冀教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第30章二次函數(shù)

第三十章二次函數(shù)30.1二次函數(shù)籃球運(yùn)行的路線是什么曲線？怎樣出手才能把球投進(jìn)籃圈？起跳多高才能成功蓋帽？在一個(gè)變化過程中,如果有兩個(gè)變量x與y,并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng),那么就說y是x的函數(shù),x是自變量.函數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)y=kx+b(k≠0)(正比例函數(shù))y=kx(k≠0)y=(k≠0)kx函數(shù):

正方體的六個(gè)面是全等的正方形,設(shè)正方形的棱長(zhǎng)為x,表面積為y,顯然對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值,即y是x的函數(shù),它們的具體關(guān)系可以表示為問題:y=6x2①問題1多邊形的對(duì)角線數(shù)d與邊數(shù)n有什么關(guān)系？由圖可以想出,如果多邊形有n條邊,那么它有

個(gè)頂點(diǎn),從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),連接與這點(diǎn)不相鄰的各頂點(diǎn),可以作

條對(duì)角線.n(n-3)

因?yàn)橄窬€段MN與NM那樣,連接相同兩頂點(diǎn)的對(duì)角線是同一條對(duì)角線,所以多邊形的對(duì)角線總數(shù)

MN即②式表示了多邊形的對(duì)角線數(shù)d與邊數(shù)n之間的關(guān)系,對(duì)于n的每一個(gè)值,d都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值,即d是n的函數(shù).問題2某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20件,計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量.如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍,那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計(jì)劃所定的x的值而確定,y與x之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示？

這種產(chǎn)品的原產(chǎn)量是20件,一年后的產(chǎn)量是

件,再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是

件,即兩年后的產(chǎn)量為20(1+x)20(1+x)2即③式表示了兩年后的產(chǎn)量y與計(jì)劃增產(chǎn)的倍數(shù)x之間的關(guān)系,對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有一個(gè)對(duì)應(yīng)值,即y是x的函數(shù).函數(shù)①②③有什么共同點(diǎn)?

觀察y是x的函數(shù)嗎？y是x的一次函數(shù)？反比例函數(shù)？y=6x2①

在上面的問題中,函數(shù)都是用自變量的二次式表示的.2、定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)。（1）等號(hào)左邊是變量y，右邊是關(guān)于自變量x的（3）等式的右邊最高次數(shù)為

，可以沒有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，但不能沒有二次項(xiàng)。注意：（2）a,b,c為常數(shù)，且（4）x的取值范圍是。整式a≠0.2任意實(shí)數(shù)二次函數(shù)的一般形式:y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常數(shù),a≠0)二次函數(shù)的特殊形式：當(dāng)b＝0時(shí)，y＝ax2＋c當(dāng)c＝0時(shí)，y＝ax2＋bx當(dāng)b＝0，c＝0時(shí)，y＝ax2函數(shù)解析式二次項(xiàng)系數(shù)a一次項(xiàng)系數(shù)b常數(shù)項(xiàng)c00242－158－112130說出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

試一試:二次函數(shù)y=ax2+bx+c中a≠0,但b、c可以為0.例1、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？若是,分別指出二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng).(1)y=3(x－1)2+1(2)y=x+(3)s=3－2t2(4)y=(x+3)2－x2(5)y=－x(6)v=10r21x__x21__(是)(否)(是)(否)(否)(是)例題解:（1）原式=.二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是-6，常數(shù)項(xiàng)是4.(3)s=3-2t2是二次函數(shù).二次項(xiàng)系數(shù)是-2，一次項(xiàng)系數(shù)是0，常數(shù)項(xiàng)是3.(4)原式=y=6x+9.不是二次函數(shù).二次項(xiàng)系數(shù)是10π，一次項(xiàng)系數(shù)是0，常數(shù)項(xiàng)是0.(6)v=10πr2是二次函數(shù).例2如果函數(shù)y=(k-3)+kx+1是二次函數(shù),則k的值一定是______.0例題例題例3用20米的籬笆圍一個(gè)矩形的花圃（如圖）.設(shè)連墻的一邊為x,矩形的面積為y.求：(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)x=3時(shí),矩形的面積為多少?x

(2)當(dāng)x=3時(shí)(0<x<10)答：當(dāng)x＝3時(shí)，矩形的面積為42m2。隨堂練習(xí)1、下列函數(shù)中，（x是自變量），是二次函數(shù)的為(）

A.y=ax2+bx+cB.y2=x2-4x+1C.y=x2D.y=2+√x2+12.函數(shù)y=(m-n)x2+mx+n是二次函數(shù)的條件是()A.m,n是常數(shù),且m≠0B.m,n是常數(shù),且n≠0C.m,n是常數(shù),且m≠nD.m,n為任何實(shí)數(shù)CC3.一個(gè)圓柱的高等于底面半徑,寫出它的表面積s與半徑r之間的關(guān)系式.4.n支球隊(duì)參加比賽,每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽,寫出比賽的場(chǎng)次數(shù)m與球隊(duì)數(shù)n之間的關(guān)系式.S=4πr2即隨堂練習(xí)5.圓的半徑是1cm,假設(shè)半徑增加xcm時(shí),圓的面積增加ycm2.(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；(2)當(dāng)圓的半徑分別增加1cm,2cm時(shí),圓的面積增加多少?小結(jié)拓展

1.定義：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù).其中,是x自變量,a,b,c分別是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的幾種不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,).(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).

2.定義的實(shí)質(zhì)是：ax2+bx+c是整式,自變量x的最高次數(shù)是二次,自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù).第三十章二次函數(shù)30.2二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)第1課時(shí)二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.正確理解拋物線的有關(guān)概念.（重點(diǎn)）2.會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2的圖像，概括出圖像的特點(diǎn).（難點(diǎn)）3.掌握形如y=ax2的二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用.（難點(diǎn)）情境引入二次函數(shù)y=ax2的圖像一x…-3-2-10123…y=x2…

…

例1

畫出二次函數(shù)y=x2的圖像.9410194典例精析1.列表：在y=x2中自變量x可以是任意實(shí)數(shù)，列表表示幾組對(duì)應(yīng)值：24-2-4o369xy2.描點(diǎn)：根據(jù)表中x,y的數(shù)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)（x,y）

3.連線：如圖，再用平滑曲線順次連接各點(diǎn)，就得到y(tǒng)=x2

的圖像．-33o369當(dāng)取更多個(gè)點(diǎn)時(shí)，函數(shù)y=x2的圖像如下：xy

二次函數(shù)y=x2的圖像形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過的路線,我們把它叫做拋物線.這條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,y軸就是它的對(duì)稱軸.對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).練一練：畫出函數(shù)y=-x2的圖像.y24-2-40-3-6-9xx…-3-2-10123…y=-x2…-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

…

根據(jù)你以往學(xué)習(xí)函數(shù)圖像性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，說說二次函數(shù)y=x2的圖像有哪些性質(zhì)，并與同伴交流.xoy=x2議一議1.y＝x2是一條拋物線;2.圖像開口向上;3.圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;4.頂點(diǎn)（0，0）;5.圖像有最低點(diǎn)．y說說二次函數(shù)y=-x2的圖像有哪些性質(zhì),與同伴交流.oxyy=-x21.y＝-x2是一條拋物線;2.圖像開口向下;3.圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;4.頂點(diǎn)（0，0）;5.圖像有最高點(diǎn)．1.頂點(diǎn)都在原點(diǎn);3.當(dāng)a>0時(shí)，開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開口向下．二次函數(shù)y=ax2的圖像性質(zhì)：知識(shí)要點(diǎn)2.圖像關(guān)于y軸對(duì)稱;

觀察下列圖像，拋物線y=ax2與y=-ax2（a＞0)的關(guān)系是什么？二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，開口相反，大小相同，它們關(guān)于x軸對(duì)稱.xyOy=ax2y=-ax2交流討論二二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)問題1：觀察圖形，y隨x的變化如何變化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)對(duì)于拋物線y=ax2（a＞0）當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x取值的增大而增大；當(dāng)x<0時(shí)，y隨x取值的增大而減小.知識(shí)要點(diǎn)(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)問題2：觀察圖形，y隨x的變化如何變化？對(duì)于拋物線y=ax2（a＜0）當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x取值的增大而減??；當(dāng)x<0時(shí)，y隨x取值的增大而增大.知識(shí)要點(diǎn)解：分別填表，再畫出它們的圖像，如圖.x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5例2

在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像．xyO-222464-48思考1：從二次函數(shù)開口大小與a的大小有什么關(guān)系？當(dāng)a>0時(shí)，a越大，開口越小.練一練：在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5xyO－22－2－4－64－4－8當(dāng)a<0時(shí)，a越?。碼的絕對(duì)值越大），開口越小.思考2

從二次函數(shù)開口大小與a的大小有什么關(guān)系？對(duì)于拋物線y=ax2，｜a｜越大，拋物線的開口越?。畒＝ax2a>0a<0圖像位置開口方向?qū)ΨQ性頂點(diǎn)最值增減性開口向上,在x軸上方開口向下,在x軸下方a的絕對(duì)值越大，開口越小關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是直線x＝0頂點(diǎn)坐標(biāo)是原點(diǎn)（0，0）當(dāng)x=0時(shí)，y最小值=0當(dāng)x=0時(shí)，y最大值=0在對(duì)稱軸左側(cè)遞減在對(duì)稱軸右側(cè)遞增在對(duì)稱軸左側(cè)遞增在對(duì)稱軸右側(cè)遞減知識(shí)要點(diǎn)yOxyOx

例1

已知二次函數(shù)y=x2．（1）判斷點(diǎn)A（2，4）在二次函數(shù)圖像上嗎？（2）請(qǐng)分別寫出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)B、C、D在二次函數(shù)y=x2的圖像上嗎？在二次函數(shù)y=－x2的圖像上嗎？典例精析（1）判斷點(diǎn)A（2，4）在二次函數(shù)圖像上嗎？解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函數(shù)圖像上；

（2）請(qǐng)分別寫出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，-4），點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，4），點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-4）；（3）點(diǎn)B、C、D在二次函數(shù)y=x2的圖像上嗎？在二次函數(shù)y=－x2的圖像上嗎？當(dāng)x=－2時(shí)，y=x2=4，所以C點(diǎn)在二次函數(shù)y=x2的圖像上；當(dāng)x=2時(shí)，y=－x2=－4，所以B點(diǎn)在二次函數(shù)y=－x2的圖像上；當(dāng)x=－2時(shí)，y=－x2=－4，所以D點(diǎn)在二次函數(shù)y=－x2的圖像上．已知

是二次函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而增大，則k=

.分析：是二次函數(shù)，即二次項(xiàng)的系數(shù)不為0，x的指數(shù)等于2.又因當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x增大而增大,即說明二次項(xiàng)的系數(shù)大于0.因此，解得k=22練一練例3.已知二次函數(shù)y＝2x2.(1)若點(diǎn)(－2，y1)與(3，y2)在此二次函數(shù)的圖像上，則y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如圖，此二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(0，0)，長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在x軸上，C、D恰好在二次函數(shù)的圖像上，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求圖中陰影部分的面積之和．<分析：(1)把兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式求出縱坐標(biāo)，再比較大小即可得解；(2)由于函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)B，根據(jù)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，代入表達(dá)式可求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱求出OA＝OB，即圖像左邊部分與右邊部分對(duì)稱，兩個(gè)陰影部分面積相加等于右邊第一象限內(nèi)的矩形面積．(2)解：∵二次函數(shù)y＝2x2的圖像經(jīng)過點(diǎn)B，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2×22＝8.∵拋物線和長(zhǎng)方形都是軸對(duì)稱圖形，且y軸為它們的對(duì)稱軸，∴OA＝OB，∴在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，左邊陰影部分面積等于右邊空白部分面積，∴S陰影部分面積之和＝2×8＝16.

二次函數(shù)y＝ax2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，因此左右兩部分折疊可以重合，在二次函數(shù)比較大小中，我們根據(jù)圖像中點(diǎn)具有的對(duì)稱性轉(zhuǎn)變到同一變化區(qū)域中(全部為升或全部為降)，根據(jù)圖像中函數(shù)值高低去比較；對(duì)于求不規(guī)則的圖形面積，采用等面積割補(bǔ)法，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形以方便求解．方法總結(jié)1.函數(shù)y=2x2的圖像的開口

,對(duì)稱軸

,頂點(diǎn)是

;在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而

,在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而

.

2.函數(shù)y=-3x2的圖像的開口

,對(duì)稱軸是

,頂點(diǎn)是

;在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨x的增大而

,在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而

.向上向下y軸y軸(0,0)(0,0)減小減小增大增大xxyyOO3、如右圖，觀察函數(shù)y=（k-1）x2的圖像,則k的取值范圍是

.xyk>14、說出下列拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)：開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)向上向下向下向上y軸y軸y軸y軸（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O5.若拋物線y=ax2（a

≠0），過點(diǎn)（-1，2）.（1）則a的值是

；（2）對(duì)稱軸是

，開口

.（3）頂點(diǎn)坐標(biāo)是

，頂點(diǎn)是拋物線上的最

值.拋物線在x軸的

方（除頂點(diǎn)外）.(4)若A（x1,y1),B(x2,y2)在這條拋物線上，且x1<x2<0,

則y1

y2.2y軸向上（0,0）小上>6.已知二次函數(shù)y=x2，若x≥m時(shí)，y最小值為0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：∵二次函數(shù)y=x2，∴當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值，且y最小值=0，∵當(dāng)x≥m時(shí)，y最小值=0，∴m≤0．7.已知：如圖，直線y＝3x＋4與拋物線y＝x2交于A、B兩點(diǎn)，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出兩交點(diǎn)與原點(diǎn)所圍成的三角形的面積．解：由題意得解得所以此兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(4，16)和B(－1，1)．∵直線y＝3x＋4與y軸相交于點(diǎn)C(0，4)，即CO＝4.∴S△ACO＝

CO·4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.二次函數(shù)y=ax2的圖像及性質(zhì)畫法描點(diǎn)法以對(duì)稱軸為中心對(duì)稱取點(diǎn)圖像拋物線軸對(duì)稱圖形性質(zhì)重點(diǎn)關(guān)注4個(gè)方面開口方向及大小對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性第2課時(shí)二次函數(shù)y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖像和性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用描點(diǎn)法畫出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像.2.掌握二次函數(shù)y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像的性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用.(重點(diǎn)）3.理解二次函數(shù)y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k(a≠0)與y=ax2(a≠0)之間的聯(lián)系.（難點(diǎn)）復(fù)習(xí)引入a,c的符號(hào)a>0,c>0a>0,c<0a<0,c>0a<0,c<0圖像開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)函數(shù)的增減性最值向上向下y軸（直線x=0）y軸（直線x=0）（0,c）（0,c）當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而減??；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而增大.當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而減小.x=0時(shí)，y最小值=cx=0時(shí)，y最大值=c問題1

說說二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖像的特征.問題2

二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0）與y=ax2（a≠0）

的圖像有何關(guān)系？答：二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0）的圖像可以由y=ax2（a≠0）的圖像平移得到：當(dāng)c>0時(shí)，向上平移c個(gè)單位長(zhǎng)度得到.當(dāng)c<0時(shí)，向下平移-c個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

問題3

函數(shù)的圖像，能否也可以由函數(shù)平移得到？答：應(yīng)該可以.二次函數(shù)y=a（x-h）2的圖像和性質(zhì)一例1畫出二次函數(shù)的圖像，并考慮它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)．x···－3－2－10123···············-2-4.5-200-2-2－22－2－4－64－4-4.50xy-8-8xyO－22－2－4－64－4拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)向下直線x=-1(-1,0)直線x=0直線x=1向下向下(0,0)(1,0)a＞0時(shí)，開口

,最____點(diǎn)是頂點(diǎn);a＜0時(shí)，開口

,最____點(diǎn)是頂點(diǎn);

對(duì)稱軸是

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

.向上低向下高直線x=h(h,0)知識(shí)要點(diǎn)二次函數(shù)y=a（x-h)2的特點(diǎn)若拋物線y＝3(x＋)2的圖像上的三個(gè)點(diǎn)，A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為________________．解析：∵拋物線y＝3(x＋)2的對(duì)稱軸為x＝－，a＝3＞0，∴x＜－時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞－時(shí)，y隨x的增大而增大．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3，y1)，∴點(diǎn)A在拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(，y1)．∵－1＜0＜，∴y2＜y3＜y1.故答案為y2＜y3＜y1.練一練y2＜y3＜y1向右平移1個(gè)單位二次函數(shù)y=ax2與y=a(x-h)2的關(guān)系二想一想拋物線，與拋物線有什么關(guān)系？xyO－22－2－4－64－4向左平移1個(gè)單位二次函數(shù)y=ax2與y=a（x-h)2的關(guān)系可以看作互相平移得到.左右平移規(guī)律：括號(hào)內(nèi)：左加右減；括號(hào)外不變.知識(shí)要點(diǎn)例2.拋物線y＝ax2向右平移3個(gè)單位后經(jīng)過點(diǎn)(－1，4)，求a的值和平移后的函數(shù)關(guān)系式．解：二次函數(shù)y＝ax2的圖像向右平移3個(gè)單位后的二次函數(shù)關(guān)系式可表示為y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，，∴平移后二次函數(shù)關(guān)系式為y＝(x－3)2.方法總結(jié)：根據(jù)拋物線左右平移的規(guī)律，向右平移3個(gè)單位后，a不變，括號(hào)內(nèi)應(yīng)“減去3”；若向左平移3個(gè)單位，括號(hào)內(nèi)應(yīng)“加上3”，即“左加右減”．將二次函數(shù)y＝－2x2的圖像平移后，可得到二次函數(shù)y＝－2(x＋1)2的圖像，平移的方法是(

)A．向上平移1個(gè)單位B．向下平移1個(gè)單位C．向左平移1個(gè)單位D．向右平移1個(gè)單位解析：拋物線y＝－2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，0)，拋物線y＝－2(x＋1)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－1，0)．則由二次函數(shù)y＝－2x2的圖像向左平移1個(gè)單位即可得到二次函數(shù)y＝－2(x＋1)2的圖像．故選C.練一練C二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖像和性質(zhì)三例3

畫出函數(shù)的圖像.指出它的開口方向、頂點(diǎn)與對(duì)稱軸.探究歸納…………210-1-2-3-4x解:先列表-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5再描點(diǎn)、連線12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10直線x=－1開口方向向下；對(duì)稱軸是直線x=-1;頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-1)試一試畫出函數(shù)y=2（x+1）2-2圖像，并說出拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).開口方向向下；對(duì)稱軸是直線x=-1;頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-2)-22xyO-2468-424知識(shí)要點(diǎn)二次函數(shù)y=a（x-h)2+k的特點(diǎn)a＞0時(shí)，開口

,最

點(diǎn)是頂點(diǎn);a＜0時(shí)，開口

,最

點(diǎn)是頂點(diǎn);對(duì)稱軸是

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

.向上低向下高直線x=h(h,k)頂點(diǎn)式例4.已知二次函數(shù)y＝a(x－1)2－c的圖像如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax＋c的大致圖像可能是(

)解析：根據(jù)二次函數(shù)開口向上則a＞0，根據(jù)－c是二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，得出c＞0，故一次函數(shù)y＝ax＋c的大致圖像經(jīng)過第一、二、三象限．故選A.典例精析A例5.已知二次函數(shù)y＝a(x－1)2－4的圖像經(jīng)過點(diǎn)(3，0)．(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是該函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，求m、n之間的數(shù)量關(guān)系．解：(1)將(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；(2)方法一：根據(jù)題意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y(tǒng)2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化簡(jiǎn)，得2m＋n＝2；方法二：∵函數(shù)y＝(x－1)2－4的圖像的對(duì)稱軸是經(jīng)過點(diǎn)(1，－4)，且平行于y軸的直線，∴m＋n－1＝1－m，化簡(jiǎn)，得2m＋n＝2.方法總結(jié)：已知函數(shù)圖像上的點(diǎn)，則這點(diǎn)的坐標(biāo)必滿足函數(shù)的表達(dá)式，代入即可求得函數(shù)解析式．例6

要修建一個(gè)圓形噴水池,在池中心豎直安裝一根水管.在水管的頂端安裝一個(gè)噴水頭,使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高,高度為3m,水柱落地處離池中心3m,水管應(yīng)多長(zhǎng)?C(3,0)B(1，3)

AxOy123123解:如圖建立直角坐標(biāo)系,

點(diǎn)(1,3)是圖中這段拋物線的頂點(diǎn).

因此可設(shè)這段拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)是∵這段拋物線經(jīng)過點(diǎn)(3,0)，∴0=a(3－1)2＋3.解得因此拋物線的解析式為:y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3).當(dāng)x=0時(shí),y=2.25.答:水管長(zhǎng)應(yīng)為2.25m.34a=－y=(x－1)2＋3(0≤x≤3)34－向左平移1個(gè)單位二次函數(shù)y=a(x-h)2+k與y=ax2的關(guān)系四12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10探究歸納怎樣移動(dòng)拋物線就可以得到拋物線？平移方法1向下平移1個(gè)單位12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10怎樣移動(dòng)拋物線就可以得到拋物線？平移方法2向左平移1個(gè)單位向下平移1個(gè)單位二次函數(shù)y=ax2與y=a（x-h)2+k的關(guān)系可以看作互相平移得到的.y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移規(guī)律簡(jiǎn)記為：上下平移，括號(hào)外上加下減；左右平移，括號(hào)內(nèi)左加右減.二次項(xiàng)系數(shù)a不變.要點(diǎn)歸納1.請(qǐng)回答拋物線y=4(x－3)2＋7由拋物線y=4x2怎樣平移得到?由拋物線向上平移7個(gè)單位再向右平移3個(gè)單位得到的.2.如果一條拋物線的形狀與形狀相同，且頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，-2），試求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式.練一練1.把拋物線y=-x2沿著x軸方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，那么平移后拋物線的解析式是

.2.二次函數(shù)y=2(x-)2圖像的對(duì)稱軸是直線_______，頂點(diǎn)是________.3.若（-，y1）（-，y2）（，y3）為二次函數(shù)y=(x-2)2圖像上的三點(diǎn)，則y1

，y2

，y3的大小關(guān)系為_______________.

y=-(x+3)2或y=-(x-3)2

y1

＞y2

＞y34.指出下列函數(shù)圖像的開口方向,對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)向上直線x=3(3,0)直線x=2直線x=1向下向上(2,0)(1,0)5.在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝2x2與y＝2(x-2)2的圖像，分別指出兩個(gè)圖像之間的相互關(guān)系．解：圖像如圖.函數(shù)y=2(x-2)2的圖像由函數(shù)y=2x2的圖像向右平移2個(gè)單位得到.yOx

y=2x2

26.已知一個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為A(-1,3),且它是由二次函數(shù)y=5x2平移得到，請(qǐng)直接寫出該二次函數(shù)的解析式.y=a(x-h)2+k課堂小結(jié)二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖像及性質(zhì)圖像性質(zhì)對(duì)稱軸是直線x=h;頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,0)a的符號(hào)決定開口方向.左右平移平移規(guī)律：括號(hào)內(nèi)：左加右減；括號(hào)外不變.一般地，拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2形狀相同，位置不同.二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖像和性質(zhì)圖像特點(diǎn)當(dāng)a>0,開口向上；當(dāng)a<0,開口向下.對(duì)稱軸是直線x=h,頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,k).平移規(guī)律左右平移：括號(hào)內(nèi)左加右減；上下平移：括號(hào)外上加下減.第3課時(shí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用配方法或公式法將一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k.(難點(diǎn)）2.會(huì)熟練求出二次函數(shù)一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸.（重點(diǎn)）復(fù)習(xí)引入y=a(x-h)2+ka>0a<0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性極值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h當(dāng)x<h時(shí)，y隨著x的增大而減小；當(dāng)x>h時(shí)，y隨著x的增大而增大.

當(dāng)x<h時(shí),y隨著x的增大而增大；當(dāng)x>h時(shí)，y隨著x的增大而減小.

x=h時(shí),y最小=kx=h時(shí),y最大=k拋物線y=a(x-h)2+k可以看作是由拋物線y=ax2經(jīng)過平移得到的.頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸最值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0,0)y軸0(0,-5)y軸-5(-2,0)直線x=-20(-2,-4)直線x=-2-4(4,3)直線x=43??????二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)一探究歸納我們已經(jīng)知道y=a(x-h)2+k的圖像和性質(zhì)，能否利用這些知識(shí)來討論的圖像和性質(zhì)？問題1

怎樣將化成y=a(x-h)2+k的形式？配方可得想一想：配方的方法及步驟是什么？配方你知道是怎樣配方的嗎？

(1)“提”：提出二次項(xiàng)系數(shù)；(2)“配”：括號(hào)內(nèi)配成完全平方；(3)“化”：化成頂點(diǎn)式.提示:配方后的表達(dá)式通常稱為配方式或頂點(diǎn)式.問題2

你能說出的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？答：對(duì)稱軸是直線x=6,頂點(diǎn)坐標(biāo)是（6，3）.問題3

二次函數(shù)可以看作是由怎樣平移得到的？答：平移方法1：

先向上平移3個(gè)單位，再向右平移6個(gè)單位得到的；

平移方法2：

先向右平移6個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到的.問題4

如何用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖像？…………9876543x解:

先利用圖形的對(duì)稱性列表7.553.533.557.5510xy510O然后描點(diǎn)畫圖，得到圖像如圖.問題5

結(jié)合二次函數(shù)的圖像，說出其性質(zhì).510xy510x=6當(dāng)x<6時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>6時(shí)，y隨x的增大而增大.O例1畫出函數(shù)的圖像，并說明這個(gè)函數(shù)具有哪些性質(zhì).

x···-2-101234···y······-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解:函數(shù)通過配方可得，先列表：典例精析2xy-204-2-4-4-6-8然后描點(diǎn)、連線，得到圖像如下圖.由圖像可知，這個(gè)函數(shù)具有如下性質(zhì)：當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減??；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值y=-2.

求二次函數(shù)y=2x2-8x+7圖像的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

因此，二次函數(shù)y=2x2-8x+7圖像的對(duì)稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1).解：練一練將一般式y(tǒng)=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k二

我們?nèi)绾斡门浞椒▽⒁话闶統(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k？y=ax2+bx+c

歸納總結(jié)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)1.一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的可以通過配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即因此，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：對(duì)稱軸是：直線歸納總結(jié)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)(1)(2)xyOxyO如果a>0,當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大.如果a<0,當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小.例2

已知二次函數(shù)y=－x2＋2bx＋c，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（ ）A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1

D．b≤1解析：∵二次項(xiàng)系數(shù)為－1＜0，∴拋物線開口向下，在對(duì)稱軸右側(cè)，y的值隨x值的增大而減小，由題設(shè)可知，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，∴拋物線y=－x2＋2bx＋c的對(duì)稱軸應(yīng)在直線x=1的左側(cè)而拋物線y=－x2＋2bx＋c的對(duì)稱軸，即b≤1，故選D.D填一填頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5(1,3)x=1最大值1(0,-1)y軸最大值-1最小值-6(

,-6)直線x=二次函數(shù)字母系數(shù)與圖像的關(guān)系三合作探究問題1一次函數(shù)y=kx+b的圖像如下圖所示，請(qǐng)根據(jù)一次函數(shù)圖像的性質(zhì)填空：xyOy=k1x+b1xyOy=k2x+b2y=k3x+b3k1___0b1___0k2___0b2___0＞＞＜＜k3___0b3___0＜＞xyO問題2二次函數(shù)的圖像如下圖所示，請(qǐng)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)填空：a1___0b1___0c1___0a2___0b2___0c2___0＞＞＞＞＜＝開口向上，a＞0對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，x＜0對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，x＞0x=0時(shí)，y=c.xyOa3___0b3___0c3___0a4___0b4___0c4___0＜＝＞＜＞＜開口向下，a＜0對(duì)稱軸是y軸，x=0對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，x＞0x=0時(shí)，y=c.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與a、b、c的關(guān)系字母符號(hào)圖像的特征a＞0開口_____________________a＜0開口_____________________b=0對(duì)稱軸為_____軸a、b同號(hào)對(duì)稱軸在y軸的____側(cè)a、b異號(hào)對(duì)稱軸在y軸的____側(cè)c=0經(jīng)過原點(diǎn)c＞0與y軸交于_____半軸c＜0與y軸交于_____半軸向上向下y左右正負(fù)知識(shí)要點(diǎn)例3已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正確的個(gè)數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4D由圖像上橫坐標(biāo)為x＝－2的點(diǎn)在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正確；由圖像上x＝1的點(diǎn)在第四象限得a＋b＋c＜0，由圖像上x＝－1的點(diǎn)在第二象限得出a－b＋c＞0，則(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正確．【解析】由圖像開口向下可得a＜0，由對(duì)稱軸在y軸左側(cè)可得b＜0，由圖像與y軸交于正半軸可得c＞0，則abc＞0，故①正確；由對(duì)稱軸x>－1可得2a－b＜0，故②正確；練一練二次函數(shù)的圖像如圖，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖像是（）解析：由二次函數(shù)的圖像得知：a＜0，b＞0.故反比例函數(shù)的圖像在二、四象限，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過一、三象限.即正確答案是C.C1.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x、y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x-10123y51-1-11A.y軸B.直線x=C.直線x=2D.直線x=則該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為()DOyx–1–232.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論：（1）a、b同號(hào)；（2）當(dāng)x=–1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；（3）4a+b=0；（4）當(dāng)y=–2時(shí)，x的值只能取0；其中正確的是

.直線x=1（2）3.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖像的一部分，x=-1是對(duì)稱軸，有下列判斷：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,（，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，則y1>y2.其中正確的是（）A．①②③

B．①③④C．①②④

D．②③④xyO2x=-1B4.根據(jù)公式確定下列二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)：直線x=3直線x=8直線x=1.25直線x=0.5課堂小結(jié)頂點(diǎn)：對(duì)稱軸：y=ax2+bx+c（a≠0)(一般式)配方法公式法(頂點(diǎn)式)第三十章二次函數(shù)30.3由不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)確定二次函數(shù)*學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式.(難點(diǎn)）2.會(huì)根據(jù)待定系數(shù)法解決關(guān)于二次函數(shù)的相關(guān)問題.（重點(diǎn)）復(fù)習(xí)引入1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)有幾個(gè)待定系數(shù)？通常需要已知幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出它的表達(dá)式？2.求一次函數(shù)表達(dá)式的方法是什么？它的一般步驟是什么？2個(gè)2個(gè)待定系數(shù)法(1)設(shè)：（表達(dá)式）(2)代：（坐標(biāo)代入）(3)解：方程（組）(4)還原：（寫表達(dá)式）特殊條件的二次函數(shù)的表達(dá)式一典例精析

例1.已知二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,3)和(－1,－3)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

解:∵該圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,3）和(－1,－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函數(shù)表達(dá)式為

y=2x2－5.∴a=2，c=－5.解得關(guān)于y軸對(duì)稱

1.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，8)和(－1，5)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

解:∵該圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,8）和（-1,5），做一做圖象經(jīng)過原點(diǎn)8=4a-2b，5=a-b，∴

解得a=-1,b=-6.∴y=-x2-6x.頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的表達(dá)式二

選取頂點(diǎn)（-2，1）和點(diǎn)（1，-8），試求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=a(x-h)2+k,把頂點(diǎn)（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得

y=a(x+2)2+1，再把點(diǎn)（1，-8）代入上式得

a(1+2)2+1=-8，解得a=-1.∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.歸納總結(jié)頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的方法這種知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求表達(dá)式的方法叫做頂點(diǎn)法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(x-h)2+k；②先代入頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.例2

一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)點(diǎn)(0,1)，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8,9)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解：因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8,9)，因此，可以設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-8)2+9.又由于它的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，可得0=a(0-8)2+9.

解得∴所求的二次函數(shù)的解析式是

解：∵（-3，0）（-1，0）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn).所以可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此得

y=a(x+3)(x+1).再把點(diǎn)（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.選取（-3，0），（-1，0），（0，-3），試出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

交點(diǎn)法求二次函數(shù)的表達(dá)式三xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512歸納總結(jié)交點(diǎn)法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法這種知道拋物線與x軸的交點(diǎn)，求表達(dá)式的方法叫做交點(diǎn)法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,x2代入到表達(dá)式中，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將方程的解代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.想一想確定二次函數(shù)的這三點(diǎn)應(yīng)滿足什么條件？任意三點(diǎn)不在同一直線上（其中兩點(diǎn)的連線可平行于x軸，但不可以平行于y軸.一般式法二次函數(shù)的表達(dá)式四探究歸納問題1

（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中有幾個(gè)待定系數(shù)？需要幾個(gè)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)才能求出來？3個(gè)3個(gè)（2）下面是我們用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①選?。?3，0），（-1，0），（0，-3），試求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-x2-4x-3.待定系數(shù)法步驟：1.設(shè)：（表達(dá)式）2.代：（坐標(biāo)代入）3.解：方程（組）4.還原：（寫解析式）這種已知三點(diǎn)求二次函數(shù)表達(dá)式的方法叫做一般式法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c；②代入后得到一個(gè)三元一次方程組；③解方程組得到a,b,c的值；④把待定系數(shù)用數(shù)字換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.歸納總結(jié)一般式法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法例3

一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,1)、(2,4)、(3,10)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=ax2+bx+c,由于這個(gè)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，可得c=1.又由于其圖象經(jīng)過(2,4)、(3,10)兩點(diǎn)，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解這個(gè)方程組，得∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是1.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)圖象的表達(dá)式應(yīng)是

.

y=ax2與y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一樣都是頂點(diǎn)式，只不過前三者是頂點(diǎn)式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-4321-13452.過點(diǎn)（2，4），且當(dāng)x=1時(shí)，y有最值為6，則其表達(dá)式是

.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，6）y=-2(x-1)2+63.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c．依題意得∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，解得b＝3，c＝－4，a＝2，4.已知拋物線與x軸相交于點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，且過點(diǎn)M(0，1)，求此函數(shù)的表達(dá)式．解：因?yàn)辄c(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)是圖象與x軸的交點(diǎn)，所以設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a(x＋1)(x－1)．又因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求拋物線的表達(dá)式為y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.5.如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c過點(diǎn)A(－4，－3)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是x＝－3，請(qǐng)解答下列問題：(1)求拋物線的表達(dá)式；解：(1)把點(diǎn)A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵對(duì)稱軸是x＝－3，∴＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴拋物線的表達(dá)式是y＝x2＋6x＋5；(2)若和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，且CD＝8，求△BCD的面積．(2)∵CD∥x軸，∴點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x＝－3對(duì)稱．∵點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，且CD＝8，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－7，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，5)，∴△BCD中CD邊上的高為12－5＝7，∴△BCD的面積＝×8×7＝28.課堂小結(jié)①已知三點(diǎn)坐標(biāo)②已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值③已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)已知條件所選方法用一般式法：y=ax2+bx+c用頂點(diǎn)法：y=a(x-h)2+k用交點(diǎn)法：y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式第三十章二次函數(shù)30.4二次函數(shù)的應(yīng)用-202462-4xy⑴若－3≤x≤3，該函數(shù)的最大值、最小值分別為

.⑵又若0≤x≤3，該函數(shù)的最大值、最小值分別為求函數(shù)的最值問題，應(yīng)注意什么?2、圖中所示的二次函數(shù)圖像的解析式為：

1、求下列二次函數(shù)的最大值或最小值：⑴y=－x2＋2x－3;⑵y=x2＋4x已知有一張邊長(zhǎng)為10cm的正三角形紙板，若要從中剪一個(gè)面積最大的矩形紙板，應(yīng)怎樣剪？最大面積為多少？ABCDEFK探究活動(dòng)

某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？來到商場(chǎng)請(qǐng)大家?guī)е韵聨讉€(gè)問題讀題（1）題目中有幾種調(diào)整價(jià)格的方法？（2）題目涉及到哪些變量？哪一個(gè)量是自變量？哪些量隨之發(fā)生了變化？分析:調(diào)整價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況先來看漲價(jià)的情況：⑴設(shè)每件漲價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤(rùn)y也隨之變化，我們先來確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。漲價(jià)x元時(shí)則每星期少賣

件，實(shí)際賣出

件,每件利潤(rùn)為

元，因此，所得利潤(rùn)為

元.10x(300-10x)(60+x-40)y=(60+x-40)(300-10x)即(0≤X≤30)(0≤X≤30)可以看出，這個(gè)函數(shù)的圖像是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點(diǎn)是函數(shù)圖像的最高點(diǎn)，也就是說當(dāng)x取頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)時(shí)，這個(gè)函數(shù)有最大值。由公式可以求出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以，當(dāng)定價(jià)為65元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6250元在降價(jià)的情況下，最大利潤(rùn)是多少？請(qǐng)你參考（1）的過程得出答案。解：設(shè)降價(jià)x元時(shí)利潤(rùn)最大，則每星期可多賣18x件，實(shí)際賣出（300+18x)件，每件利潤(rùn)為(60-x-40)元，因此，所得利潤(rùn)為:答：定價(jià)為元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6050元(0≤x≤20)運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問題的最大值和最小值的一般步驟:求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值。檢查求得的最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi)。解這類題目的一般步驟

有一經(jīng)銷商，按市場(chǎng)價(jià)收購了一種活蟹1000千克，放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千克30元。據(jù)測(cè)算，此后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)，每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需各種費(fèi)用支出400元，且平均每天還有10千克蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價(jià)都是每千克20元（放養(yǎng)期間蟹的重量不變）.⑴設(shè)x天后每千克活蟹市場(chǎng)價(jià)為P元，寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.⑵如果放養(yǎng)x天將活蟹一次性出售，并記1000千克蟹的銷售總額為Q元，寫出Q關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。⑶該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(rùn)，（利潤(rùn)=銷售總額-收購成本-費(fèi)用）？最大利潤(rùn)是多少？解：①由題意知:P=30+x.②由題意知：死蟹的銷售額為200x元，活蟹的銷售額為（30+x）（1000-10x)元。

∴Q=(30+x)(1000-10x)+200x=③設(shè)總利潤(rùn)為W=Q-30000-400x==∴當(dāng)x=25時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6250元。x(元)152030…y(件)252010…若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)。

（1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（6分）

（2）要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？（6分）某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：中考題選練（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤(rùn)為w元。則產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤(rùn)為225元。則解得：k=－1，b＝40。1分5分6分7分10分12分

（1）設(shè)此一次函數(shù)解析式為。所以一次函數(shù)解析為。設(shè)旅行團(tuán)人數(shù)為x人,營業(yè)額為y元,則旅行社何時(shí)營業(yè)額最大1.某旅行社組團(tuán)去外地旅游,30人起組團(tuán),每人單價(jià)800元.旅行社對(duì)超過30人的團(tuán)給予優(yōu)惠,即旅行團(tuán)每增加一人,每人的單價(jià)就降低10元.你能幫助分析一下,當(dāng)旅行團(tuán)的人數(shù)是多少時(shí),旅行社可以獲得最大營業(yè)額？某賓館有50個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天180元時(shí)，房間會(huì)全部住滿。當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑。如果游客居住房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用.房?jī)r(jià)定為多少時(shí)，賓館利潤(rùn)最大？解：設(shè)每個(gè)房間每天增加x元，賓館的利潤(rùn)為y元y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)y=-1/10x2+34x+80001.某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件。（1）若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（2）每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天盈利最多？銷售問題2.某商場(chǎng)以每件42元的價(jià)錢購進(jìn)一種服裝，根據(jù)試銷得知這種服裝每天的銷售量t（件）與每件的銷售價(jià)x（元/件）可看成是一次函數(shù)關(guān)系：

t＝－3x＋204。（1）寫出商場(chǎng)賣這種服裝每天銷售利潤(rùn)y（元）與每件的銷售價(jià)x（元）間的函數(shù)關(guān)系式；（2）通過對(duì)所得函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行配方，指出商場(chǎng)要想每天獲得最大的銷售利潤(rùn)，每件的銷售價(jià)定為多少最為合適？最大利潤(rùn)為多少？某個(gè)商店的老板，他最近進(jìn)了價(jià)格為30元的書包。起初以40元每個(gè)售出，平均每個(gè)月能售出200個(gè)。后來，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：這種書包的售價(jià)每上漲1元，每個(gè)月就少賣出10個(gè)?，F(xiàn)在請(qǐng)你幫幫他，如何定價(jià)才使他的利潤(rùn)達(dá)到2160元？yxo第二課時(shí)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式解：設(shè)y=ax2+bx+c（a≠0）c=2a+b+c=04a-2b+c=3解得a=-1/2b=-3/2c=２∴y=-1/2x2-3/2x+2已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0,2），（1,0），（-2,3）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式.（0,2）（1,0）（-2,3）1.設(shè)2.找3.列4.解5.寫6.查（三元一次方程組）（三點(diǎn)）（一般形式）y=ax2+bx+c（消元）（回代)小組討論合作探究一般式的基本步驟.當(dāng)自變量x=0時(shí)函數(shù)值y=-2，當(dāng)自變量x=-1時(shí)，函數(shù)值y=-1，當(dāng)自變量x=1時(shí)，函數(shù)值y=1,求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解：設(shè)y=ax2+bx+c（a≠0）

（0,-2）（-1,-1）（1,1）

c=-2a-b+c=-1a+b+c=3解得

a=2，b=1，c=-２∴y=2x2+x-2解：設(shè)y=a(x＋1)2-3已知拋物線的頂點(diǎn)為（－1，－3），與x軸交點(diǎn)為（-5，0）求拋物線的解析式？yox(0,-5)-5=a-3a=-2y=－2(x＋1)2-3即：y=－2x2-4x－5y=-2（x2

＋2x＋1）-3

頂點(diǎn)式1.設(shè)