化工問題的建模與數(shù)學(xué)分析方法化工數(shù)學(xué)2課件

化工問題的建模 與數(shù)學(xué)分析方法——ModellingandAnalyticalMethodsforProblemsinChemicalEngineering第二章常微分方程

1、二階線性常系數(shù)方程的解法2、二階變系數(shù)方程的級數(shù)解法3、一階微分方程組的矩陣解法4、穩(wěn)定性問題分析第二章常微分方程——二階常系數(shù)方程一、二階常系數(shù)方程的解法

1。齊次方程通解 設(shè)

得第二章常微分方程——二階變系數(shù)方程二、二階變系數(shù)方程的解法1、級數(shù)解法

廣義冪級數(shù)

代入方程，比較系數(shù)法確定參數(shù)c和

an

第二章常微分方程——二階變系數(shù)方程 設(shè)

代入，得

第二章常微分方程——二階變系數(shù)方程首項xc的系數(shù)為0——指標(biāo)方程第n項xn+c的系數(shù)為0

——遞推公式

第二章常微分方程——二階變系數(shù)方程2。Bessel方程及其級數(shù)解

稱為k階Bessel方程。采用冪級數(shù)解法，得首項系數(shù)為0的指標(biāo)方程

第二章常微分方程——二階變系數(shù)方程遞推公式

第一解

第二章常微分方程——二階變系數(shù)方程第二解分為以下三種情況

i)k為分數(shù)

ii)k=0

第二章常微分方程——二階變系數(shù)方程iii)k為整數(shù)

第二章常微分方程——二階變系數(shù)方程

3、Legendre方程與Legendre函數(shù) 設(shè)

代入，得

第二章常微分方程——二階變系數(shù)方程遞推公式 根據(jù)冪級數(shù)收斂判別法知，在x=±1處級數(shù)發(fā)散，但物理上函數(shù)又是有界的，因此只有參數(shù)l取整數(shù)才能保證級數(shù)在x=±1處收斂，此時級數(shù)成為Legendre多項式

第二章常微分方程——一階常系數(shù)方程組三、一階常系數(shù)方程組的矩陣解法

齊次方程

第二章常微分方程——一階常系數(shù)方程組設(shè)代入方程得 從中可解出n個特征根和特征向量，構(gòu)成基解矩陣第二章常微分方程——一階常系數(shù)方程組通解或

y=Yc 常數(shù)c由初始條件確定

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析 流動的穩(wěn)定性——雷諾實驗、圓柱型水流 反應(yīng)器的熱穩(wěn)定性——飛溫與熄火 平行平板間的熱對流穩(wěn)定性——Benard現(xiàn)象 壓桿、板殼的屈曲穩(wěn)定性穩(wěn)定性分析方法 線性穩(wěn)定性分析：小擾動的線性化動態(tài)分析，獲得失穩(wěn)判據(jù)。 非線性穩(wěn)定性理論：分叉、混沌，非線性科學(xué)問題。

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析1、線性穩(wěn)定性分析方法 目的——獲取失穩(wěn)判據(jù)； 方法——穩(wěn)態(tài)附近對小擾動線性展開，由特征根確定非線性動力系統(tǒng) 定常態(tài)f(ys)=0

設(shè)x(t)為小擾動，令

y(t)=ys+x(t)

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析代入原方程，泰勒展開，保留線性項通解穩(wěn)定性判別

若A的特征根都是負的，則零解是漸近穩(wěn)定的；若至少有一個根的是正的，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若都為零，則不定。

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析Routh－Hurwitz判定行列式

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析Routh指出，若采用如下的判定函數(shù)RiR0=△0,R1=△1,R2=△2

/△1,…,Rn

=△n

/△n-1=an則當(dāng)所有的判定函數(shù)為正值時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。Hurwitz則證明了以下定理：實系數(shù)的n次代數(shù)方程的一切根的實部都是負數(shù)的充分必要條件是所有判定行列式均大于0。

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析3）tr2－4<0，tr0

：1，2

為復(fù)數(shù)，穩(wěn)態(tài)點振蕩焦點4）tr

＝0，>0，1，2都是純虛數(shù)

穩(wěn)態(tài)點為中心點

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析3、化學(xué)反應(yīng)器的熱穩(wěn)定性

取 x=cA－cAs,y=T－Ts

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析將反應(yīng)項與移熱項線性展開特征根方程

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析漸近穩(wěn)定性條件