第二節(jié)-牛頓迭代法

第三節(jié)

牛頓迭代法與弦割法1、牛頓法基本思想將非線性方程線性化，以線性方程的解逼近非線性方程的解。將非線性方程線性化，取x0

x*，將f(x)在x0

處做一階Taylor展開:，在x0

和x

之間2.

牛頓迭代法的原理

，可將(x*

x0)2

看成高階小量，則有：如何實現(xiàn)？？取xyx*x0只要f

C1，每一步迭代都有而且，則

x*就是f

的根。是如下線性方程的根！3.牛頓迭代法的幾何解釋：方程的根在幾何上是曲線與x

軸的交點的橫坐標。若是根的一個近似，過曲線上橫坐標為的點作曲線的切線，則該切線與

x軸交點的橫坐標即為。xyx*x0例2.5：寫出求的牛頓迭代格式；寫出求的牛頓迭代格式,要求公式中既無開方運算，又無除法運算。解：等價于求方程的正根解法一：等價于求方程的根退化為二分法?。〗夥ǘ旱葍r于求方程的正根設x*

為方程f(x)=0的根，在包含x*的某個開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且，則存在x*的鄰域，使得任取初值，由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列以不低于二階的收斂速度收斂于x*.4、牛頓迭代法的局部收斂性定理其中，則收斂證明：牛頓迭代法事實上是一種特殊的不動點迭代定義1.

--------(9)3.5迭代法收斂階與加速收斂1、迭代法收斂階與加速收斂定理3-6.

2.Newton迭代法收斂定理（1）Newton迭代公式在單根情況下至少2階收斂;

（2）

定理

設f(x*)=0,,且在x*的鄰域上f二次連續(xù)可微

，則可得證：將f(x)在xn處作2階Taylor展開,并將解x*代入注意到ξn在xn及x*之間,及,故

所以，Newton法至少二階收斂.

注意到ξn在xn及x*之間,及,故例3.為線性收斂證明:所以例4.至少是平方收斂的由定義1注意例4與例3的迭代法是相同的,兩例有何區(qū)別?證明:令則所以由定理2該迭代法至少是平方收斂的

Newton迭代公式是一種特殊的不動點迭代,其迭代函數(shù)為:

Newton迭代是局部線性化方法,它在單根附近具有較高的收斂速度.

方法有效前提:

Newton迭代法的特征

牛頓迭代法的優(yōu)缺點優(yōu)點：在單根附近,牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過程中只要迭代幾次就會得到很精確解。

缺點:1.重根情形下為局部線性收斂;2.牛頓迭代法計算量比較大:因每次迭代除計算函數(shù)值外還要計算微商值;3.選定的初值要接近方程的解，否則有可能得不到收斂的結(jié)果;21牛頓迭代法的改進缺點克服:

1.局部線性收斂------改進公式或加速2.每步都要計算微商值-----簡化Newton迭代法

或弦截法3.初值近似問題-------二分法求初值或”下山算法”21方法一.若已知重數(shù)m(m>1),則利用m構(gòu)造新的迭代公式:此時,,至少2階收斂.不實用:m往往不確定.方法二.取,再對函數(shù)F(x)用Newton迭代:6.Newton法的改進(I)---重根情形從而可構(gòu)造出相應的迭代法格式為對構(gòu)造出相應的牛頓迭代格式，迭代函數(shù)為若已知根的重數(shù)為n，可將迭代格式改為，則，所以上述格式是平方收斂的。收斂比牛頓迭代法慢，且對初值要求同樣高。第五節(jié)弦割法x0x1切線

割線

切線斜率

割線斜率需要2個初值x0

和x1。基本思想：牛頓迭代法每一步要計算f和，為了避免計算導數(shù)值，現(xiàn)用f

的差商近似代替微商，從而得到弦割法。x2Th2.10

局部收斂性設表示區(qū)間，x*為方程f(x)=0的根，函數(shù)f(