彈性力學(xué)空間問題基本理論

彈性力學(xué)空間問題基本理論第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論第七章空間問題的基本理論

在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個，且均為x,y,z的函數(shù)。

空間問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此，許多問題可以從平面問題推廣得到。

第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件:

(a)(b)平衡條件§7-1平衡微分方程第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

由x軸向投影的平衡微分方程

,

平衡微分方程得

因?yàn)閤,y,z軸互相垂直，均為定向，量綱均為L，所以x,y,z

坐標(biāo)具有對等性，其方程也必然具有對等性。因此，式(a)的其余兩式可通過式(c)的坐標(biāo)輪換得到。第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

由3個力矩方程得到3個切應(yīng)力互等定理，，，(x,y,z)。(d)

空間問題的平衡微分方程精確到三階微量平衡微分方程第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論思考題

在圖中，若點(diǎn)o的x向正應(yīng)力分量為，試表示點(diǎn)A,B的x向正應(yīng)力分量。第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標(biāo)的應(yīng)力分量…

…，來求出斜面(法線為

）上的應(yīng)力。斜面應(yīng)力§7-2物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

斜面的全應(yīng)力p可表示為兩種分量形式：p沿坐標(biāo)向分量:p沿法向和切向分量:斜面應(yīng)力第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds,則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。

由四面體的平衡條件，得出坐標(biāo)向的應(yīng)力分量,1.

求第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論2.

求將向法向投影，即得得由第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

從式(b)、(c)可見,當(dāng)六個坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量確定之后，任一斜面上的應(yīng)力也就完全確定了。第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

設(shè)在邊界上，給定了面力分量則可將微分四面體移動到邊界點(diǎn)上，并使斜面與邊界重合。斜面應(yīng)力分量應(yīng)代之為面力分量，從而得出空間問題的應(yīng)力邊界條件:3.

在上的應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

式(d)只用于邊界點(diǎn)上，表示邊界面上的面力與坐標(biāo)面的應(yīng)力之間的關(guān)系，所以必須將邊界面方程代入式(d)。

式(b),(c)用于V內(nèi)任一點(diǎn)，表示斜面應(yīng)力與坐標(biāo)面應(yīng)力之間的關(guān)系；注意:

第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論1.假設(shè)面(l,m,n)為主面，則此斜面上斜面上沿坐標(biāo)向的應(yīng)力分量為：斜面應(yīng)力§7-3主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力代入,得到：第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論考慮方向余弦關(guān)系式，有

結(jié)論：式(a),(b)是求主應(yīng)力及其方向余弦的方程。(b)第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論2.求主應(yīng)力

將式(a)改寫為：求主應(yīng)力第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

上式是求解l,m,n的齊次代數(shù)方程。由于l,m,n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得展開，即得求主應(yīng)力的方程,求主應(yīng)力(c)第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論3.應(yīng)力主向

設(shè)主應(yīng)力的主向?yàn)?。代入?a)中的前兩式，整理后得應(yīng)力主向第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論由上兩式解出。然后由式(b)得出應(yīng)力主向再求出及。4.一點(diǎn)至少存在著三個互相垂直的主應(yīng)力（證明見書上）。第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論5.應(yīng)力不變量

若從式(c)求出三個主應(yīng)力，則式(c)也可以用根式方程表示為，

因式(c)和(f

)是等價的方程，故的各冪次系數(shù)應(yīng)相等，從而得出：應(yīng)力不變量第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論(g)應(yīng)力不變量第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

所以分別稱為第一、二、三應(yīng)力不變量。這些不變量常用于塑性力學(xué)之中。

式(g)中的各式，左邊是不隨坐標(biāo)選擇而變的；而右邊各項(xiàng)雖與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標(biāo)選擇無關(guān)。第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論6.關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：6個坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。只要6個坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量確定了，則通過此點(diǎn)的任何面上的應(yīng)力也完全確定并可求出。(2)一點(diǎn)存在著3個互相垂直的應(yīng)力主面及主應(yīng)力。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論(3)3個主應(yīng)力包含了此點(diǎn)的最大和最小正應(yīng)力。(4)一點(diǎn)存在3個應(yīng)力不變量(5)最大和最小切應(yīng)力為，作用于通過中間主應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng)力的夾角”的平面上。

設(shè)第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論思考題1.試考慮：對于平面問題若則此點(diǎn)所有的正應(yīng)力均為,切應(yīng)力均為0，即存在無數(shù)多的主應(yīng)力。2.試考慮：對于空間問題若則此點(diǎn)所有的正應(yīng)力均為,切應(yīng)力均為0，即存在無數(shù)多的主應(yīng)力。第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

空間問題的幾何方程，可以從平面問題推廣得出：

(a)幾何方程§7-4幾何方程及物理方程第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系：⑴若位移確定，則形變完全確定。幾何方程

從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確定的，故形變完全確定。第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論--沿x,y,z向的剛體平移；⑵若形變確定，則位移不完全確定。

由形變求位移，要通過積分，會出現(xiàn)待定的函數(shù)。若，還存在對應(yīng)的位移分量，為：

(b)幾何方程--繞x,y,z軸的剛體轉(zhuǎn)動。第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

若在邊界上給定了約束位移分量，則空間問題的位移邊界條件為：(c)位移邊界條件第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論(d)

其中由于小變形假定，略去了形變的2、3次冪。體積應(yīng)變體積應(yīng)變定義為：

第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論空間問題的物理方程

⑴應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按應(yīng)力求解方法：(x,y,z).(e)物理方程可表示為兩種形式：第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論⑵應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按位移求解方法：(x,y,z).(f)由物理方程可以導(dǎo)出（g）

是第一應(yīng)力不變量，又稱為體積應(yīng)力。--稱為體積模量。第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

空間問題的應(yīng)力，形變，位移等15個未知函數(shù)，它們都是(x,y,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個平衡微分方程，6個幾何方程及6個物理方程，并在邊界上滿足3個應(yīng)力或位移的邊界條件。結(jié)論：結(jié)論第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論思考題

若形變分量為零，試導(dǎo)出對應(yīng)的位移分量。

第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

空間軸對稱問題

采用柱坐標(biāo)表示。軸對稱問題

如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對稱，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對稱的?！?-5軸對稱問題的基本方程第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

對于空間軸對稱問題：應(yīng)力中只有(a)形變中只有位移中只有軸對稱問題所有物理量僅為(ρ,z)的函數(shù)。第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論而由得出為。平衡微分方程：第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

幾何方程：其中幾何方程為第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論

應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論邊界條件：

一般用柱坐標(biāo)表示時，邊界面均為坐標(biāo)面。所以邊界條件也十分簡單。

在柱坐標(biāo)中，坐標(biāo)分量的量綱、方向性、坐標(biāo)線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對等性。第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論思考題

試由空間軸對稱問題的基本方程，簡化導(dǎo)出平面軸對稱問題的基本方程。

第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論第七章例題例題1例題2例題3例題第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論例題1設(shè)物體的邊界面方程為

試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的分布拉力應(yīng)力邊界條件是什么形式？第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論（x,

y,

z)，其中解：當(dāng)物體的邊界面方程為

時，它的表面法線的方向余弦為第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論當(dāng)面力為法向分布拉力q時，(x,y,z).因此，應(yīng)力邊界條件為代入應(yīng)力邊界條件，得(x,y,z).第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論例題2

試求圖示空間彈性體中的應(yīng)力分量。(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布壓力q作用，設(shè)剛性體與彈性體之間無摩擦力。(b)半無限大空間體，其表面受均布壓力q的作用。第四十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論qqooxxzz第四十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日第七章空間問題的基本理論解：圖示的(a),(b)兩問題是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是相同的，即