第八章 非線性控制系統(tǒng)分析

第八章非線性控制系統(tǒng)分析8.1非線性控制系統(tǒng)概述8.2常見非線性特性及其對系統(tǒng)運動的影響8.3相平面法8.4描述函數(shù)法非線性現(xiàn)象的普遍性非線性是宇宙間的普遍規(guī)律非線性系統(tǒng)的運動形式多樣，種類繁多線性系統(tǒng)只是在特定條件下的近似描述典型非線性特性

一、研究非線性控制理論的意義8.1非線性控制系統(tǒng)概述繼電特性飽和死區(qū)(不靈敏區(qū))間隙1、不能應(yīng)用疊加原理非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的根本區(qū)別：非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理線性系統(tǒng)的運動特征與輸入幅值、系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)，通常是在典型輸入函數(shù)和零值初始條件下進行研究，但非線性系統(tǒng)不能這樣進行研究。二、非線性系統(tǒng)運動的特殊性2、穩(wěn)定性分析復(fù)雜線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，而與外部作用和初始條件無關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性：與系統(tǒng)的參數(shù)與結(jié)構(gòu)、運動的初始狀態(tài)、輸入信號有直接關(guān)系。非線性系統(tǒng)的某些平衡狀態(tài)(如果不止有一個平衡狀態(tài)的話)可能是穩(wěn)定的，而另外一些平衡狀態(tài)卻可能是不穩(wěn)定的。時間響應(yīng)曲線平衡狀態(tài)：x=0x=1平衡狀態(tài)：變量對時間的導(dǎo)數(shù)全為零的狀態(tài)。3、可能存在自振蕩現(xiàn)象非線性系統(tǒng)在沒有外界周期信號的激勵下，能以固有的振幅和固有的頻率產(chǎn)生穩(wěn)定的振蕩，即所謂的自振蕩（自持振蕩）。在控制系統(tǒng)中，自激振蕩會造成機械磨損、能量消耗、并帶來控制誤差等，自激振蕩是要設(shè)法抑制的。自振蕩是非線性系統(tǒng)分析中的重要的內(nèi)容之一。4、頻率響應(yīng)發(fā)生畸變非線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量(基波分量)外，還含有關(guān)于ω的高次諧波分量。使輸出波形發(fā)生非線性畸變。三、非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計方法1.相平面法--基于時域分析的圖解法通過在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非線性微分方程在不同初始條件下解的運動形式。相平面法僅適用于一階和二階系統(tǒng)。2.描述函數(shù)法—基于頻域的等效線性化方法通過諧波線性化，將非線性特性近似表示為復(fù)變增益環(huán)節(jié)，然后推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。3.逆系統(tǒng)法運用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)，設(shè)計外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)。該方法應(yīng)用數(shù)學(xué)工具直接研究非線性控制問題，不必求解非線性系統(tǒng)的運動方程，是非線性系統(tǒng)控制研究的發(fā)展方向。4、小范圍線性近似法

在平衡點近似線性化方法，通過在平衡點附近進行泰勒展開，可將非線性微分方程化為線性微分方程，然后按線性系統(tǒng)的理論進行處理。該方法局限于小區(qū)域研究。5、逐段線性近似法

將非線性系統(tǒng)近似為幾個線性區(qū)域，在每個區(qū)域用相應(yīng)的線性微分方程描述，將各段的解合在一起即可得到系統(tǒng)的全解。8.2常見非線性特性及其對系統(tǒng)運動的影響一、非線性系統(tǒng)等效增益系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系（穩(wěn)態(tài)）：等效增益：線性系統(tǒng)：k為常數(shù)。非線性系統(tǒng)：k變化一）、飽和特性xya-a斜率k0對系統(tǒng)的影響：使系統(tǒng)開環(huán)增益下降，對動態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性有利；使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降。二、常見非線性二）、死區(qū)特性△-△0斜率kxy對系統(tǒng)的影響：使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差；當系統(tǒng)輸入端存在小擾動信號時，在系統(tǒng)動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)值附近，死區(qū)的作用可減小擾動信號的影響。三）、間隙特性對系統(tǒng)的影響：增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，使過渡過程振蕩加劇，甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定。一般來說，間隙特性對系統(tǒng)總是有害的，應(yīng)該消除或消弱它的影響。0yxh-h斜率kc-c四）、繼電特性0-MMyx對系統(tǒng)的影響：可能會產(chǎn)生自激振蕩，使系統(tǒng)不穩(wěn)定或穩(wěn)態(tài)誤差增大；如選得合適可能提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。理想繼電氣特性其他繼電特性0yx-MM-hh滯環(huán)+繼電0yx-MM-△△死區(qū)+繼電0yx-MM-△△死區(qū)+間隙+繼電三、非線性對系統(tǒng)運動影響

當e很小→等效增益k=M/e很大kK根跡增益很大特征根s1、2=-1±j∞則出現(xiàn)高頻小幅值震蕩8.3相平面法

相平面法由龐加萊1885年首先提出，是一種求解一、二階常微分方程的圖解法。其實質(zhì)是將系統(tǒng)的運動過程形象地轉(zhuǎn)化為相平面上一個點的移動，通過研究這個點的移動軌跡，就可獲得系統(tǒng)運動規(guī)律的全部信息。相平面法可以用來分析一、二階線性或非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、時間響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)精度及初始條件和參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響。相平面法繪制步驟簡單、計算量小，特別適用于分析常見非線性特性和一階、二階線性環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng)。一、相平面基本概念下圖為二階線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖描述系統(tǒng)誤差的微分方程為K1/s1/(Ts+1)誤差信號的拉氏變換為若輸入信號為單位階躍函數(shù)，則當t≥0時，有解這個微分方程可以確定和若以為坐標軸，作二維狀態(tài)平面，這個平面成為相平面。這兩個變量稱為相變量。那么對應(yīng)于相平面上的一個點。系統(tǒng)的每一狀態(tài)(即“相”)均對應(yīng)于相平面上的一點，將每一時刻的的值構(gòu)成的點都繪在相平面上，并按時間的先后連接起來，就得到這個系統(tǒng)的變化軌跡線，稱為相軌跡。用箭頭表示時間增大的方向。相平面和相軌跡簇組成了相平面圖可以直觀地表明一階或二階系統(tǒng)在各種初始條件下的運動過程一般的二階系統(tǒng)均可表示為改寫成若取為橫坐標，為縱坐標，則是相軌跡的斜率，相軌跡上任何一點都滿足這個方程。若令(常數(shù))則有:稱其為等傾線方程根據(jù)等傾線：相平面上的一條曲線，當相軌跡與該線任意一點相交，則切線斜率相同。二相平面圖的繪制方法1、解析法例8－1試繪制單位質(zhì)量自由落體運動的相平面圖解析法適用于由較簡單的微分方程描述的系統(tǒng)解以地面為參考零點，向上為正，x為位移，則有又所以等式兩端積分，有整理后得通過相平面圖可以分析物體的運動情況整理后得例8－2

二階系統(tǒng)的微分方程為解根據(jù)題設(shè)可寫成等式兩端積分，有整理后得試繪制系統(tǒng)的相平面圖這時有自振蕩結(jié)論：1、在上半平面，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡曲線運動的方向是x增大的方向，即向右移動；在下半平面向左移動2、同時滿足和的點稱為奇點

3、自持振蕩的相軌跡是封閉曲線4、相軌跡通常與x軸垂直相交2、等傾法任何一條曲線都可以用有限段足夠短的直線來逼近，那么通過等傾線法就可以繪制出系統(tǒng)的相平面圖。等傾線是指相平面上相軌跡斜率相等的諸點的連線。即則與該曲線相交的任何相軌跡在交點處的切線斜率均為k，該曲線稱為等傾線。設(shè)斜率為k，則有等傾線斜率注1：線性系統(tǒng)的等傾線為直線；注2：非線性系統(tǒng)的等傾線為曲線或折線。題設(shè)可改寫成為例8－2

繪制下面系統(tǒng)的相軌跡解根據(jù)整理后得到相軌跡的等傾線方程為若令ξ=0.5，ω=1，則有K-1-1.2-1.4-4-∞∞52.50.330tg-1K13513012510490tg-1907968180k是相軌跡切線的斜率-1/(1+k)是等傾線的斜率等傾線為直線令即題設(shè)可改寫成為例8－3繪制下面系統(tǒng)的相軌跡解根據(jù)整理后得到相軌跡的等傾線方程為等傾線為曲線解：例8-4:用等傾線法繪制的相軌跡。當以(x0,0)為初始條件時，是一個圓。a=-∞…，-2，-1，-0.5，0，0.5…∞時畫等傾線注意事項(4)等傾線分布越密，相軌跡越準確。(3)（非平衡點）相軌跡與x軸垂直相交；(2)上半平面，故x的走向應(yīng)沿x的增加的方向由左向右，下半平面反之；(1)坐標軸x和

比例尺相同；作業(yè)：8-1（1）、2內(nèi)容概要1、非線性系統(tǒng)的特征。

1）不能應(yīng)用疊加原理

2）穩(wěn)定性分析復(fù)雜

3）可能存在自震蕩

4）頻率特性發(fā)生畸變2、等效增益及常見非線性

1）等效增益變化

2）飽和、繼電、間隙、死區(qū)等3、相平面分析方法

1）若以

x和x的導(dǎo)數(shù)為坐標軸，作二維狀態(tài)平面，這個平面稱為相平面。這兩個變量稱為相變量。2）解析法3）等傾線法線性：等傾線為直線非線性：曲線

K為相軌跡的斜率。4、相平面相軌跡注意事項：注意事項(4)等傾線分布越密，相軌跡越準確。(3)（非平衡點）相軌跡與x軸垂直相交；(2)上半平面，故x的走向應(yīng)沿x的增加的方向由左向右，下半平面反之；(1)坐標軸x和

比例尺相同；三、線性系統(tǒng)的相軌跡

1.線性一階系統(tǒng)的相軌跡微分方程：相軌跡方程：設(shè)系統(tǒng)初始條件為c(0)=c02.線性二階系統(tǒng)的相軌跡微分方程：特征根：相軌跡微分方程：等傾線方程：討論二階線性系統(tǒng)的相軌跡1.b<0時2.b=0時3.b>0時(1)0<z<1s1s2--具有負實部的共軛復(fù)根(2)z=0s1s2--互異負實根(3)z=1s1s2--相等負實根(4)z>1s1s2--一對純虛根(5)-1<z<0s1s2--具有正實部的共軛復(fù)根(6)z≤-1s1s2--兩個正實根四、奇點和奇線1.奇點--同時滿足和的點。奇點一定位于相平面的橫軸上；相軌跡在奇點處切線斜率不定，表明系統(tǒng)在奇點處可以按任意方向趨近或離開奇點，因此相軌跡族曲線在奇點處發(fā)生相交；經(jīng)過奇點的相軌跡有多條，而經(jīng)過普通點的相軌跡只有一條；不同時滿足和的點，稱普通點。在奇點處，系統(tǒng)運動的速度和加速度同時為零，對二階系統(tǒng)而言，系統(tǒng)不再發(fā)生運動，處于平衡狀態(tài)，因此相平面上的奇點也稱為平衡點。奇點(0,0)的類型焦點系統(tǒng)特征根是具有負實部的共軛復(fù)根時，奇點為穩(wěn)定焦點；系統(tǒng)特征根是具有正實部的共軛復(fù)根時，奇點為不穩(wěn)定焦點。節(jié)點系統(tǒng)特征根是具有負實根時，奇點為穩(wěn)定節(jié)點；系統(tǒng)特征根是具有正實根時，奇點為不穩(wěn)定節(jié)點。鞍點系統(tǒng)特征根是具有一正一負實根時，奇點為鞍點。中心點系統(tǒng)具有兩個共軛純虛數(shù)根，奇點稱為中心點。j0j0j0穩(wěn)定焦點中心點不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定焦點鞍點j0λ2λ1j0λ1λ2二階系統(tǒng)奇點(0,0)的類型λ1j0λ2節(jié)點非線性系統(tǒng)的奇點類型奇點附近關(guān)于△x的線性二階微分方程：

將

在奇點處展開成泰勒級數(shù)，略去高次項。求解上式特征根，從而判斷奇點類型。

線性系統(tǒng)只有一個平衡狀態(tài)，因此，只有一個奇點。對零輸入的線性二階系統(tǒng)而言，奇點位于相平面的坐標原點。只要知道奇點的位置和類型，奇點附近的相軌跡的形狀就確定了，運動規(guī)律也就知道了。

非線性二階系統(tǒng)可能具有多個平衡狀態(tài)，也就有多個奇點。2.奇線--將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區(qū)域的特殊相軌跡。

非線性系統(tǒng)有一個與線性系統(tǒng)的完全不同的運動狀態(tài)，即自持振蕩，那么，在相平面上則表現(xiàn)為一個穩(wěn)定的極限環(huán)

極限環(huán)分為穩(wěn)定極限環(huán)、不穩(wěn)定極限環(huán)和半穩(wěn)定極限環(huán)三種類型。

極限環(huán)是一條封閉的相軌跡，它附近的相軌跡都漸進地趨向它或從它離開。

極限環(huán)是非線性系統(tǒng)的特有的現(xiàn)象，只發(fā)生在非守恒系統(tǒng)中，這種運動是由非線性特性，導(dǎo)致系統(tǒng)的能量交替變化。它與無阻尼線性二階系統(tǒng)的等幅振蕩是不同的。穩(wěn)定極限環(huán)

如果起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部或外部的相軌跡都漸進地趨向于這個極限環(huán)，任何較小的擾動使系統(tǒng)離開極限環(huán)后，最終相軌跡仍回到這個環(huán)上，這樣的極限環(huán)稱為穩(wěn)定的極限環(huán)。系統(tǒng)沿極限環(huán)的運動表現(xiàn)為自持振蕩。不穩(wěn)定極限環(huán)

如果起始于極限環(huán)鄰近范圍的內(nèi)部或外部的相軌跡都從極限環(huán)發(fā)散出去，任何較小的擾動使系統(tǒng)離開極限環(huán)后，系統(tǒng)的狀態(tài)將遠離極限環(huán)或趨向平衡點，這樣的極限環(huán)稱為不穩(wěn)定的極限環(huán)。半穩(wěn)定極限環(huán)

如果由極限環(huán)內(nèi)部起始的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去，由外部起始的相軌跡漸進地趨向極限環(huán)；或者由內(nèi)部起始的相軌跡漸進趨向極限環(huán)，由外部起始的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去，這樣的極限環(huán)稱為半穩(wěn)定的極限環(huán)。

這種極限環(huán)不會產(chǎn)生自持振蕩，系統(tǒng)的運動最終會趨向于極限環(huán)內(nèi)的奇點或遠離一個或數(shù)個極限環(huán)。例8-5:已知非線性系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的奇點，并繪制系統(tǒng)的相平面圖。解：系統(tǒng)相軌跡微分方程：奇點(0,0)處系統(tǒng)在奇點(0,0)處有一對具有負實部的共軛復(fù)根，故奇點(0,0)為穩(wěn)定的焦點。奇點(-2,0)處系統(tǒng)在奇點(-2,0)處有一正一負二個實根，故奇點(-2,0)為鞍點。實線為分隔線，虛線為相軌跡

由以上兩種奇點類型的相平面圖結(jié)合起來，可以畫出系統(tǒng)相平面圖的大致形狀，如下圖所示。非線性系統(tǒng)的相平面圖五、非線性系統(tǒng)的相平面分析相平面中的每一條相軌跡由結(jié)構(gòu)參數(shù)和初始條件確定。相平面中的每一條相軌跡是否連續(xù)？系統(tǒng)運行位移、速度不可能突變，相平面中的每一條相軌跡必定連續(xù)！非線性相軌跡如何分析？系統(tǒng)有非線性部分和線性部分組成。若僅線性則相軌跡易畫。非線性的特點：分段線性。又根據(jù)相軌跡連續(xù)，不同的線性畫出，然后連接即可。方法：用幾條分界線將相平面分為幾個線性區(qū)域；按各段的微分方程畫出各區(qū)域的相軌跡；將各區(qū)域的相軌跡連成實的連續(xù)曲線。1.具有死區(qū)特性的非線性控制系統(tǒng)例8-6系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸入r(t)=R.1(t)，試繪制偏差

e

的相平面圖。系統(tǒng)微分方程：給定參數(shù)：T=1，Kk=1在I區(qū)：穩(wěn)定焦點相軌跡為向心螺旋線

(z=0.5)在II區(qū)：在III區(qū)：穩(wěn)定焦點相軌跡沿直線收斂相軌跡為向心螺旋線

(z=0.5)

根據(jù)區(qū)域奇點類型及對應(yīng)的運動形式，作相軌跡如下圖實線所示。

例8-7已知：T=1,K=4,e0=M0=0.2，若系統(tǒng)開始處于零初始狀態(tài)，試做出r(t)=R.1(t)時系統(tǒng)的相平面圖。2.具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)解：根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，有：在I區(qū)：等傾線方程：等傾線為一簇水平線，斜率為a。漸近線(a=0)：在III區(qū)：等傾線方程：同理有漸近線(a=0)：在II區(qū)：將數(shù)據(jù)代入：特征根：奇點(原點)為穩(wěn)定焦點

根據(jù)區(qū)域奇點類型及對應(yīng)的運動形式，作相軌跡如下圖所示。作業(yè)：8-3（1）（4）

8-6內(nèi)容概要1、一階、二階線性系統(tǒng)相軌跡。特征根與相軌跡圖形。2、奇點及奇線。奇點的類型：焦點、節(jié)點、中心點、鞍點。極限環(huán)：穩(wěn)定、不穩(wěn)定、半穩(wěn)定。3、非線性系統(tǒng)奇點的類型：平衡點求法。平衡點線性化。按線性系統(tǒng)分析其平衡點。4、非線性系統(tǒng)相軌跡。方法：用幾條分界線將相平面分為幾個線性區(qū)域；按各段的微分方程畫出各區(qū)域的相軌跡；將各區(qū)域的相軌跡連成實的連續(xù)曲線。8.4描述函數(shù)法引言：對于線性系統(tǒng),當輸入是正弦信號時,輸出穩(wěn)定后是相同頻率的正弦信號,其幅值和相位隨著頻率的變化而變化,這就是利用頻率特性分析系統(tǒng)的頻域法的基礎(chǔ)。對于非線性系統(tǒng),當輸入是正弦信號時,輸出穩(wěn)定后通常不是正弦的,而是與輸入同頻率的周期非正弦信號,它可以分解成一系列正弦波的疊加,其基波頻率與輸入正弦信號的頻率相同。G(s)非線性環(huán)節(jié)X(t)設(shè)非線性環(huán)節(jié)的正弦輸入為x(t)=Xsinωt,則輸出為設(shè)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示式中：令n＝1,2,…。

由于系統(tǒng)通常具有低通濾波特性,其他諧波各項比基波小,所以可以用基波分量近似系統(tǒng)的輸出。假定非線性環(huán)節(jié)關(guān)于原點對稱,

則輸出的直流分量等于零,即A0＝0,則：

y(t)=A1cosωt+B1sinωt=Y1sin(ωt+φ1)1、定義：非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為非線性環(huán)節(jié)輸出的基波與輸入信號二者的復(fù)數(shù)符號的比值,即

式中,

N為描述函數(shù),A是正弦輸入信號的幅值,Y1是輸出信號基波的幅值,φ1為輸出信號基波與輸入信號的相位差。一、描述函數(shù)的基本概念

如果非線性環(huán)節(jié)中不包含儲能機構(gòu)(即非記憶),即N的特性可以用代數(shù)方程(而不是微分方程)描述,則y(t)與頻率無關(guān)。描述函數(shù)只是輸入信號幅值A(chǔ)的函數(shù),即N＝N(A),

而與ω無關(guān)。例8-8：設(shè)繼電特性為計算該非線性特性的描述函數(shù)。解：M-M非線性特性為輸入

x的奇函數(shù)時：

y(t)為奇函數(shù)，且又為半周期對稱時：非線性特性為輸入x

的奇函數(shù)時：例8-9:設(shè)某非線性元件的特性為試計算其描述函數(shù)。解：Qy(x)為x的奇函數(shù)

Qy(t)為奇函數(shù)，且又為半周期對稱時由定積分公式得：2、非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用條件(1)非線性系統(tǒng)應(yīng)簡化一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式；-x(t)非線性部分Ny(t)c(t)r(t)線性部分G(s)(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性應(yīng)為：y(x)是x

的奇函數(shù)，即f(x)=-f(x)，或正弦輸入下的輸出為t的奇對稱函數(shù)，即y(t+p/w)=-y(t)，以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)不含有常值分量，即A0=0；(3)系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波性能。P4378-12設(shè)三個非線性系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)一樣，其線性部分傳遞函數(shù)如下列各式，用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)時，哪個系統(tǒng)分析的準確度高？120.111010020400.673顯然（2）具有更好的低通濾波特性，所以系統(tǒng)分析的準確度更好。哪個低通特性好？3、描述函數(shù)的物理意義

非線性環(huán)節(jié)僅考慮基波分量，非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)表現(xiàn)為復(fù)數(shù)增益的放大器。注意：描述函數(shù)表現(xiàn)為關(guān)于輸入正弦信號的幅值A(chǔ)的復(fù)變增益放大器，這正是非線性環(huán)節(jié)的的近似頻率特性與線性系統(tǒng)頻率特性的本質(zhì)區(qū)別。二、典型非線性特性的描述函數(shù)非線性元件的描述函數(shù)計算步驟：1.設(shè)非線性元件的輸入x(t)=Asinwt根據(jù)該元件的特性，確定其輸出y(t)的表達式；2.將y(t)展成傅立葉級數(shù)；3.取級數(shù)中的基波，求描述函數(shù)。典型非線性特性的描述函數(shù)1.理想繼電器特性2.死區(qū)繼電器特性3.滯環(huán)繼電器特性4.飽和特性5.死區(qū)飽和特性6.死區(qū)特性7.間隙特性8.變增益特性9.有死區(qū)的線性特性10.庫侖摩擦加粘性摩擦特性Δ三、非線性系統(tǒng)的簡化1.非線性特性的并聯(lián)

若兩個非線性特性輸入相同，輸出相加、減，則等效非線性特性為兩個非線性特性的疊加。2.非線性特性的串聯(lián)--圖解法

兩個非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，等效特性還取決于其前后次序，調(diào)換次序則等效非線性特性亦不同。3.線性環(huán)節(jié)的等效變換--結(jié)構(gòu)框圖化簡G1G2NG3r(t)=0c(t)--G1G2NG3r(t)=0c(t)1/G1--G1G2NG3r(t)=0c(t)1/G1--G1G2NG3r(t)=01/G1-r(t)=0c(t)-NG3r(t)=01/G1-r(t)=0c(t)r(t)=0-Nc(t)G1G2NG3r(t)=0c(t)--r(t)=0-Nc(t)或者直接求解：P437習題8-14將非線性系統(tǒng)簡化成典型結(jié)構(gòu)圖形式，并寫出線性部分的傳遞函數(shù)。（1）NG1(s)H1(s)r=0c--NG1(s)1+H1(s)r=0c-NG1(s)[1+H1(s)]r=0c-結(jié)構(gòu)圖化簡：直接求解：NG1(s)[1+H1(s)]r=0c-（2）NG1(s)H1(s)r=0c--NG1(s)H1(s)r=0c--NH1(s)r=0c-Nr=0c-結(jié)構(gòu)圖化簡直接求解：N(A)G(s)r(t)=0c(t)-四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法1.變增益線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：設(shè)G(s)的極點均在s左半平面當G(jw)不包圍(-1/K，j0)點時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當G(jw)

包圍(-1/K，j0)點時，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；當G(jw)

穿過(-1/K，j0)點時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。j0G(jw)當G(jw)不包圍(-1/K，j0)直線，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；當G(jw)包圍(-1/K，j0)直線時，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。

設(shè)K1≤K≤K2，則(-1/K，j0)為復(fù)平面實軸上的一段直線。j0G(jw)2.應(yīng)用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性-x(t)非線性部分N(A)y(t)c(t)r(t)線性部分G(jw)設(shè)G(s)的極點均位于s左半平面閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：--非線性環(huán)節(jié)的負倒描述函數(shù)G(jw)與

-1/N(A)曲線無交點：G(jw)包圍-1/N(A)，非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。G(jw)不包圍-1/N(A)，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：

若G(jw)不包圍

-1/N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；若G(jw)包圍

-1/N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。內(nèi)容概要一、描述函數(shù)的基本概念1、定義2、非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應(yīng)用條件二、典型非線性特性的描述函數(shù)三、非線性系統(tǒng)的簡化四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法作業(yè)講解：8-12、14例8-5:已知非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：對于線性環(huán)節(jié)，解得穿越頻率：(例5-2）非線性環(huán)節(jié)為庫侖摩擦加粘性摩擦特性，查表8-1得G(jw)包圍-1/N(A)曲線非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定3.非線性系統(tǒng)存在周期運動時的穩(wěn)定性分析(考研點）當G(jw)與-1/N(A)

有交點時可解得交點處的頻率w和幅值A(chǔ)或

系統(tǒng)處于周期運動時，非線性環(huán)節(jié)的輸入近似為等幅振蕩，即每一個交點對應(yīng)著一個周期運動。

如果該周期運動能夠維持，即考慮外界小擾動作用使系統(tǒng)偏離該周期運動，當該擾動消失后，系統(tǒng)的運動仍能恢復(fù)原周期運動，則稱為穩(wěn)定的周期運動。非線性系統(tǒng)存在周期運動的四種形式設(shè)系統(tǒng)周期運動的幅值為A0。當外界擾動使非線性環(huán)節(jié)輸入振幅減小到A1時，

G(jw)包圍(-1/N(A1),j0)點，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅增大，最終回到N0點。外界擾動使輸入振幅增大到A2時，

G(jw)不包圍(-1/N(A2),j0)點，系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅減小，最終回到N0點。

因此N0點對應(yīng)的周期運動是穩(wěn)定的。外界擾動使非線性環(huán)節(jié)輸入振幅減小到A2時，G(jw)包圍(-1/N(A2),j0)點，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅繼續(xù)增大而發(fā)散；外界擾動使輸入振幅減小到A1時，G(jw)不包圍

(-1/N(A1),j0)點，系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅減小，最終衰減到零；

因此N0點對應(yīng)的周期運動是不穩(wěn)定的。N20