2023年中考數(shù)學(xué)黃金知識(shí)點(diǎn)系列專題46圖形的相似

專題46圖形的相似聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解1、比和比例的有關(guān)概念：〔1〕表示兩個(gè)比相等的式子叫作比例式，簡(jiǎn)稱比例.〔2〕第四比例項(xiàng)：假設(shè)或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例項(xiàng).〔3〕比例中項(xiàng)：假設(shè)或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中項(xiàng).〔4〕黃金分割：把一條線段〔AB〕分割成兩條線段，使其中較長(zhǎng)線段〔AC〕是原線段AB與較短線段〔BC〕的比例線段，就叫作把這條線段黃金分割.即AC2=AB·BC，AC=；一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).2.比例的根本性質(zhì)及定理〔1〕〔2〕〔3〕3.平行線分線段成比例定理(1)三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.(2)平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；(3)如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊；(4)平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例．4.相似三角形.相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做兩個(gè)相似三角形的相似比．5．相似三角形的判定(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所截得的三角形與原三角形相似；(2)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；(4)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；(5)兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似；(6)直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形都與原三角形相似．6．相似三角形性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．7．相似多邊形的性質(zhì)(1)相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．(2)相似多邊形周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．8．位似圖形(1)概念：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，這樣的圖形叫做位似圖形．這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．(2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比．名師點(diǎn)睛☆典例分類考點(diǎn)典例一、比例的根本性質(zhì)、黃金分割【例1】，那么的值是〔〕A． B． C． D．【答案】D．應(yīng)選D．考點(diǎn)：比例的性質(zhì)．【點(diǎn)睛】此題考查了比例的性質(zhì)．此題比擬簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例的性質(zhì)與比例變形．【舉一反三】假設(shè)4y-3x=0，那么【答案】.考點(diǎn)：比例的性質(zhì)．考點(diǎn)典例二、三角形相似的性質(zhì)及判定【例2】〔2023湖南懷化第21題〕如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，BC=40cm，AD=30cm．〔1〕求證：△AEH∽△ABC；〔2〕求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與面積．【答案】〔1〕詳見(jiàn)解析；〔2〕正方形EFGH的邊長(zhǎng)為cm，面積為cm2．【解析】考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．【舉一反三】〔2023湖北武漢第23題〕〔此題10分〕在△ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)．(1)如圖1，假設(shè)∠ACP＝∠B，求證：AC2＝AP·AB；(2)假設(shè)M為CP的中點(diǎn)，AC＝2，①如圖2，假設(shè)∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的長(zhǎng)；②如圖3，假設(shè)∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接寫(xiě)出BP的長(zhǎng)．【答案】〔1〕詳見(jiàn)解析；〔2〕①BP＝；②.∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，∴△AP0C∽△MPB，∴，∴MP?P0C＝AP0?BP＝x〔－1＋x〕，解得x＝∴BP＝－1＋＝．考點(diǎn)典例三、相似三角形綜合問(wèn)題【例3】〔2023湖北十堰第24題〕如圖1，AB為半圓O的直徑，D為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DC為半圓O的切線，切點(diǎn)為C．〔1〕求證：∠ACD=∠B；〔2〕如圖2，∠BDC的平分線分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)；①求tan∠CFE的值；②假設(shè)AC=3，BC=4，求CE的長(zhǎng)．【答案】〔1〕詳見(jiàn)解析；〔2〕.〔2〕解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，∴∠CEF=∠CFE=45°，∴tan∠CFE=tan45°=1．②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，由勾股定理得AB=5，∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，∴△DCA∽△DBC，∴，設(shè)DC=3k，DB=4k，∵CD2=DA?DB，∴9k2=〔4k﹣5〕?4k，∴k=，∴CD=，DB=，考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理.【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定、勾股定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用．【舉一反三】〔2023湖北鄂州第22題〕〔此題總分值10分〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AO是△ABC的角平分線。以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O?！?〕〔3分〕求證：AB是⊙O的切線。〔2〕〔3分〕AO交⊙O于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，tanD＝，求的值。〔3〕〔4分〕在〔2〕的條件下，設(shè)⊙O的半徑為3，求AB的長(zhǎng)。【答案】(1)詳見(jiàn)解析；〔2〕；〔3〕.【解析】試題分析：〔1〕過(guò)O作OF⊥AB于F，由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等即可得證；〔2〕連接CE，證明△ACE∽△ADC可得=tanD＝；〔3〕先由勾股定理求得AE的長(zhǎng)，再證明△B0F∽△BAC，得，設(shè)BO=y，BF=z，列二元一次方程組即可解決問(wèn)題.試題解析：⑴證明：作OF⊥AB于F∵AO是∠BAC的角平分線，∠ACB=90o∴OC=OF∴AB是⊙O的切線易證Rt△B0F∽R(shí)t△BAC得，設(shè)BO=yBF=z即4z=9＋3y，4y=12＋3z解得z=y=∴AB=＋4=考點(diǎn)：圓的綜合題.考點(diǎn)典例四、相似多邊形與位似圖形【例4】〔2023遼寧營(yíng)口第15題〕如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)〔網(wǎng)格線的交點(diǎn)〕上．以原點(diǎn)O為位似中心，畫(huà)△A1B1C1，使它與△ABC的相似比為2，那么點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是．【答案】〔4，2〕或〔﹣4，﹣2〕．考點(diǎn)：作圖-位似變換．【點(diǎn)睛】此題考查了位似的作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】〔2023湖北十堰第5題〕如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，OB=3OB′，那么△A′B′C′與△ABC的面積比為〔〕A．1：3B．1：4C．1：5D．1：9【答案】D.考點(diǎn)：位似變換．課時(shí)作業(yè)☆能力提升1.〔2023黑龍江哈爾濱第9題〕如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，BE與CD相交于點(diǎn)F，那么以下結(jié)論一定正確的選項(xiàng)是〔〕A．B．C．D．【答案】A.【解析】試題分析：∵DE∥BC，∴〔平行線分線段成比例〕.應(yīng)選A.考點(diǎn)：平行線分線段成比例.2.〔2023山東東營(yíng)第8題〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A〔―3，6〕、B〔―9，一3〕，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為EQ\F(1,3)，把△ABO縮小，那么點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是()A．〔―1，2〕B．〔―9，18〕C．〔―9，18〕或〔9，―18〕D．〔―1，2〕或〔1，―2〕【答案】D.考點(diǎn)：位似變換.3.〔2023湖南湘西州第17題〕如圖，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面積為1，那么四邊形DBCE的面積為〔〕A．3B．5C．6D．8【答案】D．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．4.〔2023河北第15題〕如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是〔〕第15題圖【答案】C.【解析】試題分析：只要三個(gè)角相等，或者一角相等，兩邊成比例即可。選項(xiàng)Ｃ項(xiàng)不能判定兩個(gè)三角形相似，故答案選C.考點(diǎn)：相似三角形的判定.5.〔2023新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第7題〕如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，以下說(shuō)法中不正確的選項(xiàng)是〔〕A．DE=BCB．C．△ADE∽△ABCD．S△ADE：S△ABC=1：2【答案】D.考點(diǎn)：相似三角形的判定及性質(zhì).6.〔2023湖北隨州第7題〕如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，假設(shè)S△DOE：S△COA=1：25，那么S△BDE與S△CDE的比是〔〕A．1：3B．1：4C．1：5D．1：25【答案】B.【解析】試題分析：由DE∥AC可得△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得DE:AC=BE:BC=1:5,所以BE:EC=1:4,即S△BDE與S△CDE的比是1：4，故答案選B．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．7.〔2023湖南湘西州第17題〕如圖，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面積為1，那么四邊形DBCE的面積為〔〕A．3B．5C．6D．8【答案】D．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．8.〔2023湖南衡陽(yáng)第16題〕假設(shè)△ABC與△DEF相似且面積之比為25：16，那么△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比為．【答案】5：4．【解析】試題分析：△ABC與△DEF相似且面積之比為25：16，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出相似比，可得△ABC與△DEF的相似比為5：4；即可得△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比為5：4．考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì).9.〔2023遼寧沈陽(yáng)第16題〕如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)M是邊BC上一點(diǎn)，BM=3，點(diǎn)N是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DN，ME，DN與ME相交于點(diǎn)O．假設(shè)△OMN是直角三角形，那么DO的長(zhǎng)是．【答案】或．考點(diǎn)：三角形綜合題.10..〔2023新疆第13題〕如下圖，△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足EQ\F(AE,EB)=EQ\F(AF,FC)=EQ\F(1,2)，那么△AEF與△ABC的面積比是．【答案】1：9.【解析】試題分析：∵EQ\F(AE,EB)=EQ\F(AF,FC)=EQ\F(1,2)，∴EQ\F(AE,AB)=EQ\F(AF,AC)=EQ\F(1,3).又∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF與△ABC的面積比是1：9.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).11.〔2023湖南婁底第14題〕如圖，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是．〔只需寫(xiě)一個(gè)條件，不添加輔助線和字母〕【答案】∠B=∠DEF〔答案不唯一，符合要求即可〕【解析】試題分析：∠A=∠D，當(dāng)∠B=∠DEF時(shí)，△ABC∽△DEF，因?yàn)锳B∥DE時(shí)，∠B=∠DEF，添加AB∥DE時(shí)，使△ABC∽△DEF．考點(diǎn)：相似三角形的判定．12.〔2023內(nèi)蒙古巴彥淖爾第7題〕如圖，E為?ABCD的邊AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BE：AB=2：3，△BEF的面積為4，那么?ABCD的面積為〔〕A．30B．27C．14D．32【答案】A．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．13.〔涼山州〕在?ABCD中，M，N是AD邊上的三等分點(diǎn)，連接BD，MC相交于O點(diǎn)，那么S△MOD：S△COB=．【答案】或．考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．平行四邊形的性質(zhì)．14.〔遼寧沈陽(yáng)〕如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，且△ABC的面積等于△DEF面積的，那么AB：DE=．【答案】2：3．【解析】試題分析：∵△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，∴△ABC∽△DEF，∴△ABC的面積：△DEF面積==，∴AB：DE=2：3，故答案為：2：3．考點(diǎn)：位似變換．15.〔2023福建南平第21題〕如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一點(diǎn)，BD=8，DE⊥AB，垂足為E，求線段DE的長(zhǎng)．【答案】4．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．16.〔2023福建莆田第25題〕假設(shè)正方形有兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)在三角形的同一條邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的另兩條邊上，那么正方形稱為三角形該邊上的內(nèi)接正方形，△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，各邊上的高分別記為，，，各邊上的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)分別記為，，．〔1〕模擬探究：如圖，正方形EFGH為△ABC的BC邊上的內(nèi)接正方形，求證：；〔2〕特殊應(yīng)用：假設(shè)∠BAC=90°，==2，求的值；〔3〕拓展延伸：假設(shè)△ABC為銳角三角形，b＜c，請(qǐng)判斷與的大小，并說(shuō)明理由．【答案】〔1〕證明見(jiàn)解析；〔2〕；〔3〕＞．【