第六章數(shù)值分析-插值法

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)值方法武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系劉丁酉

liudingyou487@163.com主頁(yè)§6 插值法§6.1拉格朗日(Lagrange)插值§6.2

均差與牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式§6.3

Hermite插值§6.4

分段低次插值方法§6.5

三次樣條插值函數(shù)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

設(shè)已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值或函數(shù)y=f(x)以表格形式給出

：插值問題：

根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造函數(shù)y=f(x)的一種簡(jiǎn)單的近似表達(dá)式P(x)以便于計(jì)算點(diǎn)的函數(shù)值，或計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。（6.1）數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院式(6.2)為插值條件.

插值法就是用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)y=P(x)來(lái)近似地表示y=f(x),使得(i=0,1,2,…,n)(6.2)

則稱P(x)為插值函數(shù)，

稱f(x)為被插值函數(shù),稱為插值節(jié)點(diǎn),數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院選P(x)為n次多項(xiàng)式Pn(x)作為f(x)的近似.且使得（6.2*）

滿足關(guān)系（6.2*）的函數(shù)Pn(x)為f(x)的n次插值多項(xiàng)式.這樣地問題稱為多項(xiàng)式插值問題.設(shè)x0<x1<…<xn，記a=x0,b=xn，則[a,b]為插值區(qū)間。數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院§6.1 拉格朗日(Lagrange)插值6.1.1

Lagrange插值多項(xiàng)式6.1.2插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院1．線性插值

x0x1(x0,y0)(x1

,y1)P1(x)f(x)可見

P1(x)是過(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點(diǎn)的直線。6.1.1

Lagrange插值多項(xiàng)式數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院x0x1x2p2(x)

f(x)f(x)2．拋物插值因過三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

為了找到n次多項(xiàng)式插值問題的簡(jiǎn)便算法,我們把問題簡(jiǎn)化,考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的n次多項(xiàng)式插值問題.設(shè)函數(shù)y=f(x)如下表:xkx0x1…xi-1xixi+1…xnyk00…010…03．n次Lagrange插值多項(xiàng)式數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院求n次多項(xiàng)式li(x)i=0,1,…,n根據(jù)插值條件li(x)是n次多項(xiàng)式,且由于除xk以外所有的結(jié)點(diǎn)都是lk(x)的根，所以可設(shè)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院又由li(xi)=1，得：

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院形如(6.4)的函數(shù)…，稱為以

…，為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值函數(shù).它們都是n次多項(xiàng)式,且都滿足公式(6.3)。數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院下面我們考慮一般的多項(xiàng)式插值問題.設(shè)y=f(x)由下表給出:xkx0x1…xnyky0y1…yn求n次多項(xiàng)式,滿足yi=Ln(xi).數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院令首先由于基函數(shù)li(x)都是n次多項(xiàng)式,所以Ln(x)是n次多項(xiàng)式;再由于Ln(x)滿足yi=Ln(xi),根據(jù)唯一性定理知,Ln(x)與用解方程組的方法得到的n次多項(xiàng)式Pn(x)是相同的.稱Ln(x)為拉格朗日（Lagrange)插值多項(xiàng)式.當(dāng)n=1時(shí),為線性插值當(dāng)n=2時(shí),為二次多項(xiàng)式插值(拋物線插值)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院證明

設(shè)所要構(gòu)造的插值多項(xiàng)式為：由插值條件

得到如下線性代數(shù)方程組：定理6.1:

Lagrange插值多項(xiàng)式Ln(x)存在且唯一.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院此方程組的系數(shù)行列式為

此為一個(gè)范得蒙行列式！當(dāng)

時(shí)，

D

0，因此，Ln(x)由a0,a1,…,an唯一確定。數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院6.1.2插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)定義6.1

在插值區(qū)間[a,b]上Rn(x)=f(x)-Pn(x)稱Rn(x)為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)或差值誤差.記n+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)則有下面插值余項(xiàng)的估計(jì)定理.其中:(a,b),且依賴于x,而x[a,b].定理6.2設(shè)f(x)在[a,b]上有n+1階導(dǎo)數(shù),則數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院證明：當(dāng)xxi時(shí)，作輔助函數(shù)顯然(t)在[a,b]上n+1階可導(dǎo),且數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(x)=(xi)=0i=0,1,2,…n.即(x)有n+2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)Roll定理,在每?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)之間至少有一個(gè)’(t)的零點(diǎn).即’(t)至少有n+1個(gè)零點(diǎn).類似地反復(fù)利用Roll定理,得:’’(t)至少有n個(gè)零點(diǎn)….(n+1)(t)至少有1個(gè)零點(diǎn).即至少存在一點(diǎn)使由于因此進(jìn)而數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院注意:

由于是未知的,f(x)是未知的或是復(fù)雜的,所以,公式(6.5)不能直接使用.但是若有則有數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院例1:已知y=f(x)=ln(1+x)的值如下(1)求Lagrange插值多項(xiàng)式L2(x).(2)求L2(2.5).(3)求插值余項(xiàng)R2(x)并估計(jì)R2(x).解:(1)由公式得xi123yi數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(2)因?yàn)長(zhǎng)2(2.5)=1.2625，所以f(2.5)L2(2.5)=1.2625(3)因?yàn)槎鴶?shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院從而進(jìn)而數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院§6.2均差與牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式6.2.1均差及其性質(zhì)6.2.2牛頓(Newton)插值公式6.2.3差分及其性質(zhì)6.2.4等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值公式數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院Lagrange插值雖然易算，但若要增加或減少一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)

li(x)都需重新算過。定義1：設(shè)有函數(shù)f(x)以及自變量的一系列互不相等的x0,x1,…,xn

（即在ij時(shí)，xixj）的值f(xi)

,

稱為f(x)在點(diǎn)xi,xi處的一階均差（差商），并記作f[xi,xj]，

f[xi,xj]的幾何意義為過(xi,f(xi))和(xj,f(xj)）兩點(diǎn)的割線的斜率.6.2.1均差及其性質(zhì)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院又稱為f(x)在點(diǎn)xi,xj,xk處的二階差商,

稱

為f(x)在點(diǎn)x0,x1,…,xn處的n階差商。特別地規(guī)定：f(x)在點(diǎn)xi,處的零階差商為f[xi]=f(xi)。數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]…………f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]

xn+1f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]差商可列表計(jì)算：

xi

yi

一階差商

二階差商

n階差商

……由差商定義可知：高階差商是兩個(gè)低一階差商的差商。x0x1x2xn-1xn數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院6.2.2牛頓插值公式12…………n1(x

x0),2……(x

x0)…(x

xn1)n1Nn(x)Rn(x)ai=

f[x0,…,xi]數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院牛頓插值公式的優(yōu)點(diǎn)是：當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只要再增加一項(xiàng)就行了，即有遞推式:

由插值的唯一性可知

Nn(x)Ln(x)，故其余項(xiàng)也相同，即差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系公式

這便證明了差商的性質(zhì)3數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院注意:牛頓插值多項(xiàng)式是多項(xiàng)式族的線性組合.即此多項(xiàng)式族為另一組基.其系數(shù)是差商表從左上到右下對(duì)角線上各階差商值.例2天氣溫度函數(shù)y=f(x)的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下時(shí)間xi(時(shí))10111213氣溫yi20222826求氣溫函數(shù)的近似函數(shù)N3(x),并求N3(12.5)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院