2018第一學(xué)期-概率統(tǒng)計

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問題：已知二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)，

g(x,y)為已知的二元函數(shù)，Z=g(X,Y)求：Z的密度函數(shù)方法：先求Z的分布函數(shù)，將Z的分布函數(shù)轉(zhuǎn)化為(X,Y)的事件二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布(1)和的分布：Z=X+Y

設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,y),則?z?zx+y=z或YX特別地，若X,Y相互獨立，則或為有向直線或稱之為函數(shù)

(z)與fY

(z)的卷積

例1

已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為Z=X+Y,求fZ(z)顯然X,Y相互獨立,且解：先求分布函數(shù)1yx1x+y=z當(dāng)z<0時，1yx1x+y=z當(dāng)0z<1時，1yx1?z?z?(x,z-x)?xx+y=z當(dāng)1

z<2

時，z-11yx1?z?z?(x,0)?(x,z-x)1yx1x+y=z22當(dāng)2

z時，1yx1另解（沿直線積分直接求密度）當(dāng)或時當(dāng)時x+y=z1yx1當(dāng)時x+y=z對于X,Y不相互獨立的情形可同樣的用直接求密度函數(shù)與通過分布函數(shù)求密度函數(shù)兩種方法求和的分布例2

已知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為Z=X+Y,求fZ(z)1yx解（沿直線積分直接求密度）當(dāng)或時當(dāng)時zx1當(dāng)時zx1這比用分布函數(shù)做簡便推廣1：已知(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)

求Z=aX+bY+c

的密度函數(shù),

其中a,b,c為常數(shù)，a,b

0為有向直線

若X,Y相互獨立,

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