數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入配套課件 文 新人教A版

第五節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是__，虛部是__.(2)分類：ab滿足條件(a,b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a+bi為實(shí)數(shù)?____a+bi為虛數(shù)?_____a+bi為純虛數(shù)?_________b=0b≠0(3)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di?_________(a,b,c,d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?________(a,b,c,d∈R).(5)復(fù)數(shù)的模：向量的長度叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作____或_______，即|z|=|a+bi|=_________(a,b∈R).|z||a+bi|2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面的概念：建立___________來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.(2)實(shí)軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi),x軸叫做_____,y軸叫做_____，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示_____；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示_______.(3)復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)_______平面向量______.直角坐標(biāo)系實(shí)軸虛軸實(shí)數(shù)純虛數(shù)一一對應(yīng)Z(a,b)一一對應(yīng)3.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算(1)運(yùn)算法則:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，則運(yùn)算名稱符號表示語言敘述加減法z1±z2=(a+bi)±(c+di)=_______________把實(shí)部、虛部分別相加減乘法z1?z2=(a+bi)(c+di)=_________________按照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，并把i2換成-1(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)i運(yùn)算名稱符號表示語言敘述除法=_____________________(c+di≠0)把分子、分母分別乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，然后分子、分母進(jìn)行乘法運(yùn)算(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律:設(shè)z1,z2,z3∈C，則復(fù)數(shù)加法滿足以下運(yùn)算律:①交換律：z1+z2=_____；②結(jié)合律：(z1+z2)+z3=__________.z2+z1z1+(z2+z3)判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?.(1)方程x2+x+1=0沒有解.()(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中，虛部為bi.()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(4)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).()(5)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.()(6)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的加減運(yùn)算，乘法運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，除法運(yùn)算類似于分母有理化，在乘除運(yùn)算中要注意i2=-1.()【解析】(1)錯(cuò)誤.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程x2+x+1=0沒有實(shí)數(shù)解；但在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，此方程有解，且解為故不正確.(2)錯(cuò)誤.根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，在復(fù)數(shù)z=a+bi中，虛部應(yīng)為b.故不正確.(3)錯(cuò)誤.只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都為實(shí)數(shù)時(shí)，它們才能比較大小，其他情況不能比較大小.故不正確.(4)正確.原點(diǎn)在實(shí)軸上，也在虛軸上.故正確.(5)正確.根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知此結(jié)論正確.(6)正確.根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算的法則，結(jié)論正確.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√1.已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)為純虛數(shù)，則a的值為()【解析】選A.(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)i為純虛數(shù)，故得2.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題：p1:|z|=2；p2:z2=2i；p3:z的共軛復(fù)數(shù)為-1+i；p4:z的虛部為1.其中真命題為()(A)p2,p3(B)p1,p2(C)p2,p4(D)p3,p4【解析】選C.∴z的共軛復(fù)數(shù)為1-i,z的虛部為1，故C正確.3.若a，b∈R，i為虛數(shù)單位，且(a＋i)i＝b＋i，則()(A)a＝1，b＝1(B)a＝－1，b＝1(C)a＝1，b＝－1(D)a＝－1，b＝－1【解析】選C.由(a＋i)i＝b＋i，得：－1＋ai＝b＋i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得：a＝1，b＝－1.4.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】選C.故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為位于第三象限.5.已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若(O為原點(diǎn))，則x＋y=_______.【解析】由得(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1)，∴解得故x＋y＝5.答案：56.設(shè)z1是復(fù)數(shù)，(其中表示z1的共軛復(fù)數(shù))，已知z2的實(shí)部是－1，則z2的虛部為_____.【解析】設(shè)z1＝x＋yi(x，y∈R)，則z2＝x＋yi－i(x－yi)＝(x－y)＋(y－x)i，故有x－y＝－1，則y－x＝1.答案：1考向1

復(fù)數(shù)的概念【典例1】(1)(2012·江西高考)若復(fù)數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位),是z的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為()(A)0(B)-1(C)1(D)-2(2)(2012·湖南高考)已知復(fù)數(shù)z=(3+i)2(i為虛數(shù)單位)，則|z|=_______.(3)(2012·江蘇高考)設(shè)a,b∈R，(i為虛數(shù)單位)，則a+b的值為_______.【思路點(diǎn)撥】【規(guī)范解答】(1)選A.因?yàn)閦=1+i，所以=1-i，∴故虛部為0.(2)由條件得z=(3+i)2=9+6i-1=8+6i,∴|z|=答案：10(3)∵a+bi=∴a=5,b=3,∴a+b=8.答案：8【互動(dòng)探究】本例(3)的條件不變，結(jié)論改為“則復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)=__________”.結(jié)果如何？【解析】由例(3)的解題過程可得z=5+3i，所以=5-3i.答案：5-3i【拓展提升】解答復(fù)數(shù)概念題的兩個(gè)策略(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，確定出實(shí)部、虛部即可．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝實(shí)際上就是指復(fù)平面上的點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離；|z1－z2|的幾何意義是復(fù)平面上的點(diǎn)Z1,Z2兩點(diǎn)間的距離．【變式備選】(1)若復(fù)數(shù)(a∈R，i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()(A)-2(B)4(C)-6(D)6【解析】選C.∵復(fù)數(shù)是純虛數(shù),∴∴a=-6.(2)已知a∈R，復(fù)數(shù)z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為_____.【解析】∵為純虛數(shù)，∴∴a＝1,∴,故的虛部為1.答案：1考向2

復(fù)數(shù)的幾何意義【典例2】(1)在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()(A)1－2i (B)－1＋2i(C)3＋4i (D)－3－4i(2)(2013·惠州模擬)設(shè)z1=3-4i,z2=-2+3i，則z1+z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)已知f(x)=x2,i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在()(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義求解．(2)求z1+z2，由實(shí)部、虛部確定點(diǎn)所在象限.(3)求出復(fù)數(shù)再判斷對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【規(guī)范解答】(1)選D.向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－2－i，∵∴對應(yīng)的復(fù)數(shù)是(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.(2)選D.z1+z2=(3-2)+(-4+3)i=1-i,對應(yīng)點(diǎn)為(1，-1)，∴在第四象限.(3)選A.故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)是()，在第一象限.【拓展提升】復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用（1）復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系，即z=a+bi（a，b∈R）Z（a，b）

（2）由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可以把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀化.【變式訓(xùn)練】（1）已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=i+2i2+3i3所對應(yīng)的點(diǎn)落在（）(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】選C.z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i，對應(yīng)的點(diǎn)是(-2,-2)，故選C.(2)已知復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面的第二、四象限的角平分線上，則實(shí)數(shù)a=______.【解析】已知復(fù)數(shù)=-1-(a+1)i,由題意知a+1=-1，解得a=-2.答案：－2考向3

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算【典例3】(1)(2012·遼寧高考)復(fù)數(shù)()(A)(B)(C)1-i(D)1+i(2)(2012·安徽高考)復(fù)數(shù)z滿足(z-i)i=2+i，則z=()(A)-1-i(B)1-i(C)-1+3i(D)1-2i(3)若z=cosθ+isinθ(i為虛數(shù)單位)，則使z2=1成立的θ值可能是()(A)(B)(C)(D)π【思路點(diǎn)撥】(1)將復(fù)數(shù)進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則計(jì)算.(2)將等式化簡，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.(3)先求出z2，再根據(jù)條件得到關(guān)于θ的三角函數(shù)關(guān)系式，驗(yàn)證求解即可.【規(guī)范解答】(1)選A.(2)選B.(z-i)i=2+i?z=(3)選D.z2=(cosθ+isinθ)2=cos2θ+isin2θ=1,∴cos2θ=1,sin2θ=0,∴θ=kπ,k∈Z,經(jīng)驗(yàn)證知選項(xiàng)D成立.【拓展提升】1.復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的解答策略復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式．2.幾個(gè)常用結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度.(1)(1±i)2=±2i;(2)-b+ai=i(a+bi).(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.【提醒】熟練把握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】(1)(2012·天津高考)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)()(A)1-i(B)-1+i(C)1+i(D)-1-i【解析】選(2)復(fù)數(shù)z＝1＋i，為z的共軛復(fù)數(shù)，則()(A)－2i(B)－i(C)i(D)2i【解析】選B.依題意得選B.【創(chuàng)新體驗(yàn)】復(fù)數(shù)中的新定義問題【典例】(2013·廣州模擬)在實(shí)數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“＞”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”．類似地，我們在復(fù)數(shù)集C上也可以定義一個(gè)稱為“序”的關(guān)系，記為“＞”．定義如下：對于任意兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R)，z1＞z2當(dāng)且僅當(dāng)“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．按上述定義的關(guān)系“＞”，給出如下四個(gè)命題：①若z1＞z2，則|z1|＞|z2|；②若z1＞z2，z2＞z3，則z1＞z3；③若z1＞z2，則對于任意z∈C，z1+z＞z2+z；④對于復(fù)數(shù)z＞0，若z1＞z2，則zz1＞zz2.其中所有真命題的個(gè)數(shù)為()(A)1(B)2(C)3(D)4【思路點(diǎn)撥】【規(guī)范解答】選B.對于復(fù)數(shù)z1=2+i,z2=1-3i顯然滿足z1＞z2，但|z1|=,|z2|=，不滿足|z1|＞|z2|，故①不正確；設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i，由z1＞z2,z2＞z3可得“a1＞a3”或“a1=a3且b1＞b3”，故②正確；設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z=a+bi，由z1＞z2可得“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．顯然有“a1+a＞a2+a”或“a1+a=a2+a且b1+b＞b2+b”，從而z1+z＞z2+z.故③正確；對于復(fù)數(shù)z1=2+i,z2=1-3i顯然滿足z1＞z2，令z=1+i，則zz1=(1+i)(2+i)=1+3i，zz2=(1+i)(1-3i)=4-2i,顯然不滿足zz1＞zz2，故④錯(cuò)誤.綜上②③正確，故選B.【思考點(diǎn)評】1.方法感悟本題體現(xiàn)了類比方法的運(yùn)用，即通過類比的方式，給出了復(fù)數(shù)中與實(shí)數(shù)類似的結(jié)論，借以考查閱讀理解和應(yīng)用新知識解決問題的能力.這種類比的方法在數(shù)學(xué)中可以幫助我們得到一些新的結(jié)論.2.技巧提升利用復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比來命題是一個(gè)新的考查方向，主要以給出新概念或新運(yùn)算為主，用來考查學(xué)生的閱讀理解、應(yīng)用新知識解決問題的能力.從實(shí)質(zhì)上看，此類問題考查的還是基礎(chǔ)知識和基本技能，解題的關(guān)鍵是抓住新概念或新運(yùn)算的特征，對所給的新信息進(jìn)行分析，并且將所給信息與所學(xué)知識相結(jié)合.

1.(2013·廣州模擬)已知m∈R，復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則m=()(A)(B)2(C)-1(D)-2【解析】選A.由的實(shí)部和虛部相等，則即.2.(2013·湛江模擬)i是虛數(shù)單位，i+i2+i3+i4+…+i2013等于()(A)1(B)0(C)i(D)-i【解析】選C.因?yàn)閕4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n=0，所以i+i2+…+i2013=i.3.(2012·廣東高考)設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)()(A)-4-3i(B)-4+3i(C)4+3i(D)4-3i【解析】選D.4.(2012·新課標(biāo)全國卷)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()(A)