初中數(shù)學(xué)北師大版八年級下冊第一章三角形的證明本章復(fù)習(xí)與測試 一等獎

專訓(xùn)1.線段垂直平分線的幾種應(yīng)用名師點(diǎn)金：線段的垂直平分線與線段的兩種關(guān)系：位置關(guān)系——垂直，數(shù)量關(guān)系——平分，利用垂直平分線的這些性質(zhì)可以求線段的長度、角的度數(shù)等，還可以解決實(shí)際生活中的選址等問題．線段垂直平分線的性質(zhì)在求線段中的應(yīng)用(第1題)1．如圖，在△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D，E，垂足分別為F，G，已知△ADE的周長為12cm，則BC＝________.2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，DE垂直平分AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)D.若BC＝2cm，求AD的長．(第2題)線段垂直平分線的性質(zhì)在求角中的應(yīng)用3．(2023·樂山)如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，則∠DBC＝________°.(第3題)4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接AD，AD將∠CAB分成兩個角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度數(shù)．(第4題)線段垂直平分線的性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用5．如圖，某城市規(guī)劃局為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個住宅小區(qū)A，B，C之間修建一個購物中心，試問：該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等？(第5題)線段垂直平分線的性質(zhì)在判定兩線位置關(guān)系中的應(yīng)用6．如圖，AD為△ABC的角平分線，AE＝AF，請判斷線段AD所在直線是否為線段EF的垂直平分線．如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．(第6題)專訓(xùn)2.角平分線中常用作輔助線的方法名師點(diǎn)金：因?yàn)榻堑钠椒志€已經(jīng)具備了全等三角形的兩個條件(角相等和公共邊)，所以在處理角的平分線的問題時，常作出全等三角形的第三個條件，截兩邊相等(SAS)或向兩邊作垂線段(AAS)或延長線段等來構(gòu)造全等三角形．作一邊的垂線段1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，AC＝BC，能否在AB上確定一點(diǎn)E，使△BDE的周長等于AB的長？(第1題)作兩邊的垂線段2．如圖，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C，D，證明：PC＝PD.(第2題)延長線段作對稱圖形法3．如圖，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO，AE⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)E，求證：BD＝2AE.(第3題)截取線段作對稱圖形法4．如圖，AD為△ABC的中線，DE，DF分別是△ADB和△ADC的角平分線，求證：BE＋CF>EF.(第4題)答案專訓(xùn)11．12cm2．解：如圖，連接BD.∵DE垂直平分AB，∴AD＝DB.∴∠DBA＝∠A＝15°.∴∠CDB＝∠A＋∠DBA＝30°.又∵∠C＝90°，∴BD＝2BC.∴AD＝2BC＝4cm.即AD的長是4cm.(第2題)3．15點(diǎn)撥：在Rt△AED中，∠ADE＝40°，所以∠A＝50°.因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝eq\f(180°－50°,2)＝65°.因?yàn)镈E垂直平分AB，所以DA＝DB.所以∠DBE＝∠A＝50°.所以∠DBC＝65°－50°＝15°.4．解：∵∠1∶∠2＝2∶5，∴設(shè)∠1＝2x，則∠2＝5x.∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD.∴∠B＝∠2＝5x.∴∠ADC＝∠2＋∠B＝10x.∵在△ADC中，2x＋10x＝90°，解得x＝°，∴∠ADC＝10x＝75°.5．解：連接AB，BC，分別作AB，BC的垂直平分線DE，GF，兩直線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所要確定的購物中心的位置．如圖．(第5題)點(diǎn)撥：解決作圖選點(diǎn)問題，若要找到某兩個點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，一般在這兩點(diǎn)所連線段的垂直平分線上去找；若要找到某兩條不平行的直線的距離相等的點(diǎn)，則一般在這兩條直線相交所成的角的平分線上去找．6．解：線段AD所在直線是線段EF的垂直平分線．證明：因?yàn)锳D是∠BAC的平分線，所以∠BAD＝∠CAD.在△AED和△AFD中，因?yàn)閑q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,∠EAD＝∠FAD，,AD＝AD，))所以△AED≌△AFD(SAS)，所以DE＝DF.所以點(diǎn)D在線段EF的垂直平分線上．又因?yàn)锳E＝AF，所以點(diǎn)A在線段EF的垂直平分線上．所以線段AD所在直線是線段EF的垂直平分線．點(diǎn)撥：判斷一條直線是某一線段的垂直平分線時，應(yīng)證明這條直線上至少有兩個點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．專訓(xùn)2(第1題)1．解：能在AB上確定一點(diǎn)E，使△BDE的周長等于AB的長，即過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則E點(diǎn)就是所要確定的點(diǎn)(如圖)．理由如下：∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE.在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，DC＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE.∵AC＝BC，∴△BDE的周長為BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB.2．證明：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，∴∠PEC＝∠PFD＝90°.∵OM是∠AOB的平分線，∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.而∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF.(第2題)在△PCE和△PDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PCE＝∠PDF，,∠PEC＝∠PFD，,PE＝PF，))∴△PCE≌△PDF(AAS)．∴PC＝PD.3．證明：如圖，延長AE交BO的延長線于點(diǎn)F.∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°.∵BD平分∠ABO，∴∠ABE＝∠FBE.又∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE.∴AE＝FE.∴AF＝2AE.∵∠AEB＝∠AOB＝90°，∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°.∴∠OAF＝∠OBD.又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°，∴△AOF≌△BOD(ASA)．∴AF＝BD.∴BD＝2AE.(第3題)4．證明：如圖，在AD上截取DH＝BD，連接EH，