非線性系統(tǒng)線性化

非線性系統(tǒng)的線性化1、傳統(tǒng)近似線性化2、精確線性化3、現代近似線性化第四章第一頁，共一百一十二頁。CompanyLogo條件苛刻，計算復雜基本思想：一階近似適用于工作點范圍不大情況基本思想：通過坐標變換把強非線性系統(tǒng)變換成弱非線性系統(tǒng)或通過狀態(tài)反饋以保持線性系統(tǒng)的部分特點。傳統(tǒng)近似線性化精確線性化非線性系統(tǒng)線性化方法現代近似線性化第二頁，共一百一十二頁。近似線性化傳統(tǒng)近似線性化最小二乘法泰勒展開傅里葉級數展開誤差最小忽略高階項忽略高次諧波雅可比矩陣忽略高階項傳統(tǒng)近似線性化方法第三頁，共一百一十二頁。非線性系統(tǒng)反饋線性化_主要內容4.0緒論4.1基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法4.2單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設計仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設計線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設計線性定常系統(tǒng)設計—閉環(huán)極點配置一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設計：逆系統(tǒng)方法4.3反饋線性化與標準型輸入—狀態(tài)線性化輸入—輸出線性化線性系統(tǒng)的內動態(tài)子系統(tǒng)零動態(tài)子系統(tǒng)4.4數學知識微分同胚與狀態(tài)變換弗羅貝尼斯定理4.5非線性系統(tǒng)反饋線性化單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入—狀態(tài)線性化單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入—輸出線性化多輸入—多輸出系統(tǒng)的反饋線性化4.6近似線性化方法第四頁，共一百一十二頁。非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論非線性系統(tǒng)的反饋線性化是近年來引起人們極大興趣的一種非線性控制系統(tǒng)設計方法。這種方法的思路是通過狀態(tài)或輸出的反饋，將一個非線性系統(tǒng)的動態(tài)特性變成（全部或部分）線性的動態(tài)特性，從而可以應用熟知的線性控制的方法對系統(tǒng)進行設計與控制。反饋線性化通過嚴格的狀態(tài)變換與反饋變換來達到，線性化過程中沒有忽略任何高階非線性項，因而這種線性化是精確的。目前反饋線性化的方法主要有兩種：1）精確線性化方法(exactlinearizationmethod)，如微分幾何方法，隱函數方法和逆系統(tǒng)方法等；2）基于參考模型的漸近線性化方法，如模型參考方法及模型參考自適應方法等。而確切地說，這兩種線性化方法都是模型參考方法，不過前者可稱為隱含模型參考方法（implicitmodelreferenceapproach），而后者為實際模型參考方法（realmodelrefernceapproach）。精確線性化方法中，微分幾何方法和逆系統(tǒng)方法已形成各自的理論體系并在許多領域得到成功的應用。相比之下基于隱函數方法的直接線性化方法由于其可應用的范圍較窄，理論上又難以深入，被研究得要少得多。第五頁，共一百一十二頁。在非線性系統(tǒng)的模型參考方法中，基于李亞普諾夫直接方法的非線性系統(tǒng)反饋線性化方法是最重要和最有效的一種設計方法，這類方法稱為非線性系統(tǒng)反饋線性化的直接方法。運用控制系統(tǒng)動平衡狀態(tài)的概念，提出一種建立在控制系統(tǒng)動平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定概念上的新的設計方法。本方法認為：控制系統(tǒng)的輸入直接控制的是系統(tǒng)的動平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的輸出和狀態(tài)是在系統(tǒng)結構的約束下運動的。當系統(tǒng)對其平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定時，其狀態(tài)將在系統(tǒng)結構約束下漸近收斂于系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。當其平衡狀態(tài)運動時，系統(tǒng)的狀態(tài)亦將跟蹤其平衡狀態(tài)運動。因此控制系統(tǒng)平衡狀態(tài)的運動，即可實現對系統(tǒng)運動狀態(tài)及輸出的控制。模型參考方法在跟蹤控制系統(tǒng)設計中是一種十分有效的方法。這一方法不僅在相對復雜的非線性系統(tǒng)設計中得到應用，即使在線性定常系統(tǒng)的設計中同樣也得到大量的應用。非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論第六頁，共一百一十二頁。按上述思想，提出如下的基于平衡狀態(tài)控制原理的非線性控制系統(tǒng)反饋線性化的直接方法：（1）按系統(tǒng)的動態(tài)性能要求設計一滿足希望特性的線性動態(tài)系統(tǒng)作為模型參考系統(tǒng)。（2）以模型參考系統(tǒng)的狀態(tài)作為實際被控系統(tǒng)的被控平衡狀態(tài)。利用李亞普諾夫直接方法設計控制律使系統(tǒng)對動平衡狀態(tài)漸進穩(wěn)定。從而被控系統(tǒng)近似具有模型參考系統(tǒng)的動態(tài)特性，實現非線性系統(tǒng)的反饋線性化。為此，控制系統(tǒng)的設計可分為兩步：首先，設計控制律使系統(tǒng)的平衡狀態(tài)按預定的方式運動。然后，按某一指標設計系統(tǒng)，使其狀態(tài)按最佳方式向平衡狀態(tài)收斂，從而實現對狀態(tài)的控制。這一方法很好地解決了將僅適用于自由動態(tài)系統(tǒng)分析與設計的李亞普諾夫直接方法應用于跟蹤控制問題所帶來的理論沖突，將穩(wěn)定性問題（調節(jié)問題）與跟蹤問題統(tǒng)一起來。為控制系統(tǒng)的分析與設計提供了一條新的思路。非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論第七頁，共一百一十二頁。其中，

為狀態(tài)向量，

為控制向量，為向量函數。其中

為狀態(tài)向量，

為控制向量，,

為常數矩陣，并且的所有特征值均具有負實部。則下述基于李雅普諾夫第二方法的設計可以實現系統(tǒng)狀態(tài)

對的漸近跟蹤，從而實現非線性系統(tǒng)動態(tài)特性的線性化。基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法按上述方法，基本設計過程如下：考慮一般的非線性系統(tǒng)（1.1）設希望的線性系統(tǒng)動態(tài)特性為（1.2）令狀態(tài)偏差為，則有

由式（1.1）和式（1.2）可得系統(tǒng)的狀態(tài)偏差方程為：（1.3）第八頁，共一百一十二頁。其中

，且。則有的導數為：（1.5）其中

，為標量函數?；趧悠胶鉅顟B(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法取狀態(tài)偏差的二次型函數（1.4）因為當狀態(tài)偏差的歐幾里德范數時，，平衡狀態(tài)

是在大范圍內漸近穩(wěn)定的。從而有時，

。由上面的分析可直接給出如下定理：定理1.1給定非線性時變系統(tǒng)（1.1）及模型參考系統(tǒng)（1.2）。設穩(wěn)定，是模型參考自由系統(tǒng)（對應于）在原點平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數。那么，若存在控制

使由于的所有特征值均具有負實部，因此可找到正定矩陣

，使為一負定矩陣。若能選取控制向量（

為可能用到的

的各階導數），使

，則

為李雅普諾夫函數。第九頁，共一百一十二頁。若能選擇

使

在所考慮的系統(tǒng)參數變化范圍內非正，則可保證系統(tǒng)具有參數不確定時反饋線性化的魯棒性。若選取的

使，則稱非線性系統(tǒng)（1.1）被精確線性化。我們可給出定理1.1更一般的情況如下：基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法（1.6）則偏差系統(tǒng)（1.3）的原點平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。證明：因為是偏差自由系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數，因此有

負定。定理1.2考慮狀態(tài)偏差系統(tǒng)（1.3）。設其對應的自由動態(tài)系統(tǒng)在平衡狀態(tài)大范圍一致漸近穩(wěn)定，是自由系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數。如果控制策略使（1.7）則被控的狀態(tài)偏差系統(tǒng)（1.3）是大范圍一致漸近穩(wěn)定。第十頁，共一百一十二頁。基于動平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法將作為偏差控制系統(tǒng)（1.3）的可能的李亞普諾夫函數，有由于上式右端第一項負定，顯然若式（1.7）成立，則負定。式（1.3）的被控狀態(tài)偏差系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的反饋線性化，確切地說還可以分為輸入--狀態(tài)線性化和輸入--輸出線性化。對調節(jié)問題（穩(wěn)定性問題）采用輸入--狀態(tài)線性化通常即可滿足要求對系統(tǒng)的調節(jié)要求；但對跟蹤問題通常必須采用輸入--輸出線性化設計才能滿足對系統(tǒng)的性能要求。第十一頁，共一百一十二頁。單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設計設系統(tǒng)由下述微分方程表示（2.1）其中為輸入，為輸出。取輸出及其前n-1階導數為狀態(tài)變量，方程（2.1）可表示為如下的狀態(tài)空間表達形式：（2.1a）簡記為（2.1b）第十二頁，共一百一十二頁。單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設計其中為狀態(tài)向量，表示控制及其前m階導數。設上述系統(tǒng)的希望動態(tài)特性可用下述線性定常模型系統(tǒng)表示：

（2.2）其中為希望輸出，為模型的輸入，，為常數。同樣取及其前n-1階導數為狀態(tài)變量，可得其對應的可控型狀態(tài)空間表達式為：（2.2a）其中為模型的狀態(tài)向量；，，為常數。第十三頁，共一百一十二頁。單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設計根據動平衡狀態(tài)理論，我們可以將作為被控系統(tǒng)的動平衡狀態(tài)，通過設計合適的控制律，使所構成的控制系統(tǒng)中被控狀態(tài)對動平衡狀態(tài)在大范圍內漸近穩(wěn)定。從而實現對，亦即對的漸近逼近，使被控系統(tǒng)具有所希望的動態(tài)特性。實現上述目標的一個直接方法便是利用李雅普諾夫第二方法。為此，以為動平衡狀態(tài)，定義誤差向量（2.3）由式（2.1a）及式（2.2a）可得（2.4）取狀態(tài)偏差的二次型函數（2.5）其中

，且。則有的導數為：（2.6）第十四頁，共一百一十二頁。單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設計其中：（2.7）（2.8）為標量函數。由于系統(tǒng)（2.1a）和系統(tǒng)（2.2a）均為可控型，的確定可以進一步簡化。由式（2.8）我們有：（2.9）其中：（2.10）（2.11）第十五頁，共一百一十二頁。單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設計，為標量，以后的計算中，只需根據式（2.10）和（2.11）便可確定控制規(guī)律。

因為當狀態(tài)偏差的歐幾里德范數時，，平衡狀態(tài)

是在大范圍內漸近穩(wěn)定的，即為控制系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定的動平衡狀態(tài)。從而有時，

。由上面的分析可直接給出如下定理：

定理2.1

給定非線性時變系統(tǒng)（2.1）及模型參考系統(tǒng)（2.2）。設穩(wěn)定，為模型參考自由系統(tǒng)（）在原點平衡狀態(tài)的李亞普諾夫函數。那么，若存在控制使則偏差系統(tǒng)（2.3）的原點平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。若能選擇

使

在所考慮的系統(tǒng)參數變化范圍內非正，則可保證系統(tǒng)具有參數不確定時反饋線性化的魯棒性。在這一方法中，若令，即可實現系統(tǒng)的精確線性化。若非線性系統(tǒng)是仿射非線性的，則其結果同微分幾何方法。第十六頁，共一百一十二頁。仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設計考慮仿射非線性系統(tǒng)（2.12）選取及其前n-1階導數為狀態(tài)變量，可將其轉換為式（2.1）形式的狀態(tài)空間表達式，且其中（2.13）（2.14）由定理2.1，令，可實現仿射非線性系統(tǒng)的精確線性化。由式（2.14）得精確線性化得控制策略為（2.15）1.精確線性化2.魯棒線性化設計第十七頁，共一百一十二頁。仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設計（1）設仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性

（2.16）其中，則控制策略

（2.17）將使系統(tǒng)魯棒線性化。證明：將代入整理后有

由式（2.9）有：

由定理2.1，偏差系統(tǒng)（2.3）的原點平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。（2）設仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性

（2.18）第十八頁，共一百一十二頁。仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設計其中，。不失一般性，設則控制策略（2.19）將使系統(tǒng)魯棒線性化。證明：將代入整理后有由式（2.9）有：

由定理2.1，偏差系統(tǒng)（2.3）的原點平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。第十九頁，共一百一十二頁。線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設計考慮變系數線性系統(tǒng)

（2.20）對照式（2.1b）有（2.21）根據式（2.9）-（2.11），在保證非正（即非正）的前提下，至少有如下幾種選擇方式。1.精確抵消法選擇使，即。這時可?。?.22）第二十頁，共一百一十二頁。線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設計此時李雅普諾夫函數，，其中，。系統(tǒng)的動態(tài)方程直接由式（2.2）所示。2.非精確抵消法由式（2.9）-（2.11），我們有

（2.23）設不變號，取（2.24）由于要使為李亞普諾夫函數，只需非正，這就為本方法中的選擇帶來了極大的便利，最簡單直接的方法就是取絕對值加符號函數方法。第二十一頁，共一百一十二頁。線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設計代入式（2.23），并考慮到對任意函數有，我們有可見按式（2.24）確定的保證了為李雅普諾夫函數。3.魯棒控制系統(tǒng)的實現第二十二頁，共一百一十二頁。線性時變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設計在上述非精確抵消方法中，如果可預先確定系統(tǒng)各參數取值的絕對值的最大值，則下述按參數絕對值最大值選取的控制律，不僅能保證為李雅普諾夫函數，同時還將使系統(tǒng)對區(qū)間內變化的參數具有魯棒性。在式（2.24）中，除外，取各參數絕對值的最大值，有

（2.25）

其中，。顯然，如果我們選擇，。則將使系統(tǒng)的魯棒性進一步增加，同時還可使的收斂速度加快。第二十三頁，共一百一十二頁。線性定常系統(tǒng)設計—閉環(huán)極點配置考慮線性定常系統(tǒng)

（2.26）對照式（2.1b）有（2.27）設系統(tǒng)的希望動態(tài)特性如式（2.2）所示。則由式（2.11）有

（2.28）其中（2.29）第二十四頁，共一百一十二頁。線性定常系統(tǒng)設計—閉環(huán)極點配置令，即。則有，為李亞普諾夫函數，其中，。當，將有。這時由式（3.29）可解出（2.30）其中，。這一結果同狀態(tài)反饋極點配置方法的結果是一致的。相當于利用線性狀態(tài)反饋將原系統(tǒng)的極點配置到了希望系統(tǒng)的極點位置。其具體實現形式為：

第二十五頁，共一百一十二頁。一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設計：逆系統(tǒng)方法考慮非線性系統(tǒng)

（2.31）將上式作為代數方程來看，如果從中可解出的顯式表示

（2.33）則式（2.33）即為系統(tǒng)（2.31）的逆系統(tǒng)。選取及其前n-1階導數為狀態(tài)變量，用表示及其前m階導數，則上式可記為

（2.32）在方程（2.33）中，記，則得到系統(tǒng)（2.33）的n階積分逆系統(tǒng)，由下式表示：（2.34）第二十六頁，共一百一十二頁。一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設計：逆系統(tǒng)方法將

代入可得：（2.35）令，可得精確線性化控制策略為

（2.33）第二十七頁，共一百一十二頁。反饋線性化與標準型最簡單形式的反饋線性化是將非線性系統(tǒng)中的非線性抵消掉，使閉環(huán)動態(tài)特性變成線性形式。例3.1控制水箱液面高度考慮將水箱中液面的高度h，控制在指定的高度，控制輸入是進入水箱的液體流量u，初始高度為。其中是水箱的橫截面積，a是出水管的橫截面積。如果初始高度與期望高度相差懸殊，h的控制就是一個非線性調節(jié)問題。動態(tài)方程式（3.1）可重寫為:水箱的動態(tài)模型為（3.1）第二十八頁，共一百一十二頁。反饋線性化與標準型若選為（3.2）式中

為待求的“等效輸入”，則得到線性的動態(tài)方程選取為（3.3）其中為液面高度誤差，a為一嚴格正常數，則得到閉環(huán)動態(tài)方程為：（3.4）這說明當時，。根據式（3.2）和式（3.3），實際的輸入流量由下列非線性控制律確定：（3.5）式（3.5）中，右端第一項用來提供輸出流量，第二項則是用來根據期望的線性動態(tài)特性式（3.4）去改變液面高度。第二十九頁，共一百一十二頁。反饋線性化與標準型類似地，如果期望高度是一個已知的時變函數，則等效輸入

可選為：

從而仍得到時的結果。反饋線性化的想法，即抵消非線性并施加一個期望的線性動態(tài)特性，可以直接應用于一類由所謂伴隨型或能控標準形所描述的非線性系統(tǒng)。

所謂一個系統(tǒng)是伴隨型的，是指其動態(tài)方程可以表示為（3.6）其中u是標量控制輸入，x是所關注的標量輸出，而是狀態(tài)矢量，與是狀態(tài)的非線性函數。這種形式的特點是盡管方程中出現x的各階導數，但是不出現輸入u的導數。若用狀態(tài)空間表示，式（3.6）可寫為：第三十頁，共一百一十二頁?？梢员硎緸檫@種能控標準形的系統(tǒng)，若使用控制輸入（假定不為零）（3.7）就能抵消掉非線性特性而獲得一個簡單的輸入—輸出關系（多重積分形式）因此控制可選為其中選擇使得多項式的所有根均嚴格位于左半平面從而導致指數穩(wěn)定的動態(tài)特性反饋線性化與標準型第三十一頁，共一百一十二頁。即。對于跟蹤期望軌跡的任務，控制律可選為：（3.8）其中為跟蹤誤差，該控制律導致指數收斂跟蹤。若標量x換成矢量，標量b換成可逆方陣，亦可獲得類似的結果。在式（3.6）中曾假定動態(tài)方程對于控制輸入是線性的（但對狀態(tài)是非線性的），然而這一方法不能推廣到把u換成一個可逆函數的情形。例如，通過閥門控制流量的系統(tǒng)，其動態(tài)特性可能是依賴于而不是直接依賴于u，這里u是閥門開啟的直徑。這時只要定義，即可以容易地根據上述步驟首先設計出，然后利用來計算輸入u。這種方法實際上避免了在控制計算中出現非線性。當非線性動態(tài)方程不是能控標準形時，可以首先利用代數變換將方程化為能控標準形，然后再使用上述的反饋線性化設計，或者借助于原動態(tài)系統(tǒng)的部分線性化，而不要求總體的線性化。

反饋線性化與標準型第三十二頁，共一百一十二頁?？紤]單輸入非線性系統(tǒng)中控制輸入的設計問題。輸入-狀態(tài)線性化方法通過兩步來解決這個問題。首先找出一個狀態(tài)變換與一個輸入變換使非線性系統(tǒng)動態(tài)方程化成一個等效的線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程，并表示成熟知的形式。其次，再利用標準的線性控制方法（例如極點配置）來設計。以一個簡單的二階系統(tǒng)為例來說明這個方法?？紤]系統(tǒng)（3.9）雖然線性控制設計也能使這個系統(tǒng)在平衡點（0,0）附近的一個小范圍內穩(wěn)定，然而采用什么控制器能使它在更大的范圍內穩(wěn)定卻不是一目了然的。尤其是方程中的非線性更增加了控制上的困難，因為它不能直接用控制輸入來抵消。輸入—狀態(tài)線性化第三十三頁，共一百一十二頁。如果考慮一組新的狀態(tài)變量（3.10）則新的狀態(tài)方程為（3.11）可以看到，新的狀態(tài)方程平衡點依然為（0,0）。同時可以看出，下列控制律

（3.12）可用來抵消上式中的非線性。其中

是待設計的等效輸入，于是可得到線性的輸入—狀態(tài)關系為（3.13）輸入—狀態(tài)線性化第三十四頁，共一百一十二頁。因此，通過狀態(tài)變換式（3.10）和輸入變換式（3.12），就將用原來的輸入去穩(wěn)定原來的非線性動態(tài)系統(tǒng)式（3.9）這樣一個問題轉變成了用新的輸入去穩(wěn)定新的動態(tài)系統(tǒng)式（3.13）的問題。由于新的動態(tài)系統(tǒng)是線性和能控的，采用熟知的線性狀態(tài)反饋控制律并適當選擇反饋增益，就能對極點任意地進行配置。例如可以選擇（3.14）而得到穩(wěn)定的閉環(huán)動態(tài)系統(tǒng)它的兩個極點都在-2處。輸入—狀態(tài)線性化第三十五頁，共一百一十二頁。用原來的狀態(tài)和表示，與此控制律相應的原控制輸入為

（3.15）原來的狀態(tài)由給出為（3.16）由于和

兩者均收斂于零，故原來的狀態(tài)亦收斂于零。輸入—狀態(tài)線性化采用上述控制后的閉環(huán)系統(tǒng)如右圖所示。這個控制系統(tǒng)中存在兩個環(huán)：內環(huán)實現輸入-狀態(tài)關系的線性化，外環(huán)實現閉環(huán)動態(tài)特性的穩(wěn)定性。第三十六頁，共一百一十二頁。關于上述控制律，有以下幾點進一步的說明：1.雖然在狀態(tài)空間中一個相當大的區(qū)域內上面的結論均成立，但它不是全局性的。控制律在時沒有定義。顯然，當初始狀態(tài)位于這些奇點處時，控制器不能使系統(tǒng)達到平衡點。2.輸入—狀態(tài)線性化是通過狀態(tài)變換與輸入變換相結合而實現的，而在兩種變換中都用到了狀態(tài)反饋。因此它是通過反饋來進行線性化，簡稱為反饋線性化。這一點與基于線性控制的小范圍雅可比線性化有著本質的區(qū)別。3.為了實現這個控制律，需要用到新的狀態(tài)變量（,）。若它們在物理上沒有意義，或不能直接測量，則必須測量原來的狀態(tài)并用式（3.10）來計算新的狀態(tài)變量。

輸入—狀態(tài)線性化第三十七頁，共一百一十二頁。4.一般說來，控制器設計和的計算都須用到系統(tǒng)模型。如果模型存在不確定性，即參數有不確定性，則從式（3.10）和式（3.12）可見，這種不確定性對于計算新狀態(tài)變量和計算控制輸入都會引起誤差。5.利用這種方法也能考慮跟蹤控制的問題，但是這時應將期望的運動用新的狀態(tài)矢量來表示，還可能需要進行復雜的計算，將期望運動的特性指標由原來的物理上有意義的輸出變量表示變換成現在的新的狀態(tài)變量表示。6.上述設計的成功使人們對將輸入—狀態(tài)線性化的思想推廣到一般的非線性系統(tǒng)感到興趣。在考慮這種推廣的時候，將產生以下兩個問題：（1）哪些非線性系統(tǒng)能夠變換成線性系統(tǒng)？（2）如果能夠進行這種變換，如何找到這個變換？

輸入—狀態(tài)線性化第三十八頁，共一百一十二頁?？紤]下列系統(tǒng)的跟蹤控制問題（3.17）假定設計的目標是使輸出跟蹤期望的軌跡，同時保持所有狀態(tài)有界，其中及其足夠高階的時間導數均假定已知且有界。使用這個模型的明顯困難在于輸出只是通過狀態(tài)及非線性狀態(tài)方程式（3.17）間接地與輸入發(fā)生聯(lián)系，所以不易看出應如何設計輸入來控制輸出的跟蹤性能。假如能夠找到系統(tǒng)輸出與控制輸入之間的一個直接而簡單的關系，則跟蹤控制設計的困難就會大大降低。事實上，由此想法構成了非線性系統(tǒng)控制設計中的所謂輸入—輸出線性化方法的基礎。用一個例子來說明這一方法。輸入—輸出線性化第三十九頁，共一百一十二頁?？紤]三階系統(tǒng)

（3.18）為了得到輸出與輸入之間的直接關系，將輸出微分由于仍然與

沒有直接聯(lián)系，對上式再微分一次，得到（3.19）其中是狀態(tài)的函數，定義為（3.20）輸入—輸出線性化第四十頁，共一百一十二頁。式（3.19）代表與之間的一個顯式關系。如果選擇輸入為下列形式（3.21）其中為待定的新輸入，則式（3.19）中的非線性便被抵消了，從而得到一個輸出與新輸入之間的簡單的二重積分關系利用線性控制方法很容易對這個二重積分關系設計跟蹤控制器。例如，定義跟蹤誤碼差為，選取新的輸入為（3.22）其中，為正常數，則閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差滿足（3.23）它代表一個指數穩(wěn)定的誤差動態(tài)特性。因此，如果開始時，則，，即獲得了理想跟蹤；否則指數地收斂于零。輸入—輸出線性化第四十一頁，共一百一十二頁。這里需要注意兩點：（1）除了奇異點處之外，控制律處處有定義。（2）為了實現這一控制律，要求全部狀態(tài)都能測量，因為計算導數和輸入變換式（3.21）均要求的數值。上面這種首先產生一個線性的輸入—輸出關系，然后再利用線性控制方法來構造控制器的設計策略稱為輸入-輸出線性化方法，它適用于許多系統(tǒng)，如果需要將系統(tǒng)的輸出微分次才能得到一個輸出與輸入之間的顯式關系，則稱該系統(tǒng)的相對度為。因此，上述例子中的系統(tǒng)相對度為2。這個術語同線性系統(tǒng)中所用的相對度的概念（極點超過零點的數目）是一致的。可以嚴格地證明，任何階能控系統(tǒng)，對于任一輸出，最多只需要微分次就一定能使控制輸入在表達式中出現，亦即。如果對微分永遠不出現控制輸入，則這個系統(tǒng)就是不可控的。輸入—輸出線性化第四十二頁，共一百一十二頁。值得注意的是，式（3.23）僅說明了閉環(huán)動態(tài)系統(tǒng)的一部分，因為它只有二階，而整個系統(tǒng)是三階的。因此，系統(tǒng)中有一部分（由一個狀態(tài)分量描述）經由輸入—輸出線性化變成了“不能觀”的子系統(tǒng)。這一部分子系統(tǒng)稱為內動態(tài)子系統(tǒng)。若此內動態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定（這里穩(wěn)定的意思實際上是指在跟蹤過程中狀態(tài)維持有界，即在BIBO意義上的穩(wěn)定性），跟蹤控制設計的問題就真正地解決了。否則，上面的跟蹤控制器事實上沒有意義，因為內動態(tài)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定性可能會產生一些不希望出現的現象。因此，上面這種基于降階模型式（3.19）的控制器設計，其適用性依內動態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性而定。最后還要指出，輸入—輸出線性化方法雖然是在研究輸出跟蹤問題時提出來的，但它同樣可應用于穩(wěn)定問題。此外，關于用輸入—輸出線性化來進行穩(wěn)定設計，還有必要作兩點說明。

輸入—輸出線性化第四十三頁，共一百一十二頁。首先在穩(wěn)定問題中，不一定要選擇具有明顯的物理意義（在跟蹤設計中，輸出的選擇是由具體任務確定的）。的任意函數均可為了設計的目的而用來作為人為的輸出，從而產生一個以穩(wěn)定設計為目的的線性輸入—輸出關系。其次，不同的輸出函數選擇將產生不同的內動態(tài)子系統(tǒng)。有可能一種輸出選擇產生一個穩(wěn)定的內動態(tài)子系統(tǒng)（或者不存在內動態(tài)子系統(tǒng)），而另一種輸出選擇卻產生不穩(wěn)定的內動態(tài)子系統(tǒng)。因此，只要可能，就應該選擇使相應的內動態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定的那種輸出函數。特殊情況下，當系統(tǒng)的相對度等于其階數時，即當輸出必須微分次（為系統(tǒng)階數）時，變量可作為系統(tǒng)的一組新狀態(tài)變量，這時不會產生與該輸入—輸出線性化有關的內動態(tài)子系統(tǒng)。故在這種情況下，輸入—輸出線性化實際上變成了輸入—狀態(tài)線性化，從而對于所指定的輸出很容易實際狀態(tài)調節(jié)和輸出跟蹤。輸入—輸出線性化第四十四頁，共一百一十二頁。一般情況下，直接確定內動態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性是非常困難的，因為它一般是非線性、非自治的，而且與外表的動態(tài)子系統(tǒng)之間有耦合。雖然對某些系統(tǒng)而言，也許可以利用李雅普諾夫或類似李雅普諾夫的分析方法，然而尋找李雅普諾夫函數并非易事，因而限制了這種方法的普遍應用，所以很自然地想到需要尋找更為簡單的方法來確定內動態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為此，從熟知的線性系統(tǒng)入手，來考察內動態(tài)子系統(tǒng)這個概念。例3.2兩個線性系統(tǒng)的內動態(tài)子系統(tǒng)考慮下列簡單的能控、能觀線性系統(tǒng)（3.24）線性系統(tǒng)的內動態(tài)子系統(tǒng)第四十五頁，共一百一十二頁。要求

跟蹤期望輸出，將輸出微分一次就得到第一個狀態(tài)方程其中顯含，故采用控制律（3.25）可產生跟蹤誤差方程（其中）及內動態(tài)子系統(tǒng)從這些方程可以看出，當趨近（同時趨近）時保持有界，從而也有界。因此式（3.25）是系統(tǒng)式（3.24）的一個滿意的跟蹤控制器。線性系統(tǒng)的內動態(tài)子系統(tǒng)第四十六頁，共一百一十二頁。再來看一個稍微不同的系統(tǒng)：（3.26）采用與前面一樣的控制器可產生同樣的跟蹤誤差動態(tài)系統(tǒng)，然而卻產生不同的內動態(tài)子系統(tǒng)由上式可見，當時，以及相應地都趨向無窮大。因此，式（3.25）對系統(tǒng)式（3.26）便不是一個合適的跟蹤器。為了搞清楚這兩個系統(tǒng)之間的本質差別，可以來看看它們的傳遞函數。線性系統(tǒng)的內動態(tài)子系統(tǒng)第四十七頁，共一百一十二頁。系統(tǒng)式（3.24）的傳遞函數為而系統(tǒng)式（3.26）的傳遞函數為可以看到，這兩個系統(tǒng)的極點相同而零點不同。具體地說，設計成功的系統(tǒng)式（3.24）具有一個左半平面的零點-1，而設計失敗的系統(tǒng)式（3.26）卻包含一個右半平面零點1?？梢宰C明，上述結果（即如果對象的零點在左半平面，也就是說對象是最小相位的，則內動態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定）對于所有的線性系統(tǒng)都是正確的。

線性系統(tǒng)的內動態(tài)子系統(tǒng)第四十八頁，共一百一十二頁。既然在線性系統(tǒng)中內動態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性簡單地由零點的位置確定，因此人們自然會有興趣想知道這個關系能否推廣到非線性系統(tǒng)。為此首先要將零點的概念推廣到非線性系統(tǒng)，然后再確定內動態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性與這種推廣了的零點概念之間的關系。將零點的概念推廣到非線性系統(tǒng)并不是一個十分簡單的問題。線性系統(tǒng)是在傳遞函數的基礎上定義零點的，但傳遞函數不能推廣到非線性系統(tǒng)。此外，零點是線性對象的一個內在特性，而對非線性系統(tǒng)來說，內動態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性可能與特定的輸入有關?？朔@一困難的一個途徑是對非線性系統(tǒng)定義一個所謂的零動態(tài)子系統(tǒng)。零動態(tài)子系統(tǒng)定義為當系統(tǒng)的輸出被輸入強制為零時它的內動態(tài)子系統(tǒng)。零動態(tài)子系統(tǒng)第四十九頁，共一百一十二頁。對于線性系統(tǒng)，零動態(tài)子系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性意味著內動態(tài)子系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性；然而，對于非線性系統(tǒng)卻沒有如此明顯的關系。對于穩(wěn)定問題，可以證明，零動態(tài)子系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定性足可保證內動態(tài)子系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定性，這個結論也可以推廣到跟蹤問題。然而，與線性系統(tǒng)的情形不同，對于非線性系統(tǒng)的內動態(tài)子系統(tǒng)不能得到關于全局穩(wěn)定性的結論，甚至連大范圍穩(wěn)定性的結論也不能得到。換言之，即使零動態(tài)子系統(tǒng)是全局指數穩(wěn)定的，也只能保證內動態(tài)子系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性。關于非線性系統(tǒng)的零動態(tài)子系統(tǒng)，可作如下兩點說明。首先，零動態(tài)子系統(tǒng)的特性是一個非線性系統(tǒng)的內在特征，它與控制律及期望軌跡的選擇無關。其次，考察零動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性比考察內動態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性要容易得多，因為零動態(tài)子系統(tǒng)僅涉及內部狀態(tài)。零動態(tài)子系統(tǒng)第五十頁，共一百一十二頁。歸結起來，基于輸入—輸出線性化的控制設計可循以下三步來進行：（1）微分輸出直至出現輸入；（2）選取來抵消非線性并保證跟蹤收斂；（3）研究內動態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若與輸入—輸出線性化有關的相對度等于系統(tǒng)的階數，則非線性系統(tǒng)可完全地線性化，因而這一過程確實能得到一個滿意的控制器（假定模型是精確的）。若相對度小于系統(tǒng)的階數，則非線性系統(tǒng)只是部分地線性化，由此得到控制器是否真能使用取決于內動態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對內動態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究可以通過轉而研究零動態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性而局部地簡化。若零動態(tài)子系統(tǒng)不穩(wěn)定，則必須尋找新的控制策略，這時輸入—輸出線性化所提供的簡化僅在于變換后的動態(tài)方程是部分線性化的。零動態(tài)子系統(tǒng)第五十一頁，共一百一十二頁。在描述這些數學工具的時候，將把矢量函數稱為上的一個矢量場，矢量場的平滑性是指函數具有要求的任意階連續(xù)偏導數，以下將只關心平滑的矢量場。給定一個狀態(tài)的平滑的標量函數，的梯度記為它是以為元素的一個行矢量。類似地，給定一個矢量場，其雅可比矩陣記為，它是一個以為元素的的矩陣。

數學知識第五十二頁，共一百一十二頁。定義4.1令為一個平滑的標量函數，為上的一個平滑的矢量場，則對的李導數是一個定義為的標量函數。李導數其實就是沿矢量方向導數。多重李導數可以遞歸地定義為類似地，如果是另一個矢量場，則標量函數為考慮下列單輸出動態(tài)系統(tǒng)，不難看出李導數與動態(tài)系統(tǒng)之間的聯(lián)系

李導數和李括號第五十三頁，共一百一十二頁。輸出的時間導數為類似地，如果

是一個備選的李雅普諾夫函數，則它的時間導數可以寫為?，F在再看矢量場的另一個重要數學算符——李括號。定義4.2令與為上的兩個矢量場，與的李括號是第三個矢量場，定義為。李括號通常寫為。多重李括號可以遞歸地定義為李導數和李括號第五十四頁，共一百一十二頁。引理4.1李括號具有下列性質（1）雙線性：其中、、、、、都是平滑的矢量場，而和為常標量。（2）斜交換性（或反對稱性）：

（3）雅可比（Jacobi）恒等式：其中是的平滑標量函數。李導數和李括號第五十五頁，共一百一十二頁。可以遞歸地應用雅可比恒等式來獲得一些有用的專門性恒等式。使用它兩次得到對于高階的李括號亦可以獲得類似的一些恒等式。李導數和李括號第五十六頁，共一百一十二頁。可以微分同胚的概念可看成是熟知的坐標變換概念的推廣，其定義如下：定義4.3定義在區(qū)域上的函數：如果它是平滑的，它的逆存在并且平滑，則稱之為微分同胚。如果區(qū)域是整個空間，則稱為全局的微分同胚。全局的微分同胚很少見，因此常常要尋找局部的微分同胚，即僅在一個給定點的鄰域內定義的變換。

引理4.2令為在中的區(qū)域內定義的一個平滑函數，如果雅可比矩陣在內一點非奇異，則在的一個子區(qū)域內為一個局部的微分同胚。微分同胚可用來將一個非線性系統(tǒng)變換成另一個用新的狀態(tài)表示的非線性系統(tǒng)，它類似于在線性系統(tǒng)分析中通常所做的那樣。微分同胚與狀態(tài)變換第五十七頁，共一百一十二頁?？紤]下列方程所描述的動態(tài)系統(tǒng)：定義新的狀態(tài)為求的微分得由此不難得到新的狀態(tài)方程其中用到了，而函數，，的定義是顯然的。微分同胚與狀態(tài)變換第五十八頁，共一百一十二頁。例4.1一個非全局性微分同胚考慮非線性矢量函數（4.1）它對所有的和都有定義，其雅可比矩陣為它在x=(0,0)的秩為2，根據引理4.2函數式(4.1)在原點周圍定義了一個局部的微分同胚。事實上，這個微分同胚成立的區(qū)域為因為在此區(qū)域內存在且關于平滑。然而，在此區(qū)域之外，因為不唯一，它不能定義一個微分同胚。微分同胚與狀態(tài)變換第五十九頁，共一百一十二頁?？紤]一階偏微分方程組（4.2）

其中與，為的已知標量函數，是一個未知函數。很明顯，兩個矢量和唯一地定義了這個偏微分方程組，如果它的解存在，則稱這組矢量場為完全可積的?，F在的問題是要確定這些方程在什么條件下可解，這個問題并不是事先就能一眼看出的，弗羅貝尼斯定理提供了一個比較簡單的條件。弗羅貝尼斯定理第六十頁，共一百一十二頁。方程式（4.2）有解的條件是當且僅當存在標量函數與使得即與的李括號可以表示成與的線性組合，這個條件稱為矢量場的對合條件，幾何上這個條件就是說矢量在由矢量與所確定的平面內。弗羅貝尼斯定理斷言一組矢量場當且僅當它滿足對合條件時是完全可積的。由于對合條件比較容易驗證，故可用它來確定式（4.2）的可解性。定義4.4上的一組線性無關的矢量場是完全可積的，當且僅當存在n-m個標量函數滿足一組偏微分方程（4.3）其中，而梯度是線性無關的。弗羅貝尼斯定理第六十一頁，共一百一十二頁。定義4.5線性無關的矢量場集合是對合的，當且僅當存在標量函數使（4.4）對合的意思就是如果從矢量場集合中任取一對來組成李括號，得到的矢量場可以表為原先集合中的矢量場的線性組合。需要說明的是：1.恒矢量場總是對合的。2.由單獨一個矢量f組成的集合總是對合的。3.由定義4.5，檢驗矢量場集合是否對合等于就是檢驗下式是否對于全體和全體、都成立定理4.1(弗貝尼斯定理)令為一組線性無關的矢量場，當且僅當這個集合為對合時它是完全可積的。弗羅貝尼斯定理第六十二頁，共一百一十二頁。討論用下列狀態(tài)方程描寫的單輸入非線性系統(tǒng)的輸入—狀態(tài)線性化問題（5.1）其中和為平滑矢量場。研究的問題包括：這種系統(tǒng)在什么條件下能夠通過狀態(tài)與輸入的變換來實現線性化，如何求出這種變換，以及如何基于這種反饋線性化來設計控制器。形如式（5.1）的系統(tǒng)稱為對控制是線性的，或仿射的。如果非線性系統(tǒng)具有如下形式其中為可逆的標量函數，為任意函數，則簡單的代換就能將上述動態(tài)方程變成式（5.1）的形式。于是可以先對

設計控制律，再對求逆來計算，即。單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入—狀態(tài)線性化第六十三頁，共一百一十二頁。定義5.1一個形如式（5.1）的單輸入非線性系統(tǒng)，其中與為上的平滑矢量場，如果在中存在一個區(qū)域，一個微分同胚，以及一個反饋控制律（5.2）使得新的狀態(tài)變量和新的輸入滿足線性定常關系（5.3）其中輸入—狀態(tài)線性化定義第六十四頁，共一百一十二頁。則稱該系統(tǒng)是輸入—狀態(tài)可線性化的。新狀態(tài)稱為線性化狀態(tài)，新控制律式（5.2）稱為線性化控制律。為了簡化記號，不僅用來表示變換狀態(tài)，而且表示微分同胚本身，即寫為。變換后的動態(tài)方程中，矩陣與矢量具有特殊的形式，對應于線性伴隨型。不過，局限于這種特殊的等效線性系統(tǒng)并不失一般性，因為任何線性能控系統(tǒng)均可通過狀態(tài)變換而與伴隨型式（5.3）等價。

從式（5.3）的標準形式容易看出，輸入—狀態(tài)線性化是輸入—輸出線性化當輸出函數導致相對度為時的一種特殊情況，因此，輸入—狀態(tài)線性化與輸入—輸出線性化二者之間的關系可以總結如下：引理5.1一個階非線性系統(tǒng)，當且僅當存在一個標量函數，使以為輸出函數的輸入—輸出線性化具有相對度時是輸入—狀態(tài)可線性化的。

輸入—狀態(tài)線性化定義第六十五頁，共一百一十二頁。定理5.1對于非線性系統(tǒng)（5.1），其中和為平滑矢量場，當且僅當存在一個區(qū)域使得下列條件成立時，該非線性系統(tǒng)是輸入—狀態(tài)可線性化的：1.矢量場在內線性無關；2.集合在內是對合的。對上述條件作幾點說明：1.第一個條件可以解釋為非線性系統(tǒng)式（5.1）的能控性條件。對于線性系統(tǒng)，矢量場變成，因而其線性無關就等價于熟知的線性能控性矩陣的可逆性，條件1代表一個推廣了的能控性條件。2.對合條件則不是那么直觀，對于線性系統(tǒng)，該條件自然滿足（此時矢量場為恒量），而對于非線性系統(tǒng)的情況，這一條件并不總是滿足的。輸入—狀態(tài)線性化條件第六十六頁，共一百一十二頁。根據前面的討論，非線性系統(tǒng)的輸入一狀態(tài)線性化可按下列步驟進行：1.對給定的系統(tǒng)的構造矢量場；2.檢查能控性條件和對合性條件是否滿足；3.如果兩個條件均滿足，則從方程式（5.4）求出第一個狀態(tài)z1（導致相對（5.4）度為的輸入—輸出線性化的輸出函數），即（5.5a）（5.5b）4.計算狀態(tài)變換與輸入變換式(5.2)，其中

（5.6）輸入—狀態(tài)線性化方法第六十七頁，共一百一十二頁。例5.1考慮右圖所示機構的控制