式

wx單值連續(xù)的必要與充分條件是

同理討論wy，wz的單值連續(xù)條件，可得其它4式——變形協(xié)調(diào)方程。由此可證變形協(xié)調(diào)方程是單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件。

第五十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日變形協(xié)調(diào)方程——單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件多連通域位移單值連續(xù)的必要條件充分條件是位移的連續(xù)補充條件第五十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日位移邊界條件應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)方程，保證彈性體內(nèi)部的變形單值連續(xù)。邊界變形協(xié)調(diào)要求邊界位移滿足位移邊界條件。位移邊界條件——臨近表面的位移或和變形與已知邊界位移或變形相等。第五十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日如果物體表面的位移已知，稱為位移邊界位移邊界用Su表示。如果物體表面的位移已知邊界條件為稱為位移邊界條件第五十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日設(shè)物體表面為S位移已知邊界Su面力已知邊界Ss則S＝Su＋Ss彈性體的整個邊界，是由面力邊界和位移邊界構(gòu)成的。任意一段邊界，可以是面力邊界，或者位移邊界。面力邊界和位移邊界在一定條件下是可以轉(zhuǎn)換的，例如靜定問題。第五十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日某某些問題，邊界部分位移已知，另一部分面力已知，這種邊界條件稱為混合邊界條件。不論是面力邊界條件，位移邊界條件，還是混合邊界條件，彈性體任意邊界的邊界條件數(shù)目不能超過或者少于3個，必須等于3個。第五十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日九、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系靜力平衡和幾何變形通過具體物體的材料性質(zhì)相聯(lián)系材料的應(yīng)力應(yīng)變的內(nèi)在聯(lián)系材料固有特性，因此稱為物理方程或者本構(gòu)關(guān)系第五十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日1、廣義胡克定義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系屬于材料性能稱為物理方程或者本構(gòu)方程單向拉伸或者扭轉(zhuǎn)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以通過實驗確定復雜應(yīng)力狀態(tài)難以通過實驗確定第五十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日廣義胡克定理——材料應(yīng)力應(yīng)變一般關(guān)系工程材料，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系受到一定的限制一般金屬材料為各向同性材料復合材料在工程中的應(yīng)用日益廣泛第六十頁，共九十九頁，2022年，8月28日彈性體變形過程的功與能外力作用——彈性體變形——變形過程外力作功——彈性體內(nèi)的能量也發(fā)生變化能量守恒是一個物理學重要原理利用能量原理可以使得問題分析簡化能量原理的推導是多樣的，本節(jié)使用熱力學原理推導。第六十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日根據(jù)熱力學概念絕熱過程格林公式等溫過程彈性體的應(yīng)變能函數(shù)表達式內(nèi)能等于應(yīng)變能第六十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日——金屬材料完全各向異性彈性對稱面一個彈性對稱面21個彈性常數(shù)13個彈性常數(shù)工程材料各向同性材料各向異性材料第六十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日兩個彈性對稱面9個彈性常數(shù)相互垂直的3個平面中有兩個彈性對稱面，第三個必為彈性對稱面拉壓與剪切變形不同平面內(nèi)的剪切之間沒有耦合作用稱為正交各向異性

正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有關(guān)；切應(yīng)力僅與對應(yīng)的切應(yīng)變有關(guān)。第六十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日各向同性彈性體物理意義——物體各個方向上的彈性性質(zhì)完全相同，即物理性質(zhì)的完全對稱。數(shù)學反映——應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系在所有方位不同的坐標系中都一樣。金屬材料——各向同性彈性體，是最常見的工程材料。彈性力學主要討論各向同性材料。第六十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日根據(jù)正交各向異性本構(gòu)關(guān)系1）各向同性材料沿x，y和z座標軸的的彈性性質(zhì)相同；2）彈性性質(zhì)與座標軸的任意變換方位也無關(guān)

各向同性材料廣義胡克（Hooke）定理l,m稱為拉梅（Lame）彈性常數(shù)第六十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)力表示本構(gòu)方程E為彈性模量G為剪切彈性模量v為橫向變形系數(shù)——泊松比2、拉梅常量與工程彈性常數(shù)第六十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日楊泊松第六十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日工程彈性常數(shù)與拉梅彈性常數(shù)之間的關(guān)系為兩個獨立的彈性常數(shù)實驗測定：單向拉伸實驗可以測出彈性模量E薄壁管扭轉(zhuǎn)實驗可以測定剪切彈性模量G第六十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日各向同性材料主應(yīng)力狀態(tài)——對應(yīng)的切應(yīng)力分量均為零。 所有的切應(yīng)變分量也為零。所以，各向同性彈性體

應(yīng)力主軸同時又是應(yīng)變主軸 應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向是重合的

以應(yīng)力主軸為坐標軸，則對應(yīng)的切應(yīng)力分量均應(yīng)為零。第七十頁，共九十九頁，2022年，8月28日3、彈性體的應(yīng)變能函數(shù)應(yīng)變表示的應(yīng)變能函數(shù)應(yīng)變能第七十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)力表示的應(yīng)變能函數(shù)泊松比n恒小于1，所以U0恒大于零。單位體積的應(yīng)變能總是正的。

第七十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日第五章彈性力學邊值問題本章任務(wù)總結(jié)對彈性力學基本方程討論求解彈性力學問題的方法第七十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日目錄§10.1彈性力學基本方程§10.2問題的提法§10.3彈性力學問題的基本解法解的唯一性§10.4圣維南局部影響原理§10.5疊加原理第七十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日§10.1

彈性力學基本方程總結(jié)彈性力學基本理論；討論已知物理量、基本未知量；以及物理量之間的關(guān)系——基本方程和邊界條件。第七十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日彈性力學基本方程1.平衡微分方程2.幾何方程

第七十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日3.變形協(xié)調(diào)方程位移作為基本未知量時，變形協(xié)調(diào)方程自然滿足。第七十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日本構(gòu)方程——廣義胡克定律 應(yīng)力表示

應(yīng)變表示

基本方程：平衡微分方程；幾何方程和本構(gòu)方程以及變形協(xié)調(diào)方程。第七十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日邊界條件若物體表面的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz已知則面力邊界條件為：若物體表面的位移已知，則位移邊界條件為

若物體部分表面面力和部分表面位移已知，則為混合邊界條件第七十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日

總結(jié)：彈性力學基本方程和邊界條件第八十頁，共九十九頁，2022年，8月28日彈性力學的任務(wù)就是在給定的邊界條件下，就十五個未知量求解十五個基本方程。求解彈性力學問題時，并不需要同時求解十五個基本未知量，可以做必要的簡化。為簡化求解的難度，僅選取部分未知量作為基本未知量?！?0.2

問題的提法第八十一頁，共九十九頁，2022年，8月28日在給定的邊界條件下，求解偏微分方程組的問題，數(shù)學上稱為偏微分方程的邊值問題。按照不同的邊界條件，彈性力學有三類邊值問題。第一類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力和其表面的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz，邊界條件為面力邊界條件。第二類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量以及表面的位移分量，邊界條件為位移邊界條件。第八十二頁，共九十九頁，2022年，8月28日第三類邊值問題：已知彈性體內(nèi)的體力分量，以及物體表面的部分位移分量和部分面力分量，邊界條件在面力已知的部分，為面力邊界條件，位移已知的部分為位移邊界條件。稱為混合邊界條件。以上三類邊值問題，代表了一些簡化的實際工程問題。若不考慮物體的剛體位移，則三類邊值問題的解是唯一的。第八十三頁，共九十九頁，2022年，8月28日位移解法

——以位移函數(shù)作為基本未知量應(yīng)力解法

——以應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量混合解法

——以部分位移和部分應(yīng)力分量作為基本未知量第八十四頁，共九十九頁，2022年，8月28日§10.3

彈性力學問題基本解法解的唯一性選取位移函數(shù)作為基本未知量求解的方法稱為位移解法。主要工作：利用位移函數(shù)u,v,w表達其他未知量；推導位移函數(shù)描述的基本方程——位移表達的平衡微分方程第八十五頁，共九十九頁，2022年，8月28日位移解法的基本未知量為3個位移函數(shù)基本方程為3個拉梅方程對于位移邊界條件，位移解法是十分的合適的。第八十六頁，共九十九頁，2022年，8月28日但是位移函數(shù)表達的面力邊界條件十分繁雜這一邊界條件幾乎不可能實現(xiàn)

第八十七頁，共九十九頁，2022年，8月28日總之，位移解法以位移為基本未知函數(shù)，歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。位移分量求解后，可通過幾何方程和物理方程求出相應(yīng)的應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。

第八十八頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)力函數(shù)作為基本未知量求解的方法稱為應(yīng)力解法應(yīng)力解法的基本方程

1.平衡微分方程

2.變形協(xié)調(diào)方程應(yīng)力解法綜述第八十九頁，共九十九頁，2022年，8月28日應(yīng)力解法的基本未知量為6個應(yīng)力分量；基本方程為3個平衡微分方程和6個變形協(xié)調(diào)方程。應(yīng)力解法適