2018屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)寒假作業(yè)（十二）空間幾何體（注意速度和準(zhǔn)度）理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精寒假作業(yè)（十二）空間幾何體（注意速度和準(zhǔn)度)一、“12＋4”提速練1．下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A．圓柱的軸截面是過(guò)母線的截面中面積最大的一個(gè)B．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)C．圓臺(tái)的所有平行于底面的截面都是圓D．圓錐所有的軸截面是全等的等腰三角形解析：選B根據(jù)棱臺(tái)的定義，用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)，故B錯(cuò)誤．2．一條線段長(zhǎng)為5eq\r（2),其側(cè)視圖長(zhǎng)為5，俯視圖長(zhǎng)為eq\r（34），則其正視圖長(zhǎng)為（)A．5 B.eq\r（34）C．6 D.eq\r(41)解析：選D把這條線段想象成長(zhǎng)方體ABCD.A1B1C1D1的體對(duì)角線AC1，AC1的側(cè)視圖為DC1＝5，AC1的俯視圖為AC＝eq\r(34），AC1的正視圖為AD1,設(shè)AB＝a,AD＝b，AA1＝c，則a2＋c2＝25,a2＋b2＝34，又a2＋b2＋c2＝50，則b2＝25,c2＝16，AD1＝eq\r(b2＋c2）＝eq\r(41）。3．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是棱CD上一點(diǎn),則三棱錐P。A1B1解析:選D在長(zhǎng)方體ABCD。A1B1C1D1中,從左側(cè)看三棱錐P。A1B1A，B1，A1,A的射影分別是C1，D1，D；AB1的射影為C1D，且為實(shí)線,PA1的射影為PD14．(2017·湖北省七市(州)聯(lián)考)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中正視圖和側(cè)視圖是兩個(gè)全等的等腰三角形，底邊長(zhǎng)為4，腰長(zhǎng)為3，則該幾何體的表面積為(）A．6π B．8πC．10π D．12π解析:選C根據(jù)三視圖，可以看出該幾何體是一個(gè)圓錐，其底面圓的半徑r為2，側(cè)棱長(zhǎng)l為3,故該圓錐的表面積S＝πr(r＋l)＝π×2×（2＋3）＝10π。5.“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合（牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是()解析:選B根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，俯視圖為B.6。在一圓柱中挖去一圓錐所得的機(jī)械部件的三視圖如圖所示，則此機(jī)械部件的表面積為（)A．（7＋eq\r(2))πB．(8＋eq\r(2））πC.eq\f（22π,7)D．（1＋eq\r（2))π＋6解析：選A由題意得，挖去的圓錐的底面半徑r＝1，母線l＝eq\r(2)，∴該機(jī)械部件的表面積S＝π×12＋2π×1×3＋π×1×eq\r(2）＝（7＋eq\r(2)）π，故選A.7。(2017·全國(guó)卷Ⅰ）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）A．10 B．12C．14 D．16解析：選B由多面體的三視圖還原直觀圖如圖．該幾何體由上方的三棱錐A。BCE和下方的三棱柱BCE.B1C1A1構(gòu)成，其中平面CC1A1A和平面BB1A1A8．若圓錐與球的體積相等,且圓錐底面半徑與球的直徑相等，則圓錐側(cè)面積與球面面積之比為（)A.eq\r（2)∶2 B。eq\r(3）∶2C。eq\r(5）∶2 D．3∶2解析：選C設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則球的半徑R＝eq\f(r,2)，由條件知，eq\f（1,3）πr2h＝eq\f(4，3）πeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(r,2)）)3，所以h＝eq\f(r，2)。所以圓錐的側(cè)面積S1＝πr·eq\r(h2＋r2)＝πreq\r（\f（r2，4)＋r2)＝eq\f(\r(5)，2)πr2,球面面積S2＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（r，2)）)2＝πr2，所以S1∶S2＝eq\r（5)∶2。9。(2017·石家莊質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示(在網(wǎng)格線中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），則該幾何體的體積為（）A．2 B．3C．4 D．6解析:選A由三視圖知,該幾何體為四棱錐,其底面面積S＝eq\f（1,2）×(1＋2）×2＝3，高為2，所以該幾何體的體積V＝eq\f（1,3)×3×2＝2.10．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（)A．18＋2π B．20＋πC．20＋eq\f（π,2） D．16＋π解析：選B由三視圖可知，這個(gè)幾何體是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體割去了相對(duì)邊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半徑為1、高為1的eq\f(1，4)圓柱體，其表面積相當(dāng)于正方體五個(gè)面的面積與兩個(gè)eq\f（1，4）圓柱的側(cè)面積的和，即該幾何體的表面積S＝4×5＋2×2π×1×1×eq\f（1，4)＝20＋π.11．三棱錐P.ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2,△ABC是邊長(zhǎng)為eq\r(3）的等邊三角形,則該三棱錐外接球的表面積為()A。eq\f(4π，3） B．4πC．8π D．20π解析：選C由題意得,此三棱錐外接球即為以△ABC為底面、以PA為高的正三棱柱的外接球，因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑r＝eq\f（\r（3)，2）×eq\r（3)×eq\f(2，3)＝1，外接球球心到△ABC的外接圓圓心的距離d＝1，所以外接球的半徑R＝eq\r（r2＋d2）＝eq\r（2），所以三棱錐外接球的表面積S＝4πR2＝8π，故選C。12．設(shè)點(diǎn)A,B，C為球O的球面上三點(diǎn),O為球心．球O的表面積為100π，且△ABC是邊長(zhǎng)為4eq\r（3)的正三角形,則三棱錐O.ABC的體積為（）A．12 B．12eq\r(3）C．24eq\r（3） D．36eq\r(3)解析：選B∵球O的表面積為100π＝4πr2，∴球O的半徑為5.如圖，取△ABC的中心H，連接OH，連接AH并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，則AM＝eq\r（4\r(3)2－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(4\r(3），2）))2）＝6，AH＝eq\f（2，3)AM＝4，∴OH＝eq\r(OA2－AH2)＝eq\r(52－42）＝3，∴三棱錐O。ABC的體積為V＝eq\f(1，3)×eq\f（\r(3），4)×(4eq\r（3））2×3＝12eq\r（3）。13．(2017·江蘇高考)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f（V1，V2)的值是________．解析：設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以eq\f(V1,V2）＝eq\f（πR2·2R，\f（4，3）πR3)＝eq\f（3,2）.答案:eq\f(3，2)14．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_(kāi)_______．解析：由三視圖可得該幾何體為圓柱和四分之一球的組合體．圓柱的底面半徑為1,高為3,球的半徑為1，故該幾何體的表面積為S＝π×12＋2π×1×3＋4π×12×eq\f（1,4)＋eq\f（1，2）π×12＋eq\f(1，2)π×12＝9π.答案：9π15.(2017·南昌一模)如圖，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC,BC＝2CD＝2AD＝2,若將該直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體的表面積為_(kāi)_______．解析：根據(jù)題意可知，此旋轉(zhuǎn)體的上半部分為圓錐(底面半徑為1,高為1)，下半部分為圓柱(底面半徑為1，高為1)，如圖所示．則所得幾何體的表面積為圓錐側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積以及圓柱的下底面積之和，即表面積為π·1·eq\r（12＋12)＋2π·12＋π·12＝（eq\r(2）＋3）π。答案：（eq\r(2）＋3)π16．(2018屆高三·云南11校跨區(qū)調(diào)研)已知四棱錐P-ABCD的所有頂點(diǎn)都在體積為eq\f(500π,81）的球面上，底面ABCD是邊長(zhǎng)為eq\r（2)的正方形，則四棱錐P。ABCD體積的最大值為_(kāi)_______．解析：依題意，設(shè)球的半徑為R，則有eq\f(4π，3）R3＝eq\f（500π,81),R＝eq\f(5，3）。因?yàn)檎叫蜛BCD的外接圓半徑r＝1,所以球心到平面ABCD的距離h＝eq\r（R2－r2）＝eq\r（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(5,3）))2－12）＝eq\f（4,3)，因此點(diǎn)P到平面ABCD的距離的最大值為h＋R＝eq\f（4,3）＋eq\f(5，3)＝3，因此四棱錐P-ABCD體積的最大值為eq\f(1，3）×(eq\r(2）)2×3＝2。答案：2二、能力拔高練1．(2017·洛陽(yáng)統(tǒng)考）已知某組合體的三視圖如圖所示，則此組合體的體積為(）A。eq\f（10,3)π B．14πC。eq\f（16,3）π－8 D.eq\f(16,3）π－4解析：選D依題意知，該組合體是從一個(gè)圓錐（底面半徑為2、高為4)中截去一個(gè)正四棱柱（底面正方形邊長(zhǎng)為eq\r（2）、高為2)后剩余的部分，因此該組合體的體積為eq\f（1，3)π×22×4－(eq\r(2）)2×2＝eq\f（16π,3)－4。2．已知球O1和球O2的半徑分別為1和2，且球心距為eq\r（5），若兩球體的表面相交得到一個(gè)圓，則該圓的面積為（)A.eq\f(π，2) B。eq\f（4π,5）C．π D．2π解析：選B作出兩球面相交的一個(gè)截面圖，如圖所示,AB為相交圓的直徑,由條件知O1A＝1，O2A＝2，O1O2＝eq\r(5），所以△AO1O2為直角三角形．由三角形面積公式，得AC＝eq\f（O1A·O2A，O1O2）＝eq\f(2,\r（5）)，所以所求圓的面積為π·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2,\r（5)）)）2＝eq\f(4π,5)，故選B。3．一個(gè)正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.eq\f（1,5） B。eq\f(1,6)C。eq\f(1，7） D.eq\f(1，8)解析:選A如圖，依題意，剩余部分所表示的幾何體是從正三棱柱ABC。A1B1C1(其底面邊長(zhǎng)是2）中截去三棱錐E-A1B1C1(其中E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn))，因此三棱錐E。A1B1C1的體積為VE。A1B1C1＝eq\f（1,3）×eq\f(\r（3），4）×22×1＝eq\f（\r（3），3)，剩余部分的體積為V＝VABC-A1B1C1－VE-A1B1C1＝eq\f(\r（3）,4)×22×2－eq\f(\r（3)，3）＝eq\f（5\r(3）,3),因此截去部分體積與剩余部分體積的比值為eq\f(1，5)。4．（2017·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．80 B．160C．240 D．480解析:選B依題意,如圖所示，題中的幾何體是從直三棱柱ABC。A′B′C′中截去一個(gè)三棱錐A.A′B′C′后所剩余的部分，其中底面△ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝6，AB＝8，BB′＝10，因此幾何體的體積為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）×6×8））×10－eq\f（1，3）×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）×6×8））×10)）＝160,選B。5．(2017·天水一模)四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，且四棱錐P。ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點(diǎn),直線EF被球面所截得的線段長(zhǎng)為2eq\r(2），則該球的表面積為_(kāi)_______．解析：法一：將三視圖還原為直觀圖如圖中四棱錐P-ABCD，可得四棱錐P.ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)位于同一個(gè)正方體的頂點(diǎn)處，且與該正方體內(nèi)接于同一個(gè)球．設(shè)外接球的球心為O，則O也是正方體的中心，設(shè)EF的中點(diǎn)為G,連接OG，OA，AG.因?yàn)橹本€EF被球面所截得的線段長(zhǎng)為2eq\r（2），即正方體面對(duì)角線長(zhǎng)也是2eq\r(2)，所以AG＝eq\r(2)＝eq\f（\r(2)，2）a,得a＝2.在Rt△OGA中，OG＝eq\f（1,2）a＝1,AG＝eq\r（2），則AO＝eq\r(3），即外接球半徑R＝eq\r（3),所以所求外接球的表面積為4πR2＝12π.法二：將三視圖還原為直觀圖如圖中四棱錐P-ABCD,其中底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD＝a，連接AC，由題意得BC⊥PB，DC⊥PD，PA⊥AC，取PC的中點(diǎn)O,連接OA