彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的建立

彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的建立第一頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日第五章彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的建立5.1彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程5.2彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法5.3以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程―拉梅（Lame）方程5.4圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程第二頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的建立在前幾章中我們介紹了彈性動(dòng)力學(xué)的基本假設(shè)，分別研究了應(yīng)力、應(yīng)變及應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，得出了應(yīng)力與位移，應(yīng)變與位移及應(yīng)力與應(yīng)變之間分別滿足的平衡或運(yùn)動(dòng)微分方程，幾何方程以及物理方程（本構(gòu)方程，廣義虎克定律）。本章研究如何求解具體彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，包括：(1)說(shuō)明彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程，進(jìn)而明確彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法；(2)闡明解決彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的途徑，并建立相應(yīng)的方程。第三頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日前面討論中，主要討論彈性靜力學(xué)問(wèn)題，即假定彈性體的任一微小部分始終處于靜力平衡狀態(tài)，位移，應(yīng)變和應(yīng)力只是位置函數(shù)，不隨時(shí)間變化（運(yùn)動(dòng)微分方程考慮了時(shí)間）。在彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的位移，應(yīng)變和應(yīng)力一般還隨時(shí)間變化，因而，它們不僅是位置的函數(shù)，也是時(shí)間的函數(shù)。彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程但只要彈性動(dòng)力學(xué)仍采用理想彈性體，微小位移和和自然狀態(tài)假定，則針對(duì)彈性靜力學(xué)建立的幾何方程和物理方程都可運(yùn)用于彈性動(dòng)力學(xué)的任何一瞬間，形式上無(wú)須作任何改變，只需將平衡方程用運(yùn)動(dòng)方程來(lái)代替。第四頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，15個(gè)基本方程為：（1）運(yùn)動(dòng)微分方程（應(yīng)力與位移關(guān)系，3個(gè)）彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程(5-1)第五頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程（2）幾何方程（應(yīng)變與位移關(guān)系，6個(gè)）(5-2)第六頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程（3）物理方程（應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系，6個(gè)）(5-3)a（a）用應(yīng)變表示應(yīng)力第七頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程（3）物理方程（應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系，6個(gè)）(5-3)b（b）用應(yīng)力表示應(yīng)變第八頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程上述15個(gè)基本方程可求解15個(gè)未知數(shù):即位移分量,六個(gè)應(yīng)變分量和六個(gè)應(yīng)力分量。這15個(gè)方程稱為以直角坐標(biāo)表示的彈性動(dòng)力學(xué)基本方程。第九頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法求解彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，只有上述基本方程是不夠的，因?yàn)榛痉匠讨皇欠从澄矬w的內(nèi)部位移，應(yīng)變和應(yīng)力之間的相互關(guān)系，而對(duì)特定具體問(wèn)題還必須考慮相應(yīng)的初始和邊界條件。第十頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日1、初始條件給出彈性體內(nèi)各個(gè)點(diǎn)在時(shí)間時(shí)位移分量和速度分量，即:(5-8)彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法第十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日2、邊界條件

彈性力學(xué)問(wèn)題的邊界條件有三種情況：（1）給出彈性體全部表面的面力分量，此時(shí)邊界條件由應(yīng)力邊界條件表示，應(yīng)力分量由力的邊界條件公式給出。彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法第十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法（2）給出彈性體全部表面的位移分量，此時(shí)邊界條件由位移邊界條件表示，邊界上位移與給定的位移相等，即由位移公式式給出。（3）混合邊界條件，在彈性體一部分表面上給出了面力分量，而另一部分給出了位移分量。第十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法總之，彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程一般是控制彈性體內(nèi)部的位移，應(yīng)變和應(yīng)力之間相互聯(lián)系的普遍規(guī)律，而定解條件（初始和邊界條件）具體給出了每一個(gè)邊值—初值問(wèn)題的特定規(guī)律。此外，在彈性波傳播問(wèn)題中，介質(zhì)分界面處應(yīng)力和位移連續(xù)。第十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日3、彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題嚴(yán)格且完整的提法

已知：a、彈性體的形狀和尺寸，彈性體的物理性質(zhì)（彈性和慣性）；b、作用于彈性體上的體力；c、邊界條件；d、初始條件。彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法應(yīng)用15個(gè)基本方程求出初始瞬時(shí)（通常）時(shí)刻以后任一瞬時(shí)刻彈性體中各點(diǎn)的位移，應(yīng)變和應(yīng)力。第十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日4、彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的簡(jiǎn)化及解題方法在解決彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，15個(gè)基本方程可以綜合簡(jiǎn)化，因?yàn)檫@些方程中，并非每個(gè)方程中都包括所有的未知函數(shù)，可以將其中一部分未知函數(shù)選作“基本未知函數(shù)”，先求出它們，然后再由它們求出其它未知數(shù)。彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法第十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日以應(yīng)力為“基本未知數(shù)”的解題方法稱應(yīng)力法，以位移為“基本未知數(shù)”的解題方法稱位移法。相應(yīng)地簡(jiǎn)化15個(gè)基本方程，分別導(dǎo)出應(yīng)力滿足的微分方程或位移滿足的微分方程，以及它們相應(yīng)的邊界條件。在一定的邊界條件和初始條件下，按選取的解題方法，求出其相應(yīng)的微分方程的解，也就是滿足全部基本方程。彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法第十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日（1）應(yīng)力法取物體內(nèi)點(diǎn)的應(yīng)力分量為基本未知量，先解出三個(gè)應(yīng)力分量，再求相應(yīng)的應(yīng)變及位移，多用于彈性靜力學(xué)問(wèn)題。彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法第十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法（2）位移法取物體內(nèi)點(diǎn)的位移為基本未知量，將各個(gè)方程中的應(yīng)力和應(yīng)變都用位移表示，先解出三個(gè)位移分量表達(dá)式，有了位移，就可以進(jìn)一步求出應(yīng)變和應(yīng)力。在地震波動(dòng)力學(xué)中，往往只需要求出位移就夠了。基本做法：第十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法①利用幾何方程（應(yīng)變—位移），將物理方程中應(yīng)變消去，即將應(yīng)變用位移表示，物理方程變?yōu)閼?yīng)力與位移關(guān)系，這樣從這12個(gè)方程中去掉6個(gè)方程，得到應(yīng)力—位移關(guān)系方程，將其代入運(yùn)動(dòng)微分方程中得到以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程（拉梅Lame方程）。第二十頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的提法②解位移形式的拉梅方程，求出位移分量，當(dāng)然求解過(guò)程中要用到初始條件和由位移表示的邊界條件。③求出位移后，按幾何方程求出應(yīng)變，代入物理方程中，再求出應(yīng)力表達(dá)式。第二十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程―拉梅（Lame）方程1、Lame方程推導(dǎo)

首先將幾何方程式代入物理方程a，得：(5-9)第二十二頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程―拉梅（Lame）方程(5-10)再將式(5-9)代入運(yùn)動(dòng)微分方程(5-1)中，整理得:上式中，為拉普拉斯算子。第二十三頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程―拉梅（Lame）方程上式就是以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程，稱為拉梅（Lame）方程。分別乘以，并由，上式寫成矢量形式，得：(5-11)式中：第二十四頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程―拉梅（Lame）方程2、以位移分量表示的力的邊界條件若彈性體表面處的位移給定，則可通過(guò)位移邊界條件給出力的邊界條件。若彈性體表面處面力給定，則取(5-12)第二十五頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程―拉梅（Lame）方程等號(hào)右端用位移表示，才能用拉梅方程定解。將(5-9)代入(5-12)式即可得到：(5-13)其中第二十六頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程―拉梅（Lame）方程3、彈性動(dòng)力學(xué)解的唯一性彈性動(dòng)力學(xué)解的唯一性可表述為：若彈性體受已知體力作用，在物體表面處，或者面力已知，或者位移已知；此外，初始條件已知，則彈性體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量，應(yīng)變分量與位移分量均是唯一的。第二十七頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程―拉梅（Lame）方程彈性動(dòng)力學(xué)的唯一定理，為彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題常用的逆解法和半逆解法提供一個(gè)理論依據(jù)。逆解法和半逆解法也稱試湊法。如果試湊得不到真正的解，也會(huì)逐次逼近，得到比前次更為精確的近似解。此外還有變分法、數(shù)值方法求近似解，數(shù)值方法中有限差分和有限元法已在地震勘探中廣泛應(yīng)用。第二十八頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程1、圓柱坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)微分方程―拉梅（Lame）方程

也是在15個(gè)基本方程中消去應(yīng)力和應(yīng)變分量，得到圓柱坐標(biāo)中以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程(5-14)第二十九頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程(5-14)式中分別為沿方向的位移分量，而體積應(yīng)變和轉(zhuǎn)動(dòng)分量為：第三十頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程2、球?qū)ΨQ問(wèn)題

（1）運(yùn)動(dòng)微分方程（2）幾何方程(a)(b)第三十一頁(yè)，共三十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下以位移表示的運(yùn)動(dòng)微分方程（3）物理方程(c)將（b）式代人（c）