2018屆數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)配餐作業(yè)44空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（含解析）理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE14學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精配餐作業(yè)(四十四)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（時(shí)間：40分鐘）一、選擇題1．下列說法正確的是（）A．若a?α，b?β,則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內(nèi),則a與b異面D．若a,b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面解析由異面直線的定義可知。故選D。答案D2．（2016·山東高考)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析若直線a，b相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈a,P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α,P∈β，故α,β相交。反之，若α,β相交，則a,b可能相交，也可能異面或平行.故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交"的充分不必要條件。故選A。答案A3．設(shè)A、B、C、D是空間中四個(gè)不同的點(diǎn)，下列命題中,不正確的是()A．若AC與BD共面，則AD與BC共面B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線C．若AB＝AC，DB＝DC，則AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC,則AD⊥BC解析若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC，C不正確.故選C。答案C4．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則直線a與c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是異面直線D．平行、相交或異面都有可能解析當(dāng)a，b，c共面時(shí)，a∥c；當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，a與c可能異面也可能相交。故選D。答案D5．空間四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一定是（)A．空間四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形解析順次連接空間四邊形四邊中點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,又因?yàn)榭臻g四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，所以平行四邊形的兩鄰邊互相垂直，故順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一定是矩形。故選B。答案B6．四棱錐P－ABCD的所有側(cè)棱長都為eq\r(5），底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為()A.eq\f（2\r(5)，5） B.eq\f(\r（5)，5)C。eq\f(4，5) D。eq\f（3，5）解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,故CD∥AB，則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角,即為∠PAB或其補(bǔ)角。在△PAB內(nèi)，PB＝PA＝eq\r(5），AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝eq\f（PA2＋AB2－PB2，2×PA×AB)＝eq\f(5＋4－5，2×\r（5）×2)＝eq\f(\r(5），5）,故選B。答案B二、填空題7．給出下列命題，其中正確的命題有________。①如果線段AB在平面α內(nèi)，那么直線AB在平面α內(nèi)；②兩個(gè)不同的平面可以相交于不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C；③若三條直線a,b，c互相平行且分別交直線l于A,B，C三點(diǎn),則這四條直線共面;④若三條直線兩兩相交,則這三條直線共面；⑤兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.解析顯然①③正確.若兩平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，則這兩平面重合，故②不正確；三條直線兩兩相交于同一點(diǎn)時(shí),三條直線不一定共面,故④不正確；兩組對(duì)邊相等的四邊形可能是空間四邊形，⑤不正確。答案①③8．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線的對(duì)數(shù)為________。解析平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB,CD,EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD,EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交,CD與EF平行。故互為異面的直線有且只有3對(duì).答案39．設(shè)a，b，c是空間中的三條直線,下面給出五個(gè)命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c;②若a⊥b，b⊥c,則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α,b?平面β,則a，b一定是異面直線；⑤若a,b與c成等角，則a∥b。正確的命題是________(寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）。解析由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí),a與c可以相交、平行，也可以異面，故②不正確；當(dāng)a與b相交,b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③不正確;a?α,b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”,故④不正確;當(dāng)a，b與c成等角時(shí)，a與b可以相交、平行,也可以異面，故⑤不正確。答案①三、解答題10。如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形,∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1，2)AD,BE綊eq\f（1，2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)。（1）求證：四邊形BCHG是平行四邊形;（2)C，D，F(xiàn),E四點(diǎn)是否共面？為什么？解析（1)證明：由題設(shè)知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD,所以GH綊eq\f(1,2）AD。又BC綊eq\f（1，2）AD，故GH綊BC。所以四邊形BCHG是平行四邊形。(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面。理由如下:由BE綊eq\f(1，2)FA，G是FA的中點(diǎn)知，BE綊GF，則四邊形BGFE是平行四邊形，所以EF綊BG。由(1）知BG∥CH,所以EF∥CH，故EC,FH共面。又點(diǎn)D在直線FH上,所以C,D,F，E四點(diǎn)共面。答案（1）見解析(2)共面，理由見解析11.如圖所示,在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)。(1)求證：AE與PB是異面直線；（2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值.解析（1)證明:假設(shè)AE與PB共面,設(shè)此平面為α?！逜∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即為平面ABE，∴P∈平面ABE，顯然這與P?平面ABE矛盾，∴AE與PB是異面直線。(2）取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EF∥PB,∠AEF（或其補(bǔ)角)就是異面直線AE和PB所成的角.∵∠BAC＝60°,PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝eq\r（3）,AE＝eq\r(2),EF＝eq\r（2)，cos∠AEF＝eq\f(AE2＋EF2－AF2，2·AE·EF）＝eq\f（2＋2－3，2×\r(2)×\r（2))＝eq\f（1，4），即異面直線AE和PB所成角的余弦值為eq\f（1,4）。答案（1)見解析（2)eq\f(1，4)(時(shí)間：20分鐘）1．設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1，1，1，eq\r(2)和a,且長為a的棱與長為eq\r(2)的棱異面，則a的取值范圍是（)A．(0，eq\r(2)) B．(0,eq\r(3))C．(1,eq\r（2）) D．（1,eq\r(3))解析此題相當(dāng)于一個(gè)正方形沿著對(duì)角線折成一個(gè)四面體,長為a的棱長一定大于0且小于eq\r(2).故選A。答案A2．過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB,AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線lA．1條 B．2條C．3條 D．4條解析如圖，連接體對(duì)角線AC1，顯然AC1與棱AB,AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都為eq\r（2)。聯(lián)想正方體的其他體對(duì)角線,如連接BD1，則BD1與棱BC，BA，BB1所成的角都相等,因?yàn)锽B1∥AA1，BC∥AD，所以體對(duì)角線BD1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等.同理，體對(duì)角線A1C，DB1也與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，過A點(diǎn)分別作BD1，A1C，DB1的平行線都滿足題意,故這樣的直線l可以作4條。故選D。答案D3．(2016·浙江高考)如圖，已知平面四邊形ABCD,AB＝BC＝3，CD＝1,AD＝eq\r(5)，∠ADC＝90°。沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是________。解析作BE∥AC，BE＝AC,連接D′E,則∠D′BE為所求的角或其補(bǔ)角，作D′N⊥AC于點(diǎn)N，設(shè)M為AC的中點(diǎn)，連接BM，則BM⊥AC,作NF∥BM交BE于F，連接D′F，設(shè)∠D′NF＝θ，∵D′N＝eq\r（\f（5,6))＝eq\f(\r（30），6），BM＝FN＝eq\r(\f（15，2））＝eq\f（\r（30）,2），∴D′F2＝eq\f(25，3)－5cosθ，∵AC⊥D′N，AC⊥FN,∴D′F⊥AC,∴D′F⊥BE，又BF＝MN＝eq\f（\r(6），3)，∴在Rt△D′FB中，D′B2＝9－5cosθ，∴cos∠D′BE＝eq\f(BF，D′B)＝eq\f(\f(\r(6），3)，\r(9－5cosθ))≤eq\f（\r（6)，6），當(dāng)且僅當(dāng)θ＝0°時(shí)取“＝”.答案eq\f（\r（6),6）4.如圖，在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠DAB＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.（1）求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值。解析（1）在四棱錐P－ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO即為PB與平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°,在Rt△ABO中，AB＝2,∠OAB＝30°，∴BO＝1?！逷O⊥平面ABCD，OB?平面ABCD，∴PO⊥OB。在Rt△POB中,PO＝BOtan60°＝eq\r(3），易知底面菱形的面積S＝2×eq\f（\r(3）,4)×22＝2eq\r(3)，∴四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝eq\f（1，3）×2eq\r（3)×eq\r(3)＝2。（2）取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF，∵E為PB中點(diǎn)，∴EF∥PA.∴∠DEF即為異面直線DE與PA所成的角（或其補(bǔ)角）。在Rt△AOB中，AO＝eq\r(3）＝OP,∴PA＝eq\r(6)，EF＝eq\f（\r(6）,2)。易知DF＝DE＝eq\r(3）,∴cos∠DEF＝eq\f（DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(\r(3)2＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)，2）））2－