第六章彎曲變形

第六章彎曲變形彎曲變形的概念梁的撓曲線近似微分方程積分法求梁的變形疊加法求梁的變形梁的剛度校核靜不定梁第一節(jié)

工程實(shí)際中的彎曲變形問(wèn)題N1撓度和轉(zhuǎn)角梁任一橫截面的轉(zhuǎn)角等于該截面處撓度y對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)。第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程（2）角位移梁任一橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為該截面的轉(zhuǎn)角。

梁的撓曲線微分方程為

y=f(x)梁彎曲后的軸線稱為撓曲線。（1）線位移

y梁軸線上的一點(diǎn)在垂直于梁變形前軸線方向的線位移稱為該點(diǎn)的撓度

2撓曲線的近似微分方程注意：y軸要向上，保證方程兩邊符號(hào)相同將上式代入式(a),得梁的撓曲線近似微分方程第三節(jié)積分法求梁的變形積分常數(shù)C和D的值可通過(guò)梁支承處已知的變形條件來(lái)確定，這個(gè)條件稱為邊界條件。簡(jiǎn)支梁：懸臂梁：解：以A為原點(diǎn)，取直角坐標(biāo)系，x軸向右，y軸向上。（1）求支座反力

列彎矩方程由平衡方程得：列彎矩方程為：（2）列撓曲線近似微分方程通過(guò)兩次積分,得：（3）確定積分常數(shù)在x=0處：將邊界條件代入(c)、(d)得：（4）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程將常數(shù)

C

和D

代入(c)、(d)得：（5）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度說(shuō)明：轉(zhuǎn)角為負(fù)，說(shuō)明橫截面繞中性軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；撓度為負(fù)，說(shuō)明B點(diǎn)位移向下。例6-2

一簡(jiǎn)支梁如圖6-9所示,在全梁上受集度為q的均布載荷作用.試求此梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,并確定最大轉(zhuǎn)角|θ|max

和最大撓度|y|max解:(1)求支座反力，列彎矩方程

由對(duì)稱關(guān)系得梁的兩個(gè)支座反力為以A點(diǎn)為原點(diǎn)，取坐標(biāo)如圖，列出梁的彎矩方程為：(2)

列撓曲線近似微分方程并進(jìn)行積分（3）確定積分常數(shù)簡(jiǎn)支梁的邊界條件是：在兩支座處的撓度等于零，即在x=0處，yA=0；將其代入（d），得D=0在x=l處，yB=0

仍代入（d），得（4）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程將積分常數(shù)C，D代入式（c）和（d）得（5）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度由對(duì)稱性可知，最大撓度在梁的中點(diǎn)處，將x=l/2代入（f），得：又由圖6-9可見，在兩支座處橫截面的轉(zhuǎn)角相等，均為最大。由式（e）負(fù)號(hào)表示截面為順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)：正號(hào)表示截面為反時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。（注：式中負(fù)號(hào)表示梁中點(diǎn)的撓度向下。）兩個(gè)邊界條件：連續(xù)條件：AC段：積分常數(shù)：C、DCB段：積分常數(shù)：C、D當(dāng)梁上的外力將梁分為數(shù)段時(shí)，由于各段梁的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程需分段列出。相應(yīng)地各段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程也隨之而異。第四節(jié)用疊加法求梁的變形疊加法：當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，可先求各個(gè)載荷單獨(dú)作用下梁的撓度或轉(zhuǎn)角，然后將它們代數(shù)相加。由疊加法得：第五節(jié)梁的剛度校核彎曲構(gòu)件的剛度條件:解：將吊車梁簡(jiǎn)化為如圖例6-12b所示的簡(jiǎn)支梁。式中：

（1）計(jì)算變形

計(jì)算梁撓度的有關(guān)數(shù)據(jù)為：P=50+5=55kN因P和q而引起的最大撓度均位于梁的中點(diǎn)C，由表6-1查得：由疊加法，得梁的最大撓度為：（2）校核剛度吊車梁的許用撓度為：將梁的最大撓度與其比較知：故剛度符合要求。由型鋼表查得，解：（1）計(jì)算變形將主軸簡(jiǎn)化為如圖例6-13b所示的外伸梁，又材料的彈性模量：由表6-1查出，因P1在C處引起的撓度和在B引起的轉(zhuǎn)角（圖6-13c）為：主軸橫截面的慣性矩為（2）校核剛度

主軸的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角為：將主軸的和與其比較：故主軸滿足剛度條件。由表6-1查得，因P2在C處引起的撓度和在B處引起的轉(zhuǎn)角（圖6-13d）為：第六節(jié)靜不定梁1靜不定梁的概念未知反力的數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，僅由靜力平衡方程不能求解的梁，稱為靜不定梁2

用變形比較法求解靜不定梁在靜不定梁中，超過(guò)維持平衡所必需的約束，稱為多余約束。與其相應(yīng)的反力稱為多余反力。撤除靜不定梁上的多余約束后變成的靜定梁稱為原靜不定梁的靜定基。變形比較法：選取適當(dāng)?shù)撵o定基；利用其相應(yīng)的變形條件，建立補(bǔ)充方程，求出多余反力；由平衡方程求出其余的支座反力例:已知q、l,求A、B支座反力。解：吊車梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖6-20b所示，有四個(gè)約束反力，只能列出3個(gè)平衡方程，所以是一次靜不定梁，需要一個(gè)補(bǔ)充方程。（2）計(jì)算變形自表6-1查得：（1）取靜定基，列變形條件選取C點(diǎn)的約束為多余約束，RC為多余支座反力，則相應(yīng)的靜定基為一簡(jiǎn)支梁，其上受載荷P和多余反力RC的作用（圖6-20c）。變形條件為（3）建立補(bǔ)充方程，解出多余反力

將yCP和yCR代入變形條件，