初中數(shù)學浙教版九年級上冊第3章　圓的基本性質3．7　正多邊形 省賽獲獎

3．7正多邊形1．正多邊形的中心角(即正多邊形的相鄰兩個頂點與它的中心的連線的夾角)與該正多邊形一個內角的關系是(B)A．互余B．互補C．互余或互補D．不能確定2．如果一個正多邊形繞著它的中心旋轉60°后，能與原正多邊形重合，那么這個正多邊形(C)A．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形B．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形C．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形3．正多邊形的一個內角的度數(shù)不可能是(A)A．80°B．135°C．144°D．150°4．有一個邊長為50cm的正方形洞口，要用一個圓蓋去蓋住這個洞口，那么圓蓋的直徑至少應為(C)A．50cmB．25eq\r(2)cmC．50eq\r(2)cmD．50eq\r(3)cm5．已知正多邊形的每一個外角都是72°，那么這個正多邊形的內角和等于540°．6．已知正多邊形的內角和等于1440°，那么這個正多邊形的邊數(shù)為__10__．7．一個正多邊形的一個內角的度數(shù)比相鄰外角的6倍還多12°，求這個正多邊形的內角和．【解】設這個正多邊形的一個外角的度數(shù)為x，根據(jù)題意，得180°－x＝6x＋12°，解得x＝24°.∴這個正多邊形的邊數(shù)＝360°÷24°＝15，∴這個正多邊形的內角和＝(15－2)×180°＝2340°.8．如圖①，圓內接正五邊形的中心角∠AOB＝72°，∠ACB＝36°；如圖②，圓內接正六邊形的中心角∠AOB＝60°，∠ACB＝30°．(第8題)探究：如圖③，圓內接正n邊形的中心角∠AOB＝eq\f(360°,n)，∠ACB＝eq\f(180°,n)(用含n的代數(shù)式表示)．9．若用一種正多邊形瓷磚鋪滿地面，則這樣的正多邊形可以是(A)A．正三角形或正方形或正六邊形B．正三角形或正方形或正五邊形C．正三角形或正方形或正五邊形或正六邊形D．正三角形或正方形或正六邊形或正八邊形【解】∵用一種正多邊形鑲嵌，只有正三角形、正方形、正六邊形這三種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖案，∴若用一種正多邊形瓷磚鋪滿地面，則這樣的正多邊形只能是正三角形或正方形或正六邊形．(第10題)10．如圖，已知正六邊形的外接圓的半徑是2，則正六邊形的周長是(C)A．4B．6C．12D．24【解】∵正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑，∴正六邊形的周長＝2×6＝12.11．一個正多邊形的所有對角線都相等，則這個正多邊形的內角和為360°或540°．【解】∵一個正多邊形的所有對角線都相等，∴該正多邊形為正方形或正五邊形，∴這個正多邊形的內角和為(4－2)×180°＝360°或(5－2)×180°＝540°.(第12題)12．如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，AB，AC的中垂線分別交⊙O于點E，F(xiàn).求證：五邊形AEBCF是⊙O的內接正五邊形．【解】連結OB，OC.∵OE，OF分別垂直平分AB，AC，∴AE＝BE，AF＝CF，∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))，eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(CF,\s\up8(︵)).∵AB＝AC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(CF,\s\up8(︵)).∵∠BAC＝36°，∴∠BOC＝72°.∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＋eq\o(BE,\s\up8(︵))＋eq\o(AF,\s\up8(︵))＋eq\o(CF,\s\up8(︵))＝360°－72°＝288°，∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(CF,\s\up8(︵))＝288°÷4＝72°＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴AE＝BE＝AF＝CF＝BC，∴五邊形AEBCF為⊙O的內接正五邊形．13．如圖①②③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內接三角形、內接四邊形、內接五邊形，點M，N分別從點B，C開始，以相同的速度在⊙O上逆時針運動．(第13題)(1)在圖①中，求∠APB的度數(shù)；(2)在圖②中，∠APB的度數(shù)是90°；在圖③中，∠APB的度數(shù)是72°．(3)根據(jù)前面的探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形的情況？若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由．【解】(1)∵點M，N分別從點B，C開始，以相同的速度在⊙O上逆時針運動，∴∠BAM＝∠CBN.∴∠APN＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°.(2)同理(1)可得，圖②中，∠APB＝90°；圖③中，∠APB＝72°.(第13題解)(3)能．問題：如解圖，正n邊形ABCDE…是⊙O的內接正n邊形，點M，N分別從點B，C開始，以相同的速度在⊙O上逆時針運動，求∠APB的度數(shù)．結論：∠APB＝eq\f(360°,n).證明：∵點M，N分別從點B，C開始，以相同的速度在⊙O