初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)銳角三角函數(shù)單元復(fù)習(xí) 市賽獲獎(jiǎng)

專訓(xùn)1解直角三角形的幾種常見(jiàn)類型名師點(diǎn)金：解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形邊、角關(guān)系的知識(shí)是解直角三角形的基礎(chǔ)．解直角三角形時(shí)，要注意三角函數(shù)的選取，避免計(jì)算復(fù)雜．在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應(yīng)先添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．已知兩直角邊解直角三角形1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，a＝2eq\r(3)，b＝6，解這個(gè)直角三角形．(第1題)已知一直角邊和斜邊解直角三角形2．如圖，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC的值和點(diǎn)B到直線MC的距離．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：16872076】(第2題)已知一直角邊和一銳角解直角三角形3．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.(1)求AC的長(zhǎng)；(2)求BC的長(zhǎng)．(第3題)4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D為AC邊上一點(diǎn)，∠BDC＝45°，求AD的長(zhǎng)．(第4題)已知斜邊和一銳角解直角三角形5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，c＝10，解這個(gè)直角三角形．(第5題)6.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分線，與BC相交于點(diǎn)D，且AB＝4eq\r(3)，求AD的長(zhǎng)．(第6題)已知非直角三角形中的邊(或角或三角函數(shù)值)解直角三角形eq\a\vs4\al(題型1：)化斜三角形為直角三角形問(wèn)題(化斜為直法)7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DC⊥AC，且tan∠BCD＝eq\f(1,3)，求∠A的三角函數(shù)值．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：16872077】(第7題)eq\a\vs4\al(題型2：)化解四邊形問(wèn)題為解直角三角形問(wèn)題8．(中考·北京)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝eq\r(2)，BE＝2eq\r(2).求CD的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積．(第8題)eq\a\vs4\al(題型3：)化解方程問(wèn)題為解直角三角形問(wèn)題9．已知a，b，c分別是△ABC中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，關(guān)于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且3c＝a＋3b.(1)判斷△ABC的形狀；(2)求sinA＋sinB的值．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：16872078】專訓(xùn)2構(gòu)造三角函數(shù)基本圖形解實(shí)際問(wèn)題的幾種數(shù)學(xué)模型名師點(diǎn)金：解直角三角形及其應(yīng)用是近幾年各地中考命題的熱點(diǎn)之一，考查內(nèi)容不僅有傳統(tǒng)的計(jì)算距離、高度、角度的應(yīng)用題，還有要求同學(xué)們根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建三角函數(shù)的基本圖形，建立數(shù)學(xué)模型，將某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解．運(yùn)用銳角三角函數(shù)知識(shí)解決與實(shí)際生活、生產(chǎn)相關(guān)的應(yīng)用題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)題型．構(gòu)造一個(gè)直角三角形解實(shí)際問(wèn)題1．(2016·山西)太陽(yáng)能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點(diǎn)，已成為世界各國(guó)普遍關(guān)注和重點(diǎn)發(fā)展的新興產(chǎn)業(yè)．如圖是太陽(yáng)能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽(yáng)能電池板與支撐角鋼AB的長(zhǎng)度相同，均為300cm，AB的傾斜角為30°，BE＝CA＝50cm，支撐角鋼CD，EF與底座地基臺(tái)面接觸點(diǎn)分別為D，F(xiàn)，CD垂直于地面，F(xiàn)E⊥AB于點(diǎn)E.兩個(gè)底座地基高度相同(即點(diǎn)D，F(xiàn)到地面的垂直距離相同)，均為30cm，點(diǎn)A到地面的垂直距離為50cm，求支撐角鋼CD和EF的長(zhǎng)度各是多少厘米(結(jié)果保留根號(hào))．(第1題)2．如圖，大樓AB右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測(cè)得障礙物邊緣點(diǎn)C的俯角為30°，測(cè)得大樓頂端A的仰角為45°(點(diǎn)B，C，E在同一水平直線上)，已知AB＝80m，DE＝10m，求障礙物B，C兩點(diǎn)間的距離(結(jié)果精確到m)(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈(第2題)構(gòu)造形如“”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問(wèn)題3．(2016·資陽(yáng))如圖，“中國(guó)海監(jiān)50”正在南海海域A處巡邏，島礁B上的中國(guó)海軍發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的正西方向上，島礁C上的中國(guó)海軍發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在點(diǎn)C的南偏東30°方向上，已知點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏西60°方向上，且B，C兩地相距120海里．(1)求出此時(shí)點(diǎn)A到島礁C的距離；(2)若“中國(guó)海監(jiān)50”從A處沿AC方向向島礁C駛?cè)?，?dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)A′時(shí)，測(cè)得點(diǎn)B在A′的南偏東75°的方向上，求此時(shí)“中國(guó)海監(jiān)50”的航行距離．(注：結(jié)果保留根號(hào))(第3題)4．(2016·黔東南州)黔東南州某校吳老師組織九(1)班同學(xué)開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，帶領(lǐng)同學(xué)們測(cè)量學(xué)校附近一電線桿的高．已知電線桿直立于地面上，某天在太陽(yáng)光的照射下，電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為30°，在C處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為45°，斜坡與地面成60°角，CD＝4m，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高(AB)．(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈【導(dǎo)學(xué)號(hào)：16872079】(第4題)5．(中考·安徽)如圖，防洪大堤的橫斷面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期來(lái)臨前對(duì)其進(jìn)行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡長(zhǎng)AB＝20m，求改造后的坡長(zhǎng)AE(結(jié)果保留根號(hào))．(第5題)構(gòu)造形如“”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問(wèn)題6．(2016·深圳)某興趣小組借助無(wú)人飛機(jī)航拍校園．如圖，無(wú)人飛機(jī)從A處水平飛行至B處需8s，在地面C處同一方向上分別測(cè)得A處的仰角為75°，B處的仰角為30°.已知無(wú)人飛機(jī)的飛行速度為4m/s，求這架無(wú)人飛機(jī)的飛行高度．(結(jié)果保留根號(hào))．(第6題)7．(2016·河南)如圖，小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口處，測(cè)得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37°，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°，升旗時(shí)，國(guó)旗上端懸掛在距地面米處，若國(guó)旗隨國(guó)歌聲冉冉升起，并在國(guó)歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端，則國(guó)旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升？(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈(第7題)構(gòu)造形如“”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問(wèn)題8．如圖，小剛同學(xué)在廣場(chǎng)上觀測(cè)新華書(shū)店樓房墻上的電子屏幕CD，點(diǎn)A是小剛的眼睛，測(cè)得屏幕下端D處的仰角為30°，然后他正對(duì)屏幕方向前進(jìn)了6米到達(dá)B處，又測(cè)得該屏幕上端C處的仰角為45°，延長(zhǎng)AB與樓房垂直相交于點(diǎn)E，測(cè)得BE＝21米，請(qǐng)你幫小剛求出該屏幕上端與下端之間的距離CD(結(jié)果保留根號(hào))．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：16872080】(第8題)答案eq\a\vs4\al(專訓(xùn)1)1．解：∵a＝2eq\r(3)，b＝6，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(12＋36)＝eq\r(48)＝4eq\r(3).∵tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°.2．解：∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(169－144)＝eq\r(25)＝5.∴sin∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(5,13).過(guò)點(diǎn)B作BD⊥MC于點(diǎn)D.設(shè)點(diǎn)B到直線MC的距離為d，則BD＝d，∵∠BCM＝∠BAC，∴sin∠BAC＝sin∠BCM.∴sin∠BCM＝eq\f(d,BC)＝eq\f(5,13)，即eq\f(d,5)＝eq\f(5,13)，∴d＝eq\f(25,13).即點(diǎn)B到直線MC的距離為eq\f(25,13).3．解：(1)由題意知sinC＝eq\f(AB,AC)，即eq\f(1,2)＝eq\f(3,AC)，則AC＝6.(2)由題意知tanC＝eq\f(AB,BC)，即eq\f(\r(3),3)＝eq\f(3,BC)，則BC＝3eq\r(3).4．解：∵∠C＝90°，∠BDC＝45°，BC＝3，∴CD＝3.∵∠A＝30°，BC＝3，∴tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3,AC)＝eq\f(\r(3),3)，即AC＝3eq\r(3).∴AD＝AC－CD＝3eq\r(3)－3.5．解：∵∠B＝45°，∠C＝90°，c＝10，∴∠A＝45°.a＝b＝5eq\r(2).6．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4eq\r(3)，∴∠CAB＝60°，AC＝AB·sin30°＝4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3).又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝30°.∵cos∠CAD＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),AD)，∴AD＝4.7．解：過(guò)點(diǎn)D作CD的垂線交BC于點(diǎn)E，如圖．在Rt△CDE中，∵tan∠BCD＝eq\f(1,3)＝eq\f(DE,CD)，∴可設(shè)DE＝x，則CD＝3x.∵CD⊥AC，∴DE∥AC.又∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)．∴DE＝eq\f(1,2)AC.∴AC＝2DE＝2x.在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，∴AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(4x2＋9x2)＝eq\r(13)x.∴sinA＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(3x,\r(13)x)＝eq\f(3\r(13),13)，cosA＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(2x,\r(13)x)＝eq\f(2\r(13),13)，tanA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(3x,2x)＝eq\f(3,2).方法技巧：本題中出現(xiàn)了tan∠BCD＝eq\f(1,3)，由于∠BCD所在的三角形并非直角三角形，因此應(yīng)用正切函數(shù)的定義，構(gòu)造出一個(gè)與之相關(guān)的直角三角形進(jìn)行求解．(第7題)(第8題)8．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H.∵∠CED＝45°，DH⊥EC，DE＝eq\r(2)，∴EH＝DE·cos45°＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，∴DH＝1.又∵∠DCE＝30°，∴HC＝eq\f(DH,tan30°)＝eq\r(3)，CD＝eq\f(DH,sin30°)＝2.∵∠AEB＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2eq\r(2)，∴AB＝AE＝2，∴AC＝AE＋EH＋HC＝2＋1＋eq\r(3)＝3＋eq\r(3)，∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)×2×(3＋eq\r(3))＋eq\f(1,2)×1×(3＋eq\r(3))＝eq\f(3\r(3)＋9,2).方法技巧：題目中所給的有直角和30°，45°角，因此我們可以通過(guò)構(gòu)造另一個(gè)直角三角形，然后運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值求出某些邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求出四邊形的面積．9．解：(1)將方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，則Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)．∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2.∴△ABC為直角三角形．(2)由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b.①將①代入a2＋b2＝c2，得(3c－3b)2＋b2＝c2.∴4c2－9bc＋5b2＝0，即(4c－5b)(c－b)＝0.由①可知，b≠c，∴4c＝5b.∴b＝eq\f(4,5)c.②將②代入①，得a＝eq\f(3,5)c.∴在Rt△ABC中，sinA＋sinB＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(7,5).點(diǎn)撥：解決本題的突破口是由一元二次方程根與判別式的關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式．從解題過(guò)程可以看出，求三角函數(shù)值時(shí)，只分析出直角三角形中三邊的比例關(guān)系即可求出其值．eq\a\vs4\al(專訓(xùn)2)1．解：如圖，過(guò)A作AG⊥CD于G，則∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝ACsin30°＝50×eq\f(1,2)＝25，∵GD＝50－30＝20，∴CD＝CG＋GD＝25＋20＝45，連接FD并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于H，則∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝eq\f(CD,sin30°)＝2CD＝90，∴EH＝EC＋CH＝AB－BE－AC＋CH＝300－50－50＋90＝290，在Rt△EFH中，EF＝EH·tan30°＝290×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(290\r(3),3).答：支撐角鋼CD和EF的長(zhǎng)度各是45cm，eq\f(290\r(3),3)cm.(第1題)2．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DF于點(diǎn)H.則DE＝BF＝CH＝10m，在直角△ADF中，∵AF＝80m－10m＝70m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m.在直角△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝eq\f(DE,tan30°)＝eq\f(10,\f(\r(3),3))＝10eq\r(3)(m)，∴BC＝BE－CE＝70－10eq\r(3)≈70－≈(m)．答：障礙物B，C兩點(diǎn)間的距離約為m.(第2題)(第3題)3．解：(1)如圖所示，延長(zhǎng)BA，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，則DC＝60海里，故cos30°＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(60,AC)＝eq\f(\r(3),2)，解得：AC＝40eq\r(3)，答：點(diǎn)A到島礁C的距離為40eq\r(3)海里；(2)如圖所示：過(guò)點(diǎn)A′作A′N⊥BC于點(diǎn)N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，A′N＝A′E，則∠2＝15°，即BA′平分∠CBA，設(shè)AA′＝x，則A′E＝eq\f(\r(3),2)x，故CA′＝2A′N＝2×eq\f(\r(3),2)x＝eq\r(3)x，∵eq\r(3)x＋x＝40eq\r(3)，∴解得：x＝20(3－eq\r(3))，答：此時(shí)“中國(guó)海監(jiān)50”的航行距離為20(3－eq\r(3))海里．4．解：延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于G，作DH⊥BG于H，如圖所示．(第4題)在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，則CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2eq\r(3)，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝eq\f(DH,tanG)＝eq\f(2\r(3),tan30°)＝6，∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8，設(shè)AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝eq\f(AB,tanG)＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)x，∵BG－BC＝CG，∴eq\r(3)x－x＝8，解得：x≈11(m)．答：電線桿的高約為11m.5．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F.在Rt△ABF中，∠ABF＝α＝60°，∴AF＝AB·sin60°＝20×eq