廣東省梅州市百侯中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

廣東省梅州市百侯中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.M（x0，y0）為圓x2+y2=a2（a>0）外的一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=a2與該圓的位置關(guān)系是（

）A、相切

B、相交

C、相離

D、相切或相交參考答案：B2.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），滿足xf′（x）+2f（x）=，且f（1）=1，則函數(shù)f（x）的最大值為（）A．0 B． C． D．2e參考答案：C【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；3H：函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=x2f（x），可解得g（x）=1+lnx，f（x）=，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求得最大值即可．【解答】解：∵xf′（x）+2f（x）=，∴x2f′（x）+2xf（x）=，令g（x）=x2f（x），則g′（x）=x2f′（x）+2xf（x）=，∵f（1）=1，∴g（1）=1，∴g（x）=1+lnx，f（x）=，∴f′（x）=，∴x＜時(shí)，f′（x）=＞0，x＞時(shí)，f′（x）=＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，f（x）max=f（）==．故選C．3.集合M={x|0x2}，N={x|x2-2x-3<0}，則M和N的交集為 （

）A.{x|0x2}

B.{x|0<x<2}

C.{x|-1<x<3}

D.{x|0<x}參考答案：A4.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.正方體ABCD—A1B1C1D1中直線與平面夾角的余弦值是（）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。若點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則（

）A．

B．

C．4

D．參考答案：B7.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i（2﹣i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】首先進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，看出所在的象限．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2）這個(gè)點(diǎn)在第一象限，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，本題解題的關(guān)鍵是寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，才能看出實(shí)部和虛部的值．8.定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（）A．

B．C． D．參考答案：C當(dāng)x≥0時(shí)，又f（x）是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知：g（x）=0?f（x）=a，（0＜a＜1），有5個(gè)零點(diǎn)，其中有兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于x=﹣3對(duì)稱，還有兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于x=3對(duì)稱，所以這四個(gè)零點(diǎn)的和為零，第五個(gè)零點(diǎn)是直線y=a與函數(shù)y=，x∈交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即方程a=的解，x=，故選：C．

9.某集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，滿足A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．{a|a≥2} B．{a|a＞2} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}參考答案：A【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】作圖題；集合．【分析】由題意，用數(shù)軸表示集合的關(guān)系，從而求解．【解答】解：由題意，作圖如下：則a≥2，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的包含關(guān)系的應(yīng)用，借助數(shù)軸可以形象表示集合關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10.復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z=4+ai(a∈R，i是虛數(shù)單位)，若復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部相等則a等于

A．12

B．4

C．

D．l2參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正數(shù)滿足，則的最小值為

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.參考答案：8略12.如圖，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1容器內(nèi)裝進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于底面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列三個(gè)說(shuō)法：①水的形狀始終是棱柱形狀；②水面形成的四邊形EFGH的面積不改變；③當(dāng)E∈AA1時(shí)，AE+BF是定值．其中正確說(shuō)法是．（寫出所以正確說(shuō)法的序號(hào)）參考答案：①③【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】由已知中長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1容器內(nèi)裝進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于底面上，再將容器傾斜．結(jié)合棱柱的結(jié)構(gòu)特征我們可以判斷①②③的真假，進(jìn)而得到答案．【解答】解：由于底面一邊BC固定于底面上，故傾斜過(guò)程中，與BC邊垂直的兩個(gè)面始終平行，且其它面均為平行四邊形，滿足棱柱的結(jié)構(gòu)特征，故①正確；水面形成的四邊形EFGH的面積會(huì)發(fā)生改變，故②錯(cuò)誤；E∈AA1時(shí)，AE+BF=AA1，故③正確；故答案為：①③13.命題“若x＞1，則x＞2”的逆命題為

．參考答案：若x＞2，則x＞1

【考點(diǎn)】四種命題．【分析】根據(jù)已知中的原命題，結(jié)合逆命題的定義，可得答案．【解答】解：命題“若x＞1，則x＞2”的逆命題為命題“若x＞2，則x＞1”，故答案為：若x＞2，則x＞1【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是四種命題，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．14.已知平面α的一個(gè)法向量為，點(diǎn)A（2，6，3）在平面α內(nèi)，則點(diǎn)D（﹣1，6，2）到平面α的距離等于．參考答案：【考點(diǎn)】平面的法向量．【分析】點(diǎn)D（﹣1，6，2）到平面α的距離d=，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵平面α的一個(gè)法向量為，點(diǎn)A（2，6，3）在平面α內(nèi)，點(diǎn)D（﹣1，6，2），∴=（﹣3，0，﹣1），∴點(diǎn)D（﹣1，6，2）到平面α的距離d==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．15.已知命題：；命題：中，，則，則命題（）且的真假性的是

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．參考答案：真命題略16.若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=1-i(i是虛數(shù)單位)，則其共軛復(fù)數(shù)=__________________.參考答案：y=17.已知函數(shù)滿足且當(dāng)時(shí)總有，其中.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

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.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)在拋物線上．（Ⅰ）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）過(guò)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩條切線、，切點(diǎn)為、．若、的斜率乘積為，且，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）的焦點(diǎn)為，所以，.故的方程為，其準(zhǔn)線方程為．………4分（Ⅱ）任取點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的的切線方程為．………5分由，得．………6分由，化簡(jiǎn)得，………8分記斜率分別為，則，因?yàn)?，所以……………?0分所以，所以…………12分19.已知a，b∈R，且a+b=1．求證：．參考答案：

證明

即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）略20.已知數(shù)列{an}中，滿足an=3an﹣1+2，a1=2．（1）證明{an+1}為等比數(shù)列．（2）求an的通項(xiàng)公式．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）把已知遞推式兩邊加1，可得an+1=3（an﹣1+1）（n≥2），結(jié)合首項(xiàng)不為0可得an+1}為等比數(shù)列；（2）求出（1）中的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得an的通項(xiàng)公式．【解答】（1）證明：由an=3an﹣1+2，得an+1=3（an﹣1+1）（n≥2），∵a1=2，∴a1+1≠0，則，故{an+1}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列；（2）解：∵{an+1}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，∴an+1=3?3n﹣1=3n，則．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．21.（16分）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是實(shí)數(shù)．（1）若a=﹣，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直線y=g(x)﹣是曲線y=f（x）的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若a＜0，且b﹣a=，函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值問(wèn)題；（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線方程，得到lnx0﹣x0+1=0，設(shè)t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的值即可；（3）通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求出a的范圍即可．【解答】解：（1）由題意，，x＞0，∴，令f'（x）=0，x=1，…（2分）x（0，1）1（1，+∞）f'（x）+0﹣f（x）↗↘從上表可知，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值，且是最大值，∴f（x）的最大值是．…（2）由題意，直線是曲線y=lnx+ax2的一條切線，設(shè)切點(diǎn)，∴切線的斜率為，∴切線的方程為，即，∴…（6分）∴l(xiāng)nx0﹣x0+1=0，設(shè)t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，∴，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，t'（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，t'（x）＜0，∴t（x）在x=1處取得極大值，且是最大值，∴t（x）max=t（1）=0，∵t（x0）=0，∴x0=1，此時(shí)．

…（10分）（3）∵，∴，x＞0，∴，（?。┊?dāng)﹣1≤a≤0時(shí)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＜0，∴函數(shù)h（x）在x=1處取得極大值，且是最大值，∴h（x）≤h（1）=﹣1，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）上無(wú)零點(diǎn)，…（12分）（ⅱ）當(dāng)a＜﹣1時(shí)，令h'（x）=0，得，x2=1，由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x﹣1，∴，其中，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函數(shù)h（x）在（0，1）上不間斷，∴函數(shù)h（x）在（0，1）上存在零點(diǎn)，另外，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＜0，故函數(shù)h（x）在（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，∴函數(shù)h（x）在（0，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)，∵h(yuǎn)（2）=ln2+a×22﹣（2a+1）×2=ln2﹣2＜0，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函數(shù)h（x）在（1，+∞）上不間斷，∴函數(shù)h（x）在（1，+∞）上存在零點(diǎn)，另外，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，故函數(shù)h（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，∴函數(shù)h（x）在（1，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，∴當(dāng)﹣1≤a≤0時(shí)，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)a＜﹣1時(shí)，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．