概率統(tǒng)計和隨機過程第四章隨機變量的函數(shù)的分布課件

內容復習問題：已知隨機變量X的概率特性——分布函數(shù)或密度函數(shù)（分布律）Y=g(X)求

隨機因變量Y

的概率特性方法：將與Y

有關的事件轉化成X

的事件第四章隨機變量的函數(shù)的分布1設隨機變量X

的分布律為由已知函數(shù)g(x)可求出隨機變量Y的所有可能取值，則Y

的概率分布為離散型隨機變量函數(shù)的分布2已知隨機變量

X

的密度函數(shù)f(x)(或分布函數(shù))求Y=g(X)的密度函數(shù)或分布函數(shù)方法：（1）從分布函數(shù)出發(fā)（2）從密度函數(shù)出發(fā)

連續(xù)性隨機變量函數(shù)的分布3特別地，若g(x)為單調函數(shù)，則y=g(x)xyx1其中x1=g

1(y)5定理1定理27當(X,Y)為離散型隨機變量時，Z

也為離散型，離散型二維隨機變量的函數(shù)9

設

X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且X,Y相互獨立，則X+Y~B(n1+n2,p)關于離散型隨機變量的兩個重要結論：

設

X~P(1),Y~P(2),且X,Y相互獨立，則X+Y~P(1+2)

10問題：已知二維連續(xù)隨機變量(X,Y)的概率特性

g(x,y)為已知的二元函數(shù)，Z=g(X,Y)求：Z的概率分布和密度函數(shù)連續(xù)型二維隨機變量的函數(shù)當(X,Y)為連續(xù)型隨機變量時，其中11問題：已知隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)，

Z=g(X,Y),g(x,y)已知.求：Z的密度函數(shù)方法：

從求Z的分布函數(shù)出發(fā)，將Z的分布函數(shù)轉化為(X,Y)的事件

建立一個新的二維隨機變量(Z,X)或(Z,Y),

求其邊緣分布得Z的密度函數(shù)二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布13(1)和的分布：Z=X+Y

設(X,Y)為連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y),則?z?zx+y=z或14特別地，若X,Y相互獨立，則或或稱之為函數(shù)

fX

(z)與fY

(z)的卷積15z1z=xz-1=xx2117解法二從分布函數(shù)出發(fā)x+y=z當z<0時，1yx118x+y=z當0z<1時，1yx1?z?z191yx1x+y=z22當2

z時，21對于X,Y不相互獨立的情形可同樣的用直接求密度函數(shù)與通過分布函數(shù)求密度函數(shù)兩種方法求和的分布例2

已知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為Z=X+Y,求fZ(z)解法一（圖形定限法）由公式（1）最重要一步22zxz=xz=2xx=112當z<0或z>2,zzzz當0<z<1,當1<z<2,fZ

(z)=023解法二（不等式組定限法）考慮被積函數(shù)取非零值的區(qū)域由此不等式邊邊相等，解得z軸上的三個分界點0，1，2當或時不等式組無解當時不等式組解為當時不等式組解為2526另一種計算fZ(z)的方法:

先構造一個新的二維隨機變量(Z,U),

它們是

(X,Y)的函數(shù)，而Z=aX+bY+c

求(Z,U)的聯(lián)合密度函數(shù)f(z,u)

求邊緣密度fZ(z)29設存在唯一的反函數(shù)：h,s有連續(xù)的偏導數(shù)，記則已知(X,Y)的聯(lián)合密度fXY(x,y)求(Z,U)的聯(lián)合密度函數(shù)fZU(z,u)的方法：30證31例3

已知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為Z=X+Y,求fZ(z)解法三令32uzz=uz=u+12z=2u11最重要一步33z=2u2uzz=u+134例4

已知(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)