廣東省河源市公白中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

廣東省河源市公白中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若在區(qū)間[0，2]中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)大于的概率是（） A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】幾何概型． 【專題】概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】先根據(jù)幾何概型的概率公式求出在區(qū)間[0，2]中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)大于，利用幾何概型求出概率即可． 【解答】解：∵在區(qū)間[0，2]中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)大于的概率為=， 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何概型，簡(jiǎn)單地說，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．屬于基礎(chǔ)題． 2.在△ABC中，已知，則角A為

(

)(A)

(B)

(C)

(D)或參考答案：C3.直線x﹣y+m=0與圓x2+y2﹣2x+1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（）A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1參考答案： A【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】把圓的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑r，根據(jù)直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)得到直線與圓相交，即圓心到直線的距離d小于半徑r，求出m的范圍，即可作出判斷．【解答】解：圓方程整理得：（x﹣1）2+y2=1，∴圓心（1，0），半徑r=1，∵直線x﹣y+m=0與圓x2+y2﹣2x+1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)，∴直線與圓相交，即d＜r，∴＜1，即|m+1|＜，解得：﹣﹣1＜m＜﹣1，則直線x﹣y+m=0與圓x2+y2﹣2x+1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是0＜m＜1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)即為直線與圓相交．4.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.已知點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為的內(nèi)心【內(nèi)心---角平分線交點(diǎn)且滿足到三角形各邊距離相等】，若成立，則雙曲線的離心率為A.

B.

C.4

D.2參考答案：C略6.已知A（﹣1，0），B（3，0），則與A距離為1且與B距離為4的點(diǎn)有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)參考答案：B【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間距離公式的應(yīng)用．【分析】以A為圓心，1為半徑的圓的方程為（x+1）2+y2=1；以B為圓心，4為半徑的圓的方程為（x﹣3）2+y2=16，圓心距為4，大于半徑的差，小于半徑的和，即兩圓相交，可得結(jié)論．【解答】解：以A為圓心，1為半徑的圓的方程為（x+1）2+y2=1；以B為圓心，4為半徑的圓的方程為（x﹣3）2+y2=16，圓心距為4，大于半徑的差，小于半徑的和，即兩圓相交，∴與A距離為1且與B距離為4的點(diǎn)有2個(gè)，故選B．7.下列說法中，正確的是

(

)A.當(dāng)且時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，的最小值為2D．當(dāng)時(shí)，無最大值參考答案：B8.用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟：①，這與三角形內(nèi)角和為相矛盾，不成立；②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角、、中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)；正確順序的序號(hào)為(

)A．③①② B．①②③ C．①③② D．②③①參考答案：A略9.某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年級(jí)的人數(shù)比為4：3：2：1，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，則應(yīng)抽取三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為（）A．80 B．40 C．60 D．20參考答案：B【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，根據(jù)一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生比為4：3：2：1，利用三年級(jí)的所占的比例數(shù)除以所有比例數(shù)的和再乘以樣本容量即得抽取三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)．【解答】解：∵要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個(gè)容量為200的樣本，一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生比為4：3：2：1，∴三年級(jí)要抽取的學(xué)生是×200=40，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣方法，本題解題的關(guān)鍵是看出三年級(jí)學(xué)生所占的比例，本題也可以先做出三年級(jí)學(xué)生數(shù)和每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，得到結(jié)果．10.已知函數(shù)，那么的定義域是（

）A．R

B．C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線x﹣2y+5=0與直線2x+my﹣6=0互相垂直，則實(shí)數(shù)m=

．參考答案：1【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【分析】求出兩條直線的斜率；利用兩直線垂直斜率之積為﹣1，列出方程求出m的值．【解答】解：直線x﹣2y+5=0的斜率為直線2x+my﹣6=0的斜率為∵兩直線垂直∴解得m=1故答案為：112.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(-1,0)與F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)的軌跡，給出下列三個(gè)結(jié)論：（1）曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；（3）若點(diǎn)p在曲線C上，則三角形F1PF2的面積不大于。其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______參考答案：13.直線y=x+3與曲線=1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為．參考答案：3【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】分x大于等于0，和x小于0兩種情況去絕對(duì)值符號(hào)，可得當(dāng)x≥0時(shí)，曲線=1為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，當(dāng)x＜0時(shí)，曲線=1為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，在同一坐標(biāo)系中作出直線y=x+3與曲線=1的圖象，就可找到交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：當(dāng)x≥0時(shí)，曲線=1的方程為當(dāng)x＜0時(shí)，曲線=1的方程為，∴曲線=1的圖象為右圖，在同一坐標(biāo)系中作出直線y=x+3的圖象，可得直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)．故答案為3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖象法求直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，化簡(jiǎn)曲線方程．14.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，若a1=2且數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和是（2n+1）?3n﹣1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是．參考答案：an=n+1【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】根據(jù)當(dāng)n=1時(shí)，求得b1=4，寫出Tn=（2n+1）?3n﹣1，Tn﹣1=（2n﹣1）?3n﹣1﹣1，兩式相減求得：anbn=4（n+1）?3n﹣1，得到bn=4?3n﹣1，an=n+1．【解答】解：{anbn}的前n項(xiàng)和Tn=（2n+1）?3n﹣1，{bn}是等比數(shù)列，公比為q，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=2，公差為d，a1=2，a1b1=3?3﹣1，b1=4，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（2n+1）?3n﹣1，a1b1+a2b2+a3b3+…+an﹣1bn﹣1=（2n﹣1）?3n﹣1﹣1，兩式相減得：anbn=4（n+1）?3n﹣1，∴bn=4?3n﹣1，an=n+1，故答案為：an=n+1．15.求的單調(diào)遞減區(qū)間

.參考答案：

16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到A（4，0）的距離等于它到直線x=1的距離的2倍，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為．參考答案：3x2﹣y2=12略17.(理)若曲線在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18,則a=.參考答案：64略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).參考答案：（1）的普通方程為：；的直角坐標(biāo)方程為直線；（2）的最小值為.【分析】（1）消參數(shù)可得的普通方程；將的極坐標(biāo)方程展開，根據(jù)，即可求得的直角坐標(biāo)方程。（2）設(shè)，利用點(diǎn)到直線距離公式表示出點(diǎn)P到直線的距離，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最小值，將代入?yún)?shù)方程即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)?！驹斀狻浚?）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），移項(xiàng)后兩邊平方可得，即有橢圓；曲線的極坐標(biāo)方程為，即有，由，，可得，即有的直角坐標(biāo)方程為直線；（2）設(shè)，由到直線的距離為當(dāng)時(shí)，的最小值為，此時(shí)可取，即有.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程、極坐標(biāo)與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程在求取值范圍中的應(yīng)用，屬于中檔題。19.（本小題12分）某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km時(shí)租車費(fèi)為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足lkm的部分按lkm計(jì))．從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km．某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程X是一個(gè)隨機(jī)變量．設(shè)他所收租車費(fèi)為(1)求租車費(fèi)關(guān)于行車路程X的關(guān)系式；(2)若隨機(jī)變量X的分布列為X15161718P0.10.50.30.1求所收租車費(fèi)的數(shù)學(xué)期望．(3)已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)際行駛了15km，問出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘?參考答案：略20.（12分）如圖，三棱錐A﹣BCD中，BC⊥CD，AD⊥平面BCD，E、F分別為BD、AC的中點(diǎn)．（I）證明：EF⊥CD；（II）若BC=CD=AD=1，求點(diǎn)E到平面ABC的距離．

參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（I）取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，證明CD⊥平面EFG，即可證明：EF⊥CD；（II）利用等體積方法，求點(diǎn)E到平面ABC的距離．【解答】（I）證明：取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，∵E為BD的中點(diǎn)，∴EG∥BC，∵BC⊥CD，∴EG⊥CD，同理FG∥AD，AD⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，∴FG⊥CD，∵EG∩FG=G，∴CD⊥平面EFG，∴EF⊥CD；（II）解：S△ABC==，S△BCE==，設(shè)點(diǎn)E到平面ABC的距離為h，則，∴h=，即點(diǎn)E到平面ABC的距離為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查等體積法求點(diǎn)E到平面ABC的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21.（12分）某市地鐵全線共有四個(gè)車站，甲、乙兩人同時(shí)在地鐵第1號(hào)車站(首發(fā)站)乘車．假設(shè)每人自第2號(hào)車站開始，在每個(gè)車站下車是等可能的．約定用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示“甲在x號(hào)車站下車，乙在y號(hào)車站下車”．(1)用有序?qū)崝?shù)對(duì)把甲、乙兩人下車的所有可能的結(jié)果列舉出來；(2)求甲、乙兩人同在第3號(hào)車站下車的概率；(3)求甲、乙兩人在不同的車站下車的概率．

參考答案：(1)用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示甲在x號(hào)車站下車，乙在y號(hào)車站下車，則甲下車的站號(hào)為2,3,4共3種結(jié)果，乙下車的站號(hào)也是2,3,4共3種結(jié)果．甲、乙兩人下車的所有可能的結(jié)果有9種．分別為：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)設(shè)甲、乙兩人同時(shí)在第3號(hào)車站下車的事件為A，則P(A)＝.(3)設(shè)甲、乙兩人在不同的地鐵站下車的事件為B，則結(jié)果有：(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，共6種結(jié)果，故P(B)＝.22.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．（1）求此幾何體的表面積；（2）如果點(diǎn)P，Q在正視圖中所示位置：P為所在線段中點(diǎn)，Q為頂點(diǎn)，求在幾何體表面上，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題；由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）由三視圖知：此幾何體是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，底面圓半徑長(zhǎng)a，圓柱高為2a，圓錐高為a．（2）將圓柱側(cè)面展開，在平面矩形內(nèi)線段PQ長(zhǎng)為所求．【解答】解：（1）由三視圖知：此幾何體是一個(gè)圓錐加一個(gè)圓柱，其表面積是圓錐的側(cè)面積、