2023年人教版初中數(shù)學(xué)第二十七章相似知識點(diǎn)

第二十七章相似一、目的與規(guī)定１.掌握相似多邊形的定義、表達(dá)法,并能根據(jù)定義判斷兩個(gè)多邊形是否相似．2.能根據(jù)相似比進(jìn)行計(jì)算．3．通過與相似多邊形有關(guān)概念的類比,得出相似三角形的定義,領(lǐng)略特殊與一般的關(guān)系.4．能根據(jù)定義判斷兩個(gè)多邊形是否相似,訓(xùn)練學(xué)生的判斷能力.5．能根據(jù)相似比求長度和角度，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用能力.6.通過與相似多邊形有關(guān)概念的類比，滲透類比的教學(xué)思想,并領(lǐng)略特殊與一般的關(guān)系.二、知識框架三、重點(diǎn)、難點(diǎn)１．理解并相似三角形的鑒定與性質(zhì)2．位似圖形的有關(guān)概念、性質(zhì)與作圖．3．運(yùn)用位似將一個(gè)圖形放大或縮小.4.用圖形的坐標(biāo)的變化來表達(dá)圖形的位似變換．５．把一個(gè)圖形按一定大小比例放大或縮小后,點(diǎn)的坐標(biāo)變化的規(guī)律.四、中考所占分?jǐn)?shù)及題型分布本章會出1－２道選擇、填空題,簡答題必有一道三角形和相似形的綜合題,本章約占1５－2０分.第二十七章相似２7.１圖形的相似１．每組圖形中的兩個(gè)圖形形狀相同，大小不同,具有相同形狀的圖形叫相似圖形.2.相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同,與它們的位置、顏色、大小無關(guān).３．相似圖形不僅僅指平面圖形,也涉及立體圖形相似的情況.4．我們可以這樣理解相似形:兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.５．若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同,這時(shí)是相似圖形的一種特例——全等形.例1:從哈哈鏡和平面鏡中看見不同的鏡像，是否相似?從放大鏡或者望遠(yuǎn)鏡中看見不同的鏡像，是否相似?相似多邊形相應(yīng)角相等，相應(yīng)邊的比相等.相應(yīng)邊的比稱為相似比.例2:在比例尺為1：１０00０00０的地圖上,量的A、B兩地的距離為10ｃm，求兩地的實(shí)際距離.解：地圖與實(shí)際的環(huán)境是相似的，因此地圖中的１cm相稱于實(shí)際1００00000cm，即100ｋm.A、Ｂ兩地相距10ｃm，相稱于１00０km.例3:如圖27.１-1，四邊形ABCD和EFＧH相似，求角α、β的大小和ＥH的長度ｘ.圖２7.1-1解：四邊形ABCD和EFGH相似，他們的相應(yīng)角相等,因此可得,在四邊形AＢCD中,四邊形ABCD和EＦGH相似,他們的相應(yīng)邊相等,由此可得,即解得２7．2相似三角形２7.２．1相似三角形的鑒定在△ABC和△Ａ‘B‘C’中，假如，，我們就說△ABC和△A‘Ｂ‘C’相似,記作△ABC∽△A‘B‘C’，k就是他們的相似比.相應(yīng)角相等，相應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．成比例線段(簡稱比例線段）:對于四條線段a、b、c、ｄ,假如其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即(或ａ：ｂ＝c：d），那么,這四條線段叫做成比例線段,簡稱比例線段.例1.如圖2７.2-1，在△ＡBC中,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),DＥ／/BC,ＤＥ交AC于點(diǎn)E，△ADE與△ABC有什么關(guān)系?解:在△ADＥ與△ＡBＣ中，DE/／BC過點(diǎn)E作EF／/ＡB,EＦ交ＢC于點(diǎn)F.在□BFED中，ＤＥ=BF，DB=EＦ又∴△ＡDE∽△EFＣAE＝ＥＣ=在此處鍵入公式。在此處鍵入公式。?????????∵△AＤE和△ＡBC∴△ADE∽△ABＣ平行于三角形一邊的直線（或兩邊的延長線）和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.例2.如圖2７.2-1,在△ABＣ和△A‘Ｂ‘Ｃ’中，,求證△ABC和△A‘B‘Ｃ’相似.圖27.2-1證明:在線段Ａ’B’(或它的延長線）上截取Ａ‘D=ＡＢ，過點(diǎn)Ｄ做DE//B’Ｃ’，交A’C’于點(diǎn)E,根據(jù)前面的結(jié)論可得△A’DE∽△A’Ｂ’C’又,A’D=ＡＢ，∴,∴A’E＝AＣ同理ＤE=BC∴△Ａ’DE≌△ABＣ∴△Ａ’DＥ∽△Ａ’B’Ｃ’2.假如兩個(gè)三角形的三組相應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.例在△ABC和△Ａ‘B‘C’中，已知ＡB=6CＭ,BC＝8CM,AC=1０CM,Ａ‘Ｂ’=１8CM，Ｂ‘C’=２４ＣＭ，A‘C’=３0CM，試證明△ABＣ和△A‘B‘Ｃ’相似.證明：故△ABC和△Ａ‘B‘C’相似.例.設(shè)△ＡBＣ與△DEF中,ＡB:DＥ=ＡC:DF,∠Ａ=∠D，△ABＣ與△ＤEF有什么關(guān)系?解：把△DEF放到△ＡBC中與之重合.∵AB：DE＝ＡＣ：DＦ,∴EF//BC.∴兩個(gè)三角形三個(gè)角相應(yīng)相等,故兩個(gè)三角形相似．3.假如兩個(gè)三角形的兩組相應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；例．根據(jù)下列條件判斷△ABC和△A‘B‘C’是否相似，并說明理由．(1)，AB=7ｃｍ,AC=14cm,,AB=３cm,AC＝６cm(2）AB=4cｍ，BC＝6cm，AC=8cm，A‘B’=１2cｍ,Ｂ‘C’=18cｍ,A‘C’=２1cm解:（１）,又∴△ABC∽△A’B’C’（２)△ＡBＣ和△A‘B‘C’的三組相應(yīng)邊的比不等,它們不相似.例.假設(shè)兩個(gè)三角形的兩組相應(yīng)邊的比相等，并且有一組角相等（不是這兩邊所夾的角)，那么這兩個(gè)三角形相似?解：情形一:當(dāng)兩個(gè)三角形同為銳角三角形時(shí)，可以推出它們相似.這個(gè)結(jié)論必須用正弦定理才好證明.（高中學(xué)習(xí)）情形二:當(dāng)兩個(gè)三角形同為直角三角形時(shí)，它們也相似.由于由勾股定理立即知道,兩邊相應(yīng)成比例的直角三角形的第三邊也必然成比例,于是由兩個(gè)三角形的三組相應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似.情形三：當(dāng)兩個(gè)三角形同為鈍角三角形時(shí),它們不一定相似.如圖,△ABC和△AＤＣ中，ＡＢ=ＡD，ＡC是兩個(gè)三角形的公共邊,∠C是兩個(gè)三角形的公共角.但是兩者顯然不相似．４.假如一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角相應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似；例.如圖，在△ABＣ中,DE∥ＢC,EF∥AB,求證：△AＤE∽△EFC．解:∵DE∥BC，∴DE∥FC,∴∠AED=∠Ｃ.又∵EＦ∥ＡB，∴ＥF∥AD,∴∠A＝∠FEC.∴△AＤE∽△EFC．2７.２．２相似三角形應(yīng)用舉例27.2．3相似三角形的周長和面積相似三角形周長的比等于相似比.用類似的方法還可得出相似多邊形的周長比等于相似比．相似三角形面積比等于相似比的平方.相似多邊形面積的比等于相似比的平方假如△AＢC和△Ａ‘B‘C’相似,相似比為k,那么因此從而由此我們得到：相似三角形周長的比等于相似比．用類似的方法,還可得出：相似多邊形的周長比等于相似比.例.如圖2７.2△ABC∽△A’B’C’，相似比為k,他們的面積比為多少?分別作△ABＣ和△A’Ｂ’Ｃ‘的高AＤ和A’D’．∵△AＢD和△Ａ’Ｂ‘D’都是直角三角形，并且∴△ＡBＤ∽△Ａ‘B‘D‘相似三角形面積比等于相似比的平方.對于兩個(gè)相似多邊形，用類似的方法，能把他們提成若干個(gè)相似的三角形,因此可以得到相似多邊形面積的比等于相似比的平方例２７.2在平行四邊形ABCD中，AB＝6,AD=９,的平分線交BC于E,交DC的延長線于Ｆ，ＢG⊥ＡＥ于G，，則△EFC的周長為?解:在平行四邊形ＡＢCD中,∵AB／/CD，∴，又,,故AＤ=DF=９,則CF=DF-DC=3,，∴△EＡＢ∽△ＥFＣ,，又∵BC=BＥ+CE=９,∴ＣE=３，BE＝６.在Rt△ＢGE中,由勾股定理得,，∵AB＝BE=6,BG⊥AＥ,∴AG=GE=２,則EA=ＡG＋GＥ=4，，故CF＋ＣE＋EF=3＋3＋2=8所以△EFＣ的周長為8.例2７.２在△AＢＣ中，點(diǎn)D、E分別在ＡＢ、AＣ上,,假如AE=2,△ADＥ的面積為4,四邊形BCEＤ的面積為５,那么AB的長為多少?解:，,∴△AＤE∽△ＡCB，∵S△AＤE=４，S四邊形BCＥD=５,∴S△ACB=4+5=9,S△AＤＥ：S△ACB=4：９，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方可得相似比為2:３,即AE:AB=2:3,故AB＝３．例如圖２7.2在□AＢＣD中，AE:ＥＢ=2:3，DＥ交ＡC于點(diǎn)F.求△AＥＦ與△ＣDF的周長比；假如Ｓ△CＤＦ＝20ｃm2，求S△ＡEF.解:(1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AＢ//ＣD，，∴△AEF∽△CＤF，（2）,＝２0，2７.3位似(1)位似圖形：假如兩個(gè)多邊形不僅相似，并且相應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比．掌握位似圖形概念，需注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似,所以兩個(gè)圖形是位似圖